投资组合理论

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投资组合理论(Portfolio Theory)

目录

投资组合理论简介

  投资组合理论有狭义和广义之分。狭义的投资组合理论指的是马柯维茨投资组合理论;而广义的投资组合理论除了经典的投资组合理论以及该理论的各种替代投资组合理论外,还包括由资本资产定价模型证券市场有效理论构成的资本市场理论。同时,由于传统的EMH不能解释市场异常现象,在投资组合理论又受到行为金融理论的挑战。

投资组合理论的提出[1]

  美国经济学家马考维茨(Markowitz)1952年首次提出投资组合理论(Portfolio Theory),并进行了系统、深入和卓有成效的研究,他因此获得了诺贝尔经济学奖

  该理论包含两个重要内容:均值-方差分析方法投资组合有效边界模型

  在发达的证券市场中,马科维茨投资组合理论早已在实践中被证明是行之有效的,并且被广泛应用于组合选择资产配置。但是,我国的证券理论界和实务界对于该理论是否适合于我国股票市场一直存有较大争议。

  从狭义的角度来说,投资组合是规定了投资比例的一揽子有价证券,当然,单只证券也可以当作特殊的投资组合。

  人们进行投资,本质上是在不确定性收益风险中进行选择。投资组合理论用均值—方差来刻画这两个关键因素。所谓均值,是指投资组合的期望收益率,它是单只证券的期望收益率的加权平均,权重为相应的投资比例。当然,股票的收益包括分红派息资本增值两部分。所谓方差,是指投资组合的收益率的方差。我们把收益率标准差称为波动率,它刻画了投资组合的风险。

  人们在证券投资决策中应该怎样选择收益和风险的组合呢?这正是投资组合理论研究的中心问题。投资组合理论研究“理性投资者”如何选择优化投资组合。所谓理性投资者,是指这样的投资者:他们在给定期望风险水平下对期望收益进行最大化,或者在给定期望收益水平下对期望风险进行最小化。

  因此把上述优化投资组合在以波动率为横坐标,收益率为纵坐标的二维平面中描绘出来,形成一条曲线。这条曲线上有一个点,其波动率最低,称之为最小方差点(英文缩写是MVP)。这条曲线在最小方差点以上的部分就是著名的(马考维茨投资组合有效边界,对应的投资组合称为有效投资组合。投资组合有效边界一条单调递增的凸曲线。

  如果投资范围中不包含无风险资产(无风险资产的波动率为零),曲线AMB是一条典型的有效边界。A点对应于投资范围中收益率最高的证券

  如果在投资范围中加入无风险资产,那么投资组合有效边界是曲线AMC。C点表示无风险资产,线段CM是曲线AMB的切线,M是切点。M点对应的投资组合被称为“市场组合”。

  如果市场允许卖空,那么AMB是二次曲线;如果限制卖空,那么AMB是分段二次曲线。在实际应用中,限制卖空的投资组合有效边界要比允许卖空的情形复杂得多,计算量也要大得多。

  在波动率-收益率二维平面上,任意一个投资组合要么落在有效边界上,要么处于有效边界之下。因此,有效边界包含了全部(帕雷托)最优投资组合,理性投资者只需在有效边界上选择投资组合。

50年代以前的投资组合理论[2]

  在马柯维茨投资组合理论提出以前,分散投资的理念已经存在。Hicks(1935)提出了“分离定理”,并解释了由于投资者有获得高收益低风险的期望,因而有对货币的需要;同时他认为和现存的价值理论一样,应构建起“货币理论”,并将风险引入分析中,因为风险将影响投资的绩效,将影响期望净收入。 Kenes(1936)和Hicks(1939)提出了风险补偿的概念,认为由于不确定性的存在,应该对不同金融产品利率之外附加一定的风险补偿,Hicks还提出资产选择问题,认为风险可以分散。Marschak(1938)提出了不确定条件下的序数选择理论,同时也注意到了人们往往倾向于高收益低风险等现象。Williams(1938)提出了“分散折价模型”(Dividend Discount Model),认为通过投资于足够多的证券,就可以消除风险,并假设总存在一个满足收益最大化风险最小化的组合,同时能通过法律保证使得组合的事实收益和期望收益一致。Leavens(1945)论证了分散化的好处。随后Von Neumann(1947)应用预期效用的概念提出不确定性条件下的决策选择方法。

最优投资组合的选择

  最优投资组合是指某投资者在可以得到的各种可能的投资组合中,唯一可获得最大效用期望值的投资组合.有效集的上凸性和无差异曲线的下凸性决定了最优投资组合的唯一性。

  最优投资组合的选择

马柯维茨投资组合理论及其扩展[2]

  马柯维茨投资组合理论是美国经济学家Markowitz(1952)发表论文《资产组合的选择》,标志着现代投资组合理论的开端。他利用均值--方差模型分析得出通过投资组合可以有效降低风险的结论。

  同时,Roy(1952)提出了“安全首要模型”(Safety-First Portfolio Theory),将投资组合的均值和方差作为一个整体来选择,尤其是他提出以极小化投资组合收益小于给定的“灾险水平”的概率作为模型的决策准则,为后来的VaR(Value at Risk)等方法提供了思路。

  Tobin(1958)提出了著名的“二基金分离定理”:在允许卖空的证券组合选择问题中,每一种有效证券组合都是一种无风险资产与一种特殊的风险资产的组合。

  在Markowitz等人的基础上,Hicks(1962)的“[[组合投资的纯理论]”指出,在包含现金的资产组合中,组合期望值和标准差之间有线形关系,并且风险资产的比例仍然沿着这条线形的有效边界这部分上,这就解释了Tobin的分离定理的内容。Wiliam.F.Sharpe(1963)提出“单一指数模型”,该模型假定资产收益只与市场总体收益有关,从而大大简化了马柯维茨理论中所用到的复杂计算。

  马柯维茨的模型中以方差刻画风险,并且收益分布对称,许多学者对此提出了各自不同的见解。

  Mao(1970);Markowit(z1959);orter(1974);Hogan,Warren(1974);Harlow(1991)等认为下半方差更能准确刻画风险,因此讨论了均值一半方差模型

