协方差

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协方差(Covariance,COV)

目录

什么是协方差

  在概率论统计学中,协方差用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况,即当两个变量是相同的情况。

  期望值分别为E(X) = μE(Y) = ν 的两个实数随机变量XY之间的协方差定义为:

  \operatorname{cov}(X, Y) = \operatorname{E}((X - \mu) (Y - \nu)), \,

  其中,E是期望值。它也可以表示为:

  \operatorname{cov}(X, Y) = \operatorname{E}(X \cdot Y) - \mu \nu. \,

  直观上来看,协方差表示的是两个变量总体的误差,这与只表示一个变量误差的方差不同。

  如果两个变量的变化趋势一致,也就是说如果其中一个大于自身的期望值,另外一个也大于自身的期望值,那么两个变量之间的协方差就是正值。

  如果两个变量的变化趋势相反,即其中一个大于自身的期望值,另外一个却小于自身的期望值,那么两个变量之间的协方差就是负值。

  如果XY是统计独立的,那么二者之间的协方差就是0。这是因为

  E(X \cdot Y)=E(X) \cdot E(Y)=\mu\nu,

  但是,反过来并不成立。即如果XY的协方差为0,二者并不一定是统计独立的。

  协方差cov(X,Y)的度量单位是X的协方差乘以Y的协方差。而取决于协方差的相关性,是一个衡量线性独立的无量纲的数。

  协方差为0的两个随机变量称为是不相关的。

协方差属性

  如果XY是实数随机变量,ab不是随机变量,那么根据协方差的定义可以得到:

\operatorname{cov}(X, X) = \operatorname{var}(X)\,
\operatorname{cov}(X, Y) = \operatorname{cov}(Y, X)\,
\operatorname{cov}(aX, bY) = ab\, \operatorname{cov}(X, Y)\,

  对于随机变量序列X1, ..., XnY1, ..., Ym,有

\operatorname{cov}\left(\sum_{i=1}^n {X_i}, \sum_{j=1}^m{Y_j}\right) =    \sum_{i=1}^n{\sum_{j=1}^m{\operatorname{cov}\left(X_i, Y_j\right)}}.\,

  对于随机变量序列 X1, ..., Xn,有

\operatorname{var}\left(\sum_{i=1}^n X_i \right) = \sum_{i=1}^n \operatorname{var}(X_i) + 2\sum_{i,j\,:\,i<j} \operatorname{cov}(X_i,X_j).

协方差矩阵

  分别为mn个标量元素的列向量随机变量XY,二者对应的期望值分别为μ与ν,这两个变量之间的协方差定义为m×n矩阵。

\operatorname{cov}(X, Y) = \operatorname{E}((X-\mu)(Y-\nu)^\top).\,

  两个向量变量的协方差cov(X,Y)与cov(Y,X)互为转置矩阵。

  协方差有时也称为是两个随机变量之间“线性独立性”的度量,但是这个含义与线性代数中严格的线性独立性线性独立不同。

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评论(共27条)

提示:评论内容为网友针对条目"协方差"展开的讨论,与本站观点立场无关。
3zang (Talk | 贡献) 在 2009年9月11日 16:57 发表

好久没看数学。。。。。差点全忘光了。。。。。得注意了

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58.61.144.* 在 2009年12月21日 15:03 发表

这个写的较好理解一点

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130.212.62.* 在 2010年3月6日 05:22 发表

thank you very much

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123.150.180.* 在 2010年3月12日 10:29 发表

谢谢

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121.8.235.* 在 2010年3月19日 16:27 发表

谢谢您的解释!

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113.240.2.* 在 2010年3月29日 15:36 发表

太久没碰数学了,好难

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220.191.168.* 在 2010年4月5日 12:44 发表

协方差可以用于多维函数分布么?

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220.113.4.* 在 2010年5月4日 14:21 发表

明白了,谢谢

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222.178.10.* 在 2010年6月20日 20:25 发表

比百度百科讲的深刻,那边不懂装懂的人较多!

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61.142.248.* 在 2010年7月1日 20:42 发表

同意楼上的说法~

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60.209.10.* 在 2010年8月1日 20:58 发表

专业成就价值!

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61.157.97.* 在 2010年8月25日 18:58 发表

看完了,还在晕乎啊!数学怎么忘记的这么快啊!!

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61.142.248.* 在 2010年9月27日 12:07 发表

谢谢您的分享

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128.249.106.* 在 2010年10月5日 05:46 发表

谢谢

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210.76.194.* 在 2010年10月12日 15:57 发表

通俗易懂,谢谢!

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111.186.48.* 在 2010年10月15日 19:36 发表

协方差属性 最后一个公式没有看懂 请给予解释 方便发邮件给我 huojining@tsinghuaet.com

回复评论
169.235.5.* 在 2010年10月29日 02:35 发表

111.186.48.* 在 2010年10月15日 19:36 发表

协方差属性 最后一个公式没有看懂 请给予解释 方便发邮件给我 huojining@tsinghuaet.com

你也太拽了

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1.85.12.* 在 2011年5月10日 15:58 发表

写的很好

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123.150.183.* 在 2011年10月5日 20:59 发表

不错,比百度好

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218.22.80.* 在 2011年11月6日 16:32 发表

谢谢!

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220.163.107.* 在 2012年1月30日 16:37 发表

谢谢!

回复评论
113.108.133.* 在 2012年7月13日 19:52 发表

真好,瞬间就懂了

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62.225.8.* 在 2013年4月9日 19:44 发表

128.249.106.* 在 2010年10月5日 05:46 发表

谢谢

不客气哈

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elephant (Talk | 贡献) 在 2015年12月2日 23:21 发表

最近刚好要用到统计协方差,上学的东西都忘记了

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潮夕之涌 (Talk | 贡献) 在 2016年1月18日 23:29 发表

果然,还是看不懂!

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潮夕之涌 (Talk | 贡献) 在 2016年1月18日 23:29 发表

elephant (Talk | 贡献) 在 2015年12月2日 23:21 发表

最近刚好要用到统计协方差,上学的东西都忘记了

你学统计的吗

回复评论
1.57.153.* 在 2016年2月21日 21:35 发表

慢慢研究吧,挺有意思的。

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