協方差

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協方差(Covariance,COV)

目錄

什麼是協方差

  在概率論統計學中,協方差用於衡量兩個變數的總體誤差。而方差是協方差的一種特殊情況,即當兩個變數是相同的情況。

  期望值分別為E(X) = μE(Y) = ν 的兩個實數隨機變數XY之間的協方差定義為:

  \operatorname{cov}(X, Y) = \operatorname{E}((X - \mu) (Y - \nu)), \,

  其中,E是期望值。它也可以表示為:

  \operatorname{cov}(X, Y) = \operatorname{E}(X \cdot Y) - \mu \nu. \,

  直觀上來看,協方差表示的是兩個變數總體的誤差,這與只表示一個變數誤差的方差不同。

  如果兩個變數的變化趨勢一致,也就是說如果其中一個大於自身的期望值,另外一個也大於自身的期望值,那麼兩個變數之間的協方差就是正值。

  如果兩個變數的變化趨勢相反,即其中一個大於自身的期望值,另外一個卻小於自身的期望值,那麼兩個變數之間的協方差就是負值。

  如果XY是統計獨立的,那麼二者之間的協方差就是0。這是因為

  E(X \cdot Y)=E(X) \cdot E(Y)=\mu\nu,

  但是,反過來並不成立。即如果XY的協方差為0,二者並不一定是統計獨立的。

  協方差cov(X,Y)的度量單位是X的協方差乘以Y的協方差。而取決於協方差的相關性,是一個衡量線性獨立的無量綱的數。

  協方差為0的兩個隨機變數稱為是不相關的。

協方差屬性

  如果XY是實數隨機變數,ab不是隨機變數,那麼根據協方差的定義可以得到:

\operatorname{cov}(X, X) = \operatorname{var}(X)\,
\operatorname{cov}(X, Y) = \operatorname{cov}(Y, X)\,
\operatorname{cov}(aX, bY) = ab\, \operatorname{cov}(X, Y)\,

  對於隨機變數序列X1, ..., XnY1, ..., Ym,有

\operatorname{cov}\left(\sum_{i=1}^n {X_i}, \sum_{j=1}^m{Y_j}\right) =    \sum_{i=1}^n{\sum_{j=1}^m{\operatorname{cov}\left(X_i, Y_j\right)}}.\,

  對於隨機變數序列 X1, ..., Xn,有

\operatorname{var}\left(\sum_{i=1}^n X_i \right) = \sum_{i=1}^n \operatorname{var}(X_i) + 2\sum_{i,j\,:\,i<j} \operatorname{cov}(X_i,X_j).

協方差矩陣

  分別為mn個標量元素的列向量隨機變數XY,二者對應的期望值分別為μ與ν,這兩個變數之間的協方差定義為m×n矩陣。

\operatorname{cov}(X, Y) = \operatorname{E}((X-\mu)(Y-\nu)^\top).\,

  兩個向量變數的協方差cov(X,Y)與cov(Y,X)互為轉置矩陣。

  協方差有時也稱為是兩個隨機變數之間“線性獨立性”的度量,但是這個含義與線性代數中嚴格的線性獨立性線性獨立不同。

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Allagesnow,Zfj3000.

評論(共28條)

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3zang (討論 | 貢獻) 在 2009年9月11日 16:57 發表

好久沒看數學。。。。。差點全忘光了。。。。。得註意了

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58.61.144.* 在 2009年12月21日 15:03 發表

這個寫的較好理解一點

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130.212.62.* 在 2010年3月6日 05:22 發表

thank you very much

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123.150.180.* 在 2010年3月12日 10:29 發表

謝謝

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121.8.235.* 在 2010年3月19日 16:27 發表

謝謝您的解釋!

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113.240.2.* 在 2010年3月29日 15:36 發表

太久沒碰數學了,好難

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220.113.4.* 在 2010年5月4日 14:21 發表

明白了,謝謝

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222.178.10.* 在 2010年6月20日 20:25 發表

比百度百科講的深刻,那邊不懂裝懂的人較多!

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61.142.248.* 在 2010年7月1日 20:42 發表

同意樓上的說法~

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60.209.10.* 在 2010年8月1日 20:58 發表

專業成就價值!

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61.157.97.* 在 2010年8月25日 18:58 發表

看完了,還在暈乎啊!數學怎麼忘記的這麼快啊!!

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61.142.248.* 在 2010年9月27日 12:07 發表

謝謝您的分享

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128.249.106.* 在 2010年10月5日 05:46 發表

謝謝

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210.76.194.* 在 2010年10月12日 15:57 發表

通俗易懂,謝謝!

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169.235.5.* 在 2010年10月29日 02:35 發表

你也太拽了

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1.85.12.* 在 2011年5月10日 15:58 發表

寫的很好

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123.150.183.* 在 2011年10月5日 20:59 發表

不錯,比百度好

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218.22.80.* 在 2011年11月6日 16:32 發表

謝謝!

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220.163.107.* 在 2012年1月30日 16:37 發表

謝謝!

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113.108.133.* 在 2012年7月13日 19:52 發表

真好,瞬間就懂了

回複評論
62.225.8.* 在 2013年4月9日 19:44 發表

128.249.106.* 在 2010年10月5日 05:46 發表

謝謝

不客氣哈

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elephant (討論 | 貢獻) 在 2015年12月2日 23:21 發表

最近剛好要用到統計協方差,上學的東西都忘記了

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潮夕之涌 (討論 | 貢獻) 在 2016年1月18日 23:29 發表

果然,還是看不懂!

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潮夕之涌 (討論 | 貢獻) 在 2016年1月18日 23:29 發表

elephant (討論 | 貢獻) 在 2015年12月2日 23:21 發表

最近剛好要用到統計協方差,上學的東西都忘記了

你學統計的嗎

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1.57.153.* 在 2016年2月21日 21:35 發表

慢慢研究吧,挺有意思的。

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M id b3adc4df11f8437f2619d00d86a9dd5b (討論 | 貢獻) 在 2020年6月1日 16:51 發表

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111.71.213.* 在 2020年12月29日 11:08 發表

感恩

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117.22.96.* 在 2021年3月1日 13:58 發表

的確比百度好,加油~

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