  Konno和Suzuki(1995)研究了收益不对称情况下的均值-方差-偏度模型,该模型在收益率分布不对称的情况下具有价值,因为具有相同均值和方差的资产组合很可能具有不同的偏度,偏度大的资产组合获得较大收益率的可能性也相应增加。Athayde,Flores(2002)考虑了非对称分布条件下的资产配置情况:在前两阶奇数矩限定的情况下,分别最小化方差与峰度并将其推广到最小化任一奇数矩阵;Jondeau,Rockinger(2002)在投资者效用函数为常数相对风险厌恶(CRRA)效用函数的假定下将期末期望收益Taylor展开取前4阶高阶矩,运用一阶条件来最优化资产配置;Jondeau,Rockinger(2005)考虑收益率的联合非正态分布和时变特征,包括了波动聚集性、非对称和肥尾特征。将期末期望收益Taylor展开并取前4阶高阶矩,运用一阶条件来最优化资产配置;Sahu等(2001,2003)提出偏正态分布来衡量高阶矩的影响,能充分考虑偏度与协偏度,同时处理“肥尾”的影响;Campbell R等(2004偏正态分布估计高阶矩的影响,贝叶斯方法处理收益分布的参数不确定性情况,在上述基础之上处理最优化问题。

  Konno,Yamazaki(1991)用期望绝对偏差刻画风险,建立了一个资产组合选择的线性规划模型,被称为均值-绝对偏差模型。该模型如同均值-方差模型那样也发展成均-下半绝对偏差模型Young(1998)以资产组合收益的最小顺序统计量作为风险度量利用极大极小规则建立了一个资产组合选择的线性规划模型;Cai(2000用资产组合项资产收益中的最大期望绝对偏差来刻画风险,建立了一个资产组合选择的线性规划模型并给出了解析解。

投资组合理论的主要内容[3]

  马克维茨投资组合理论的基本假设为:(1)投资者是风险规避的,追求期望效用最大化;(2)投资者根据收益率的期望值与方差来选择投资组合;(3)所有投资者处于同一单期投资期。马克维茨提出了以期望收益及其方差(E,δ2)确定有效投资组合。

  以期望收益E来衡量证券收益,以收益的方差δ2表示投资风险。资产组合的总收益用各个资产预期收益的加权平均值表示,组合资产的风险用收益的方差或标准差表示,则马克维茨优化模型如下:

  \min\delta^2(r_p)=\sum\sum w_iw_jcov(r_i,r_j)

  E(r_p)=\sum w_ir_i

  式中:rp——组合收益;

  rirj——第i种、第j种资产的收益;

  wiwj——资产i和资产j在组合中的权重;

  δ2(rp)——组合收益的方差即组合的总体风险;

  cov(r,rj)——两种资产之间的协方差。

  马克维茨模型是以资产权重为变量的二次规划问题,采用微分中的拉格朗日方法求解,在限制条件下,使得组合风险铲δ2(rp)最小时的最优的投资比例Wi。从经济学的角度分析,就是说投资者预先确定一个期望收益率,然后通过E(r_p)=\sum w_ir_i确定投资组合中每种资产的权重,使其总体投资风险最小,所以在不同的期望收益水平下,得到相应的使方差最小的资产组合解,这些解构成了最小方差组合,也就是我们通常所说的有效组合。有效组合的收益率期望和相应的最小方差之间所形成的曲线,就是有效组合投资的前沿。投资者根据自身的收益目标和风险偏好,在有效组合前沿上选择最优的投资组合方案。

  根据马克维茨模型,构建投资组合的合理目标是在给定的风险水平下,形成具有最高收益率的投资组合,即有效投资组合。此外,马克维茨模型为实现最有效目标投资组合的构建提供了最优化的过程,这种最优化的过程被广泛地应用于保险投资组合管理中。

  马克维茨投资组合理论的基本思路是:(1)投资者确定投资组合中合适的资产;(2)分析这些资产在持有期间的预期收益和风险;(3)建立可供选择的证券有效集;(4)结合具体的投资目标,最终确定最优证券组合

资本资产定价模型及其扩展[2]

  马柯维茨投资组合理论之后,Sharpe(1964),Lintner(1965),Mossin(1966)分别提出了各自的资本资产定价模型(CAPM)。这些模型是在不确定条件下探讨资产定价的理论,对投资实践具有重要的指导意义。

  资本资产定价模型提出之后,研究者进一步扩展了该研究。

  Jensen Michael(1969)提出以CAPM中的证券市场线为基准来分析投资组合绩效的非常规收益率资本资产定价模型,但由于在非系统风险不能完全剔除的情况下,该模型对投资组合绩效的评价结果不如CAPM的评价结果,因此该模型在实际中应用不多。

  Brennan(1970)提出了考虑税率对证券投资报酬影响的资本资产定价模型;Vasicek,(1971),Black(1972)分别研究了不存在无风险借贷时的资本资产定价模型;Mayers(1972)提出了考虑存在退休金社会保险等非市场化资产情况下的资产定价模型的建立;Merton(1973)提出了多因素的ICAPM模型 (Intertemporal CAPM),为后来的长期投资理论奠定了基础。E.Linderberg(976、1979)研究了存在价格影响者时的资本市场均衡和投资者的组合选择问题。结果发现所有投资者(包括价格影响者)都持有市场组合和无风险资产的某个组合,故仍可得到形式简单的CAPM,只不过此时的单位风险价格低于所有投资者都是价格接收者时的单位风险价格。他还证明了通过兼并或合伙,个体或机构投资者可以增加他们的效用,这就是大型金融机构存在的原因之一。

  Sharpe(1970),E.Fama(1976),J.Lintler(1970),N.J.Gonedes(1976)等分别研究了投资者对资产将来的期望收益、收益的方差、协方差期望不一致时资本市场的均衡,他们得到了形式于标准CAPM类似的CAPM。

  由于资本资产定价模型的假设条件过于严格,使其在应用中受到一定局限。因此,对于CAPM的突破成为必然。

  Stephen.A.Ross(1976)提出了套利定价理论(APT)。APT不需要像CAPM那样作出很强的假定,从而突破性地发展了CAPM。

  Black,Scholes(1973)推导出期权定价公式,即B一S模型;Merton(1973)对该定价公式发展和深化。针对B—S模型假定股票价格满足几何--布朗运动在大多数情况下不符合实际价格变化的问题,Scholes,Ross(1976)在假定股票价格为对数泊松发布情况下推导出了纯跳空期权定价模型(Pure Jump Model);Merton(1976)提出了扩散--跳空方程(Diffusion-Jump Model);格利斯特和李(1984)研究了基础证券交易成本对期权价值的影响:当存在交易成本时,连续时间无套利定价会因为高昂的交易成本而无法实现;Merton(1990)运用了离散时间模型提出了交易成本与基础证券价格成比例的单阶段期权定价公式;波耶勒和沃尔斯特(1992)将Merton 的方法推广到了多阶段情形。

  拉马斯瓦米桑达瑞森(1985);Brenner;科塔顿,萨布拉曼·彦(1985)以及贝尔和托罗斯(1986)的研究指出,美式期货期权在利率为正的条件下比美式现货期权更易于执行;Lieu(1990)应用连续时间定价方法推出了期货纯期权的定价公式;陈,斯科特(1993)进一步研究指出,即使利率是随机的,期货纯期权价值也不受利率的影响;Chaudhurg,Wei(1994)研究了常规期货期权纯期权的价值关系,指出期货纯期权的价值高于美式期货期权的价值。Harrison,Krep(1979)发展了证券定价的鞅理论(theory of martingale pricing),该理论目前仍是金融研究的前沿课题。

现代投资理论的产生与发展[1]

  现代投资组合理论主要由投资组合理论资本资产定价模型APT模型有效市场理论以及行为金融理论等部分组成。它们的发展极大地改变了过去主要依赖基本分析的传统投资管理实践,使现代投资管理日益朝着系统化、科学化、组合化的方向发展。

  1952年3月,美国经济学哈里·马考威茨发表了《证券组合选择》的论文,作为现代证券组合管理理论的开端。马克威茨对风险和收益进行了量化,建立的是均值方差模型,提出了确定最佳资产组合的基本模型。由于这一方法要求计算所有资产的协方差矩阵,严重制约了其在实践中的应用。

  1963年,威廉·夏普提出了可以对协方差矩阵加以简化估计的夏普单因素模型,极大地推动了投资组合理论的实际应用。

  20世纪60年代,夏普、林特和莫森分别于1964、1965和1966年提出了资本资产定价模型CAPM)。该模型不仅提供了评价收益-风险相互转换特征的可运作框架,也为投资组合分析基金绩效评价提供了重要的理论基础。

  1976年,针对CAPM模型所存在的不可检验性的缺陷,罗斯提出了一种替代性的资本资产定价模型,即APT模型。该模型直接导致了多指数投资组合分析方法在投资实践上的广泛应用。

投资组合的思想[1]

  1、传统投资组合的思想——Native Diversification

  (1)不要把所有的鸡蛋都放在一个篮子里面,否则“倾巢无完卵”。

  (2)组合中资产数量越多,分散风险越大。

  2、现代投资组合的思想——Optimal Portfolio

  (1)最优投资比例:组合的风险与组合中资产的收益之间的关系有关。在一定条件下,存一组在使得组合风险最小的投资比例。

  (2)最优组合规模:随着组合中资产种数增加,组合的风险下降,但是组合管理的成本提高。当组合中资产的种数达到一定数量后,风险无法继续下降。

  3、现代投资理论主要贡献者(Pioneers):

贡献者简介主要贡献代表作(Classic Papers)
托宾(James Tobin)1981年诺贝尔经济学奖哈佛博士,耶鲁教授。流动性偏好托宾比率分析分离定理Liquidity Preference as Behavior toward Risk,” RES,1958.
马考维茨(Harry Markowitz)1990年诺贝尔经济学奖,曾在兰德工作。投资组合优化计算、有效疆界。“Portfolio Selection,”,JOF,1952.
夏普(William Sharp)1990年诺贝尔经济学奖,曾在兰德工作,UCLA博士,华盛顿大学斯丹福大学教授。CAPM“Capital Asset Pricing: A Theory of Market Equilibrium Under Condition of Risk,” JOF, 1964.
林特勒(John Lintner)美国哈佛大学教授CAPM“The Valuation of Risk Assets & Selection of Risky Investments in Stock Portfolio & Capital Budget,” RE&S, 1965.

投资组合的基本理论[1]

  马考维茨经过大量观察和分析,他认为若在具有相同回报率的两个证券之间进行选择的话,任何投资者都会选择风险小的。这同时也表明投资者若要追求高回报必定要承担高风险。同样,出于回避风险的原因,投资者通常持有多样化投资组合。马考维茨从对回报和风险的定量出发,系统地研究了投资组合的特性,从数学上解释了投资者的避险行为,并提出了投资组合的优化方法

  一个投资组合是由组成的各证券及其权重所确定。因此,投资组合的期望回报率是其成分证券期望回报率的加权平均。除了确定期望回报率外,估计出投资组合相应的风险也是很重要的。投资组合的风险是由其回报率的标准方差来定义的。这些统计量是描述回报率围绕其平均值变化的程度,如果变化剧烈则表明回报率有很大的不确定性,即风险较大。

  从投资组合方差的数学展开式中可以看到投资组合的方差与各成分证券的方差、权重以及成分证券间的协方差有关,而协方差与任意两证券的相关系数成正比。相关系数越小,其协方差就越小,投资组合的总体风险也就越小。因此,选择不相关的证券应是构建投资组合的目标。另外,由投资组合方差的数学展开式可以得出:增加证券可以降低投资组合的风险。

  基于回避风险的假设,马考维茨建立了一个投资组合的分析模型,其要点为:

  (1)投资组合的两个相关特征是期望回报率及其方差。

  (2)投资将选择在给定风险水平下期望回报率最大的投资组合,或在给定期望回报率水平下风险最低的投资组合。

  (3)对每种证券的期望回报率、方差和与其他证券的协方差进行估计和挑选,并进行数学规划(mathematicalprogramming),以确定各证券在投资者资金中的比重。

投资组合理论的新发展[2]

  (一)基于交易费用和流动性的投资组合理论

  如果市场是无效的和存在摩擦的,就会导致交易成本的存在,而开放式基金的流动性直接与交易成本相关。关于市场摩擦的投资组合问题,是由Magil和 Constantinides首先提出来的,之后Davis和Norman对此做了进一步研究。Davis(1990)等人利用随机控制方法分析了在存在市场摩擦的情况下与证券流动性相关的交易成本问题,发现保持在一定风险区间内并且在接近区间的边界时作最小交易是合理的。 Shreve,Akian(1995)等人利用粘度理论研究了具有交易成本的多维资产组合问题,并利用有限差分法求解了一个三资产的期终财富最大化问题。但是,Davis,Shreve,Akian等提出的方法忽略了固定成本所导致的较大交易成本,后来的Eastham和Hastings使用脉冲控制方法有效地解决了这一问题。Morton和Pliska(1995)也研究了固定交易成本下的最优组合管理问题,尽管他们建立的模型中的交易成本不是真实的交易成本,但是他们的方法在解决相应的组合问题时具有一定的指导作用。

  最近的研究认为证券的流动性是证券价值的决定性因素,相对于流动性证券来说,非流动性证券的定价总是存在一定的折扣。例如Amihud和 Mendelson(1991),Kamara(1994)就证实在非流动性的中期债券和流动性的国债间存在超过35个基本点的收益差距;Whitelaw(1991)等也证实过类似现象。Brito(1977),Subrahanyam (1979),Amihud和Mendelson(1986),Duma,和Luciano(1991),Boudoukh和 Whitelaw(1993),Constantinides和Mehra(1998)等关于资产组合的流动性作用的研究成果,集中在外生的交易成本和借入或卖出的限定上,而后来Longstaf(2001)的研究则是集中于交易策略和证券价值内生的非流动性作用上。Longstaf解决了投资者受限于流动性限制的跨期组合问题。

  (二)基于风格投资的投资组合理论

  风格投资始于1992年威廉·夏普的论文《资产配置:风格管理与业绩评价》。风格投资在国外的研究主要集中在以下几方面:

  第一,投资风格的分析。目前普遍接受的风格分析方法主要有和基于组合的风格分析。前者是由Sharp提出基于收益的风格分析,他认为通过比较基金的收益和所选择的风格指数收益之间的关系可以判定基金管理人在过去一段时间的投资风格;后者主要是根据基金实际持有的股票特征来划分基金的投资风格。 Kahn(1996)发现对于小样本基金,基于组合分析来预测风险比基于收益的分析方法具有更高的相关性;Kaplan(2003)研究发现对于大盘价值型组合,两种风格分析方法所得结果相似,而对于中小盘和成长型组合,两种分析方法则存在显著差异

  第二,风格投资的表现及形成原因研究。风格投资常常表现出小市值效应(投资于小规模公司股票所获得的收益要高于投资于大规模公司股票)和BV/MV效应(净资产/市值)。Banz(1981)最早发现,最小一类公司股票的平均收益率要高出最大一类股票19.8%;Reinganum (1981)也发现类似现象。对于BV/MV效应,Stattman (1980)发现美国公司股票的平均收益与其BV/MV呈正相关关系;Fama和French(1992)也证明美国市场的BV/MV效应明显。对此,有这样几种解释:其一,Fama和French(1993,1995),Johnson(1997)等人认为风格投资的超额收益是对风险的补偿,而这些风险被正统的资本资产定价模型所遗漏;其二,Lakonishok,Shleifer和Vishny(1994)认为超额收益是由于投资者对某种股票过去表现的过度反应所致;其三,Daniel和Titman(1997)认为由于具有某种相同属性的公司分享着某些共同特征,因而有可能同时出现一些经营上的问题而导致上述两种效应;其四认为是计算方法的选择以及数据处理等人为原因造成的。

  第三,风格投资的周期性以及风格转换策略研究。从价值型/成长型或大盘股刊、盘股等角度来看,风格投资在不同时期有着不同表现,存在周期性。弗兰克等 (2002)研究表明,美国、日本股票市场小盘股/大盘股总是间隔表现较差或优良。David,Robert和Christopher (1997)通过美国、加拿大等国数据分析发现,价值型/成长型组合的收益率存在较为明显的周期型。由于风格投资具有周期性,因而投资者可以通过风格转换以获取更好收益。Levi,和Liodakis(1999)通过对英国股市的研究认为,当两种相对风格的收益率差异不显著时,投资者有机会通过风格转换增进组合绩效;另外一些学者如KevinQ .W ang(2003)、Georgi(2003)等也分别对此现象进行了研究。

  第四,风格投资对证券市场的影响研究。Lee和Andrei等(1991)用风格投资的理论解释了为什么在同一证券市场挂牌的基金虽持有完全不同的股票,但却同涨同跌;Froot等(1999)同样运用风格投资的概念解释了在不同交易所上市的同种股票却有着不同表现的原因;Sorensen与 Lazzara(1995),Anderrson(1997)及Fochtman(1995)也先后就某种风格与某种具体影响因素(如宏观经济因素、价格趋势等)之间的关系进行了研究。

  (三)基于连续时间的长期投资组合理论

  长久以来,马柯维茨的均值--方差理论在指导人们短期投资中占有重要地位。但事实上,长期投资和短期投资的最优资产组合不尽相同。

  Samuelson(1963,1969)等最早描述了长期投资者与短期投资者作出相同决策的限制条件;Merton(1969,1971,1973)也对此进行了长期、深人的研究。他们的研究告诉人们,投资机会会随时间变化,长期投资者总是关心长期中投资机会所受到的冲击,并希望从中套利。 Kim,Omberg(1996);Balduzzi;Lynch(1999);Barberis(2000)等人建立了长期投资者资产组合选择的实证模型,这些模型是建立在 Samuelson(1963,1969);Mossin(1968);Merton(1969,1971,1973);Stiglitz(1979);Rubinstein(1976a,b);Breeden(1979)等文献的基础上,并且最终完成了早期理论文献的实证检验。他们假设一个生命有限的投资者具有期末财富的HARA (hyperbolic absolute risk aversion)效用,结果发现没有用到任何近似,最优的组合权重是线性的。Balduzzi,Lynch通过对那些忽视投资长期性的投资者的效用检验得出,忽略现实的交易成本将导致效用成本增加0.8%到16.9%;Barberis研究发现即使将许多参数的不确定性包含进模型之后,还有足够的收益期望使长期投资者总能在股票上分配更多资产。

  对于利率在长期的影响,Morton(1973)提出了套期保值效应,当投资者的风险厌恶系数大于1时,对风险资产的需求不仅受到资产风险溢价的影响,还受到预期收益率与预期远期利率调整的协方差的影响;对于跨期理论中的跨期预算约束条件,Campbel(1993)认为当消费--财富比率不变或变动不大时,投资者的跨期预算约束条件为近似线形;Tepla(2000)在允许借入和卖空的约束条件下,将静态投资组合的选择标准结果扩展到动态的跨期模型。 Campbell和Viceira(2001)对这部分结论也有详细的阐述。

  对长期投资的资产组合选择和风险控制问题,Jeremy Siegel(1994)通过分析认为在长期投资中,股票的风险低于债券甚至国库券,在长期股票是最安全的投资资产。 Campbel,Viceira(1999,2000)证明对最优投资策略中市场择机的忽略,会导致更大的效用损失。 Campbell,Chan,Viceira (2001)等用VaR(一阶向量自回归)模型来分析长期投资者的消费和资产组合选择问题。研究表明,股票收益的可预测性增加了投资者对于股票投资的需要,并且长期通货膨胀债券能够增加稳健投资者的效用; John Y.Campbell,George Chacko,Jorge Rodriguez(2004)的研究也展示,保守的长期投资者有一个积极的股票跨期套利需求。这些研究对长期资产组合框架的建立作出了卓越贡献。

  对长期投资的资产配置问题,用连续时间数学来分析动态资产组合选择,至少可以追溯到Robert Merton(1969--1973)的研讨工作。Duffle(1996);Karatzas,Shreve(1998);Morton(1990)给出了连续时间中资产组合选择的一般方法。Chacko,Viceira(1999)探讨了时变风险对投资的影响。 Cox,Huang(1989);Cox,Leland(1982);Pliska(1996)等提出跨期消费与资产组合选择的“鞍方法”,利用完全市场中的SDF(随机贴现因子)属性,把动态问题转换为静态问题,使得结果更容易求解。Campbell,Viceira(2002)在他们合著的《战略资产配置:长期投资者的资产组合选择》中第一次系统地讨论了长期资产组合选择问题。他们创立了一个可以与均值方差分析相媲美的跨期实证分析方法;证明了长期通货膨胀指数化债券是对于长期投资者的无风险资产;揭示了股票作为对长期投资者比短期投资者更为安全资产的条件;证明了劳动收入怎样影响资产组合选择。

  (四)基于VaR的投资组合理论

  VaR方法在20世纪50年代才得到研究证券投资组合理论的学者们关注,它原先被人们用于测度一些金融公司交易证券的市场风险。VaR方法的引入在一定程度上弥补了原先投资组合理论对证券投资组合风险度量的不足。

  国外学者先后给VaR从不同角度进行定义。

  Joroin(1996)认为是给定概率置信水平内最坏情况下的损失;Sironi,Resti(1997)认为是在定义期间内,在一定的概率条件下,潜在的最大损失。

  Luciano(1998)认为是在一定的概率条件下,单个头寸或整个组合可能产生的损失;在给定资产(组合)价值变动分布的前提下,风险按照价值变动超过某一临界点的可能性来界定。

  Mauser,Rosen,Jorion(2001)分别利用历史模拟法蒙特卡罗模拟法估算了VaR条件下的资产组合选择最优化问题。但VaR仍然存在有很多的缺陷。

  Artzner等(1999)提出了一致性风险度量Coherent Measures of Risk)的概念,其中一致性以四条公理假设条件作为判别标准,由于VaR不满足四个条件中的次可加性(Sub-Additivity),意味着在某些条件下拒绝资产组合风险分散化原理,认为VaR不是一个Coherent风险度量。

  基于此,Pflug,Rockafellar,Uryasev(2000,2002);Acerbi,Tasche(2002)先后提出了条件风险价值Conditional Valueat Risk,CVaR)作为风险的度量来对VaR进行修正。CvaR被定义为损失超过VaR部分的条件期望,只考虑下跌风险Downside Risk)。如果VaR对应的置信区间为(1-α),则α-CVAR就是超过α-VAR的平均损失;针对VaR无法比较来自不同市场的风险暴露,Giuseppe Tardivo(2002)提出Benchmark-VaR的概念,即在一定的时间段内,在一定的置信区间内,基金或者组合偏离基准(Benchmark)的最大离差;Emmer等(2001)引入了风险资本Capital at Risk,CaR)的概念,用以代替方差来衡量风险;鉴于VaR仅测度了市场常态下的资产组合的风险,Embrechts等(1997)将测度极端情况的极值理论与VaR相结合提出了测度市场极端风险的方法,McNeil,Frey(2000)运用极值理论研究了瑞士金融市场时间序列的尾部特征,结论认为极值方法比VaR更为稳健和精确。

  在界定了VaR和CVaR等风险测度指标后,以其为基础研究资产组合选择的工作相应展开。

  Rockafellar等(2000),Anderson等(2001)考虑了CVaR作为风险测度时的资产组合优化问题,证明了CVaR是凸函数,可以用来构建有效的优化方法,而且Rockafellar等还提出了一种线性规划方法,可以同时最小化VaR和CVaR。Emmer等在引入了风险资本Capital at Risk,CaR)的概念后,建立了资产组合选择的“均值-CaR模型”,推导出解析形式的最优解和有效边界;Young(1998)提出了一个极大极小收益的资产组合模型(MMR):在保证资产组合平均收益率超过某一最低收益水平约束下,极大化其任一时期的极小收益,决策目标是考虑在最不利收益中取最优收益。风险度量指标采用的是最小的可能收益而不是方差。

  另外Bogentoft等(2001);Topaloglou等(2002);Castellacci,Siclari(2003)也研究了基于VaR和CVaR的资产组合选择问题。

  (五)基于非效用最大化的投资组合理论

  Cover是较早非效用最大化投资组合理论的学者之一,他提出了在离散时间条件下的泛组合模型。该模型的突出优点是构建它不需要知道市场参数及有关统计信息,如利率、价格波动率,甚至不需要详细描述离散时间条件下价格变动的动力学机制,只要通过跟踪不同证券权重的绩效加权变动情况便可达到最优恒定组合。 Cover还描述了泛组合的渐近行为,并引用实例说明了泛组合具有较好的解释力。

  Hellwing提出了一种普遍适用的经济资源定价方法---价值维持原理(Value Preserving Principle),即资源的内在价值(将来收益价值)不随时间变化而变化。Helwing利用该方法考察了在离散时间、有限状态空间条件下证券市场的组合最优化问题,并表现出较好的解释力。

  Buckley和Korn从考察随机现金流下的指数跟踪误差的角度认为:对于那些消极跟踪指数的投资者来说,其理想状况的证券组合总是由进人指数的所有证券持有组成。这必然导致资本资产投资者持有的现金账户绩效与指数绩效的偏离(即导致跟踪误差的产生)。据此,Buckley和Korn给出了这种情形下的相关模型(即基于半鞍的一般连续时间模型),分析了投资者导致的脉冲控制问题,并给出了其存在最优控制策略的一般条件。除此之外,他们还探讨了某些扩散类型市场价值维持策略的存在性和惟一性,解决了来自于非完全市场中的期权套期保值理论的惟一价值维持测度问题(即最小鞍测度问题),并考察了附加约束对组合策略的影响。

  (六)行为金融和行为投资组合理论

  近20年来的金融实证研究不断发现股票收益率具有可预测性的证据,EMH的理论基础和实证检验都受到了强有力的挑战。证券市场上实证研究发现了许多无法由 EMH和资本资产定价模型加以合理解释的异常现象。面对一系列金融异象,人们开始质疑以有效市场假说为核心的传统金融理论。由于行为金融学能够较好地解释这些现象,因此原先不受重视的行为金融学开始受到越来越多学者的关注。

  行为金融学的发展可分为三个阶段:

  第一,萌芽阶段。

   行为金融学的起源可追溯到19世纪Gustave Lebon和Mackey[1]在其著作中就已经开始研究投资市场行为了。凯恩斯(1936年)的“空中楼阁理论”开始关注投资者自身的心理影响。该理论主要从心理因素角度出发,强调心理预期在人们投资决策中的重要性。他认为决定投资者行为的主要因素是心理因素,投资者是非理性的,其投资行为是建立在所谓“空中楼阁”之上,证券的价格决定于投资者心理预期所形成的合力,投资者的交易行为充满了“动物精神”(animal spirit)。

  Burrel(1951)发表《投资战略的实验方法的可能性研究》一文,标志着行为金融学的真正产生,该文首次将行为心理学结合在经济学中来解释金融现象。

  第二,基础理论确立阶段。

  Burrel,Bauman(1969)发表《科学投资方法:科学还是幻想》认为,金融学新的研究领域应该重点考虑数量模型和传统行为方法的结合,这样会更贴近实际。

  Slovic,Bauman教授(1972)发表了《人类决策的心理学研究》,这篇文章为行为金融学理论作出了开创性的贡献。

  Daniel KahnemanAmos Tversky(1974)在《科学》杂志中,讨论了直觉驱动偏差(Heuristic-driven error)。

  TverskyKahneman(1979)发表了《展望理论:风险决策分析》,正式提出了展望理论。该理论以其更加贴近现实的假设,严重冲击并动摇了传统金融学所依赖的期望效用理论,并为行为金融学奠定了坚实的理论基础。

  同时,Tversky,Kahneman(1979)在《经济计量学杂志》讨论了框架依赖(Frame dependence)。

  第三,发展繁荣阶段。

  预期理论的提出大大推动了行为金融学的发展,一大批研究成果相继取得。

  Debondt,Thaler(1985)发表了题为《股票市场过度反应了吗?》一文,引发了行为金融理论研究的复兴。

  De Bondt,Thaler(1985,1987)发现的逆向投资策略以及Jegadeesh,Titmann(1993,2001,2002)发现的动量投资策略,更是引起市场的广泛关注。而Robert Shearer(2000)发表的《非理性繁荣》却标志行为金融学的兴起。

  De Bondt(2000)实证研究发现除了美国之外,英国、加拿大、德国、瑞士、瑞典、荷兰、西班牙、马来西亚、澳大利亚、巴西等国家都存在过度反应现象。与过度反应情况相反,Jegadeesh,Titman(1993)发现,根据过去3--12个月的市场表现,买进表现较好的公司股票,同时卖出表现较差的公司股票,所构造的这个零投资组合在下一年度平均每月有1%的收益。Rouwenhorst(1998)采用1978--1995年间欧盟12国的 2190家公司作为样本构造国际投资组合。在考虑了风险、公司规模、不同国家差异后,实证研究结果表明,过去赢家在未来1年内的表现优于过去的输家大约每月1%。这个结果与Jegadeesh,Titman(1993)关于美国市场的结果是一致的。

  针对上述问题,出现了许多解释性的研究结果。

  Zarowin(1990)认为逆向效应可能是季节效应造成的。Conrad,Kaul(1998)将动量投资策略和逆向投资策略的获利性完全归因于期望收益率的截面方差,而不是任何收益率可测的时间序列方差。 Barberis,Shleifer,Vishny(1998);Daniel,Hirshleifer,Sburamanyam(1998);Hong Stein(1999);Huang,Barberis(2001)认为行为金融理论所描述的投资者解读信息方式的内在偏差或信息缓慢扩散也可能导致所谓股价反应不足和过度反应,从而产生逆向效应和动量效应。Moskowitz,Grinblatt(1999)认为个股动量效应可以由行业动量效应来解释。

  Lo,Mackinlay(1990a)以及Jegadeesh,Titman(1995)认为股价对信息反应不足或者反应过度是导致投资组合内个股自身及彼此间收益率时间序列可预测性的原因,也是动量投资策略和逆向投资策略获利性的重要来源。Barberis(1998)提供了可解释反应过度和反应不足的模型。Hersh Shefrin(2000)提出情绪测度的概念,以情绪测度资产价格和基本价值之间的总体偏差。异质能解释期权定价的“波动性微笑”和均值方差组合的“皱眉”。Mehra,Sah(2002)在Becker,Mulligan(1997)建立的主观贴现因子内生决定的理论框架基础上将主观贴现因子的波动称为情绪波动,并进一步研究了主观贴现因子的波动对均衡股票价格的定量影响。他们通过计算发现,主观贴现因子的1个百分点的波动可以导致股票价格高达几十个百分点的波动。也就是说,投资者情绪的较小波动,可以引起股票价格的很大波动。从而解释了股票市场的过度波动性。

  在行为金融繁荣发展的过程中,行为金融学有关理论和行为资产组合理论(BPT)及行为资产定价模型(BAPT)也在迅速发展。

  Shiller(1989)从证券市场的波动性角度,揭示出投资者具有非理性特征,同时他在羊群效应、投机价格和流行心态的关系等方面也做出了卓著的贡献。

  Odean(1998)考察了行为金融的处置效应---持有劣质东西而卖出优质东西的倾向。

  Poterba(1998)说明终身捐赠是和行为金融直接相关的。

  Thaler(1987,1999)研究了股票回报率的时间序列、投资者“心理账户”以及“行为生命周期假说”等问题。

  Rabin(2001)将人的心理行为因素引入经济学的分析模型,他关注在自我约束的局限下,人们会出现“拖延”和“偏好反转”等行为,这些有趣的研究成果对储蓄就业等问题都具有一些有意义的启示。

  Belsky,Gilovich(1999);Shefrin(2000)很好地介绍了行为金融,后者更加翔实。

  Barber,Odean,Zheng(2005)透视了共同基金投资者支出的重要性和行为金融概念的框架,强调了如何传递信息才能使信息和其内容一样重要。

  Delong,Shleife(1990)研究了不可预测的随机交易的结果,说明噪音交易者的随大流买卖导致了溢价的波动。

  Shefrin,Statman(1994)构造了一个关于异质交易者的对数效用函数模型,他们分析了代表人怎样利用不同交易者的异质理念,指出异质造成短期利率是随机而非固定的。Cabrales,Hoshi(1996)给出一个关于异质理念的动态定价模型。

  Shefrin,Statman(1994)以Roy(1952)的安全第一模型和Lopes(1987)的SP/A理论为基础,将投资者行为的研究成果与资产组合选择模型结合起来,提出单一心理账户行为资产组合理论BPT-SA)。该理论建模类似于均值-方差模型,目标函数也是期末财富期望值最大化,不同在于它的约束条件:期末财富低于最低财富的概率水平低于事前设定值。Shefrin,Statman还进一步提出多心理账户行为资产组合选择理论BPT-MA)。

  Gul(1991)建立一个考虑投资者失望厌恶效用函数模型,并进行了公理性的证明工作;利用他的研究工作,Epstein,Wang(1994);Bekaert等(1997)研究均衡资产定价问题;Ang等(2000)分析了失望厌恶偏好投资者的资产组合选择问题,得出一些定性的结论。Hwang,Satchell(2001)利用Benartzi,Thaler(1995)的损失厌恶效用函数模型分析了资产组合选择问题。他们的研究表明由于失望厌恶损失厌恶的存在,投资者在面临不利投资环境和事实损失时将更加趋向于风险厌恶,从而资产配置向无风险资产倾斜。

  Daniel等(2001)研究了过度自信的投资者和风险厌恶的理性套利者相互交易的多种风险证券过度自信模型

  在行为资产定价理论方面,Epstein,Zin(1989,1991);Weil(1989,1990)在Kreps,Porteus(1978)的理论框架基础之上提出了更加灵活的递归效用函数,推广了传统的时间可分、状态可分效用函数。而Weil(1989),Campbell(1999)在研究股票溢价之谜和无风险利率之谜时;Smith(2001);Seckin(2000);Campbell(1993);Restoy,Weil(1998);Duffie,Epstein(1992)研究资产定价模型时;Svensson(1989);Weil(1990);Dumas,Uppal,Wang(2000);Schroder,Skiadas(1999) 时将递归效用函数应用到资产定价领域的研究工作中。

  Constantinides(1990)在Merton(1969,1971)基础之上求解了引入习惯的消费-投资组合模型,并使用最优解解释了股票溢价之谜和消费平滑之谜。Sundaresan(1989)研究了基于习惯形成的资本资产定价模型。Abel(1990)使用习惯形成解释了股票溢价之谜。 Carroll(2000);Campbell,Cochrane(1999);Campbell(2000)研究了习惯形成对资产定价的影响。 Ferson,Constantinides(1991);Boldrin,Christiano,Fisher(1997);Haug(2001);Li(2001) 也研究了习惯形成对资产价格的影响。

  Abel(1990)研究了基于追赶时髦的资产定价模型。Gali(1994),Gollier(2003)研究了基于嫉妒的资产定价模型。 Abel(1999)构造了一个基于嫉妒和追赶时髦的消费外在性基础上的效用函数,并研究了一般均衡下资产的风险溢价期限溢价

  Bakshi,Chen(1996a)首次研究基于财富偏好的资产定价理论,在Merton(1969,1971)基础之上求解了基于消费偏好的消费-投资组合模型,并得到了相应的资产定价模型。

  Barberis,Huang,Santos(2001)在Lucas(1978)基础上,将投资者的效用函数定义在消费和财富的波动之上,从而投资者不但规避消费风险,还规避财富的损失

  Brunel(2005–2006,2006),Chhabra(2005),Nevin(2004)研究了行为资产配置。

投资组合理论的应用[1]

  投资组合理论为有效投资组合的构建和投资组合的分析提供了重要的思想基础和一整套分析体系,其对现代投资管理实践的影响主要表现在以下4个方面:

  1.马考威茨首次对风险和收益这两个投资管理中的基础性概念进行了准确的定义,从此,同时考虑风险和收益就作为描述合理投资目标缺一不可的两个要件(参数)。

   在马考威茨之前,投资顾问基金经理尽管也会顾及风险因素,但由于不能对风险加以有效的衡量,也就只能将注意力放在投资的收益方面。马考威茨用投资回报的期望值(均值)表示投资收益(率),用方差(或标准差)表示收益的风险,解决了对资产的风险衡量问题,并认为典型的投资者是风险回避者,他们在追求高预 期收益的同时会尽量回避风险。据此马考威茨提供了以均值一方差分析为基础的最大化效用的一整套组合投资理论。

  2.投资组合理论关于分散投资的合理性的阐述为基金管理业的存在提供了重要的理论依据。

  在马考威茨之前,尽管人们很早就对分散投资能够降低风险有一定的认识,但从未在理论上形成系统化的认识。

  投资组合的方差公式说明投资组合的方差并不是组合中各个证券方差的简单线性组合,而是在很大程度上取决于证券之间的相关关系。单个证券本身的收益和标准 差指标对投资者可能并不具有吸引力,但如果它与投资组合中的证券相关性小甚至是负相关,它就会被纳入组合。当组合中的证券数量较多时,投资组合的方差的大 小在很大程度上更多地取决于证券之间的协方差,单个证券的方差则会居于次要地位。因此投资组合的方差公式对分散投资的合理性不但提供了理论上的解释,而且 提供了有效分散投资的实际指引。

  3.马考威茨提出的“有效投资组合”的概念,使基金经理从过去一直关注于对单个证券的分析转向了对构建有效投资组合的重视。

  自50年代初,马考威茨发表其著名的论文以来,投资管理已从过去专注于选股转为对分散投资和组合中资产之间的相互关系上来。事实上投资组合理论已将投资管理的概念扩展为组合管理。从而也就使投资管理的实践发生了革命性的变化。

  4.马考威茨的投资组合理论已被广泛应用到了投资组合中各主要资产类型的最优配置的活动中,并被实践证明是行之有效的。

投资组合理论在应用上的问题

  马考威茨的投资组合理论不但为分散投资提供了理论依据,而且也为如何进行有效的分散投资提供了分析框架。但在实际运用中,马考威茨模型也存在着一定的局限性和困难:

  1.马考威茨模型所需要的基本输入包括证券的期望收益率、方差和两两证券之间的协方差。当证券的数量较多时,基本输入所要求的估计量非常大,从而也就使得马考威茨的运用受到很大限制。因此,马考威茨模型目前主要被用在资产配置的最优决策上。

   2.数据误差带来的解的不可靠性。马考威茨模型需要将证券的期望收益率、期望的标准差和证券之间的期望相关系数作为已知数据作为基本输入。如果这些数据 没有估计误差,马考威茨模型就能够保证得到有效的证券组合。但由于期望数据是未知的,需要进行统计估计,因此这些数据就不会没有误差。这种由于统计估计而带来的数据输入方面的不准确性会使一些资产类别的投资比例过高而使另一些资产类别的投资比例过低。

  3.解的不稳定性。马考威茨模型的另一个应用问题是输人数据的微小改变会导致资产权重的很大变化。解的不稳定性限制了马考威茨模型在实际制定资产配置政策方面的应用。如果基于季度对输人数据进行重新估计,用马考威茨模型就会得到新的资产权重的解,新的资产权重与上一季度的权重差异可能很大。这意味着必须对资产组合进行较大的调整,而频繁的调整会使人们对马考威茨模型产生不信任感。

  4.重新配置的高成本。资产比例的调整会造成不必要的交易成本的上升。资产比例的调整会带来很多不利的影响,因此正确的政策可能是维持现状而不是最优化。

投资组合理论在我国证券市场的应用

  今天,在我国股票市场运用投资组合理论进行决策分析至少具有两个方面的意义:

  一是马科维茨投资组合理论的核心思想是利用不同证券收益的相关性分散风险。

  我国股票市场的投资者(包括机构投资者)在投资决策中主要应用技术分析面和基本面进行分析,而这两种分析方法都是注重单只证券,基本上忽略了证券收益的相关性;

  二是在我国股票市场中,马科维茨投资组合理论可以用来稳定地战胜市场。

  通过研究发现,市场综合指数较大幅度地偏离了投资组合有效边界。在此条件下,利用投资组合有效边界完全可以稳定地战胜市场。

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参考文献

  1. 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 吕栋.股票价格估算与投资方法.中国经济出版社,2008.10.第140页
  2. 2.0 2.1 2.2 2.3 胡黄山.基于CVaR的投资组合理论及实证研究[D].东北大学.2005年
  3. 魏巧琴.保险投资学[M].上海财经大学出版社,2008.12.
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评论(共28条)

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121.34.201.* 在 2009年3月11日 09:12 发表

怎么没有图?

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116.255.61.* 在 2009年4月16日 07:54 发表

非常好的资料

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219.234.81.* 在 2009年12月12日 20:04 发表

应该附上一个图的

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UNNC (Talk | 贡献) 在 2010年1月5日 01:50 发表

缺一张图,,不过很好了!!!很有帮助,跟Brealey的书一模一样!!!

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Charen (Talk | 贡献) 在 2010年2月9日 20:56 发表

非常好了,如果能附上相应的数学推导就更好了啊

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117.32.153.* 在 2010年3月11日 14:56 发表

强烈建议补上图!

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121.8.235.* 在 2010年3月25日 20:31 发表

谢谢了,作者的学术水平应该很高吧

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155.245.35.* 在 2010年5月12日 03:44 发表

what does A and B means in the graph for optimal portfolio? please

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Hupeihong (Talk | 贡献) 在 2010年11月9日 10:42 发表

ok

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123.172.126.* 在 2011年3月2日 22:06 发表

思想内核提炼得很到位,佩服。

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220.248.225.* 在 2011年4月1日 15:41 发表

都是超的 而且 没有文献连接

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Dan (Talk | 贡献) 在 2011年4月1日 20:04 发表

220.248.225.* 在 2011年4月1日 15:41 发表

都是超的 而且 没有文献连接

添加了部分参考文献,希望对你有帮助~

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113.16.68.* 在 2011年8月15日 09:41 发表

thank you so much !

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122.57.221.* 在 2011年8月26日 09:02 发表

MVP是minimum variance portfolio

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123.150.197.* 在 2011年9月5日 10:30 发表

对啊,没有数学推导,我就是冲着这个来的

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Yixi (Talk | 贡献) 在 2011年9月5日 16:27 发表

123.150.197.* 在 2011年9月5日 10:30 发表

对啊,没有数学推导,我就是冲着这个来的

添加了新内容,希望对您有帮助!

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123.62.27.* 在 2012年4月23日 17:28 发表

我的论文题目是资本投资组合问题,稍微改一下这个行不????????

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刘增辉 (Talk | 贡献) 在 2013年4月20日 11:18 发表

好多东西都忘记了

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171.88.114.* 在 2013年4月30日 22:26 发表

很有用啊,如果对capm的各种模型衍生再细致点就更好了

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180.158.182.* 在 2014年1月10日 23:25 发表

看完了,没懂

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210.34.4.* 在 2014年3月3日 08:59 发表

很精练,估计作者水平很高。如果能加入一些关于CVaR计算的具体推到方法,就更好了!

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203.213.20.* 在 2014年7月31日 15:26 发表

122.57.221.* 在 2011年8月26日 09:02 发表

MVP是minimum variance portfolio

应该是Minimum Variance Point

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119.97.196.* 在 2016年3月18日 16:37 发表

很全面,很细致。希望能补上图,万分感谢!

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36.110.118.* 在 2016年8月31日 17:13 发表

基本概念和问题都阐述了,比较完整,清晰,赞,谢谢作者

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37duA (Talk | 贡献) 在 2017年7月12日 16:42 发表

一堆的解析失败是怎么回事,是还要安装其他软件吗?

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14.120.49.* 在 2017年10月1日 15:55 发表

very good

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ban (Talk | 贡献) 在 2018年4月28日 02:11 发表

求图啊!有效边界AMB,AMC

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Zoey (Talk | 贡献) 在 2018年8月30日 10:29 发表

希望可以更新数学推导以及相关公式

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