有限差分法

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有限差分法（Finite Differential Method, FDM）

什么是有限差分法

　　有限差分法是指用泰勒级数展开式将变量的导数写成变量，在不同时间或空间点值的差分形式的方法。

有限差分法的基本思想^[1]

　　按时间步长和空间步长将时间和空间区域剖分成若干网格，用未知函数在网格结(节)点上的值所构成的差分近似代替所用偏微分方程中出现的各阶导数，从而把表示变量连续变化关系的偏微分方程离散为有限个代数方程，然后解此线性代数方程组，以求出溶质在各网格结(节)点上不同时刻的浓度。

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有限差分法的基本步骤

　　（1）剖分渗流区，确定离散点。将所研究的水动力弥散区域按某种几何形状(如矩形、任意多边形等)剖分成网络系统。

　　（2）建立水动力弥散问题的差分方程组。

　　（3）求解差分方程组。采用各种迭代法，如点逐次超松驰方法(SOR)、线逐次超松驰方法(LSOR)、迭代的交替方向隐式方法(IADI)及强隐式方法(SID)等。

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期权定价的有限差分方法^[2]

　　通过求解衍生证券所满足的微分方程，有限差分法可用来为衍生证券估价，步骤如下：

　　1.将衍生证券的定解区域网格化（区域剖分）

　　对一个不付红利的衍生证券，其满足的微分方程为：

$(\partial f/\partial t)+rS(\partial f/\partial S)+(1/2)\sigma^2S^2(\partial^2 f/\partial^2 S)=rf$ 　　(1)

　　现在分别对时间（从0时刻到到期日）和股票价格（ $S m a x$ )为可达到的足够高的股票价格）进行分割，即\triangle S=S_{max}/M,\triangle T/N,这样就分别有N+1个时间段和M+1个股票价格，建立如图(所示的坐标方格，将定解区域网格化，坐标方格上的点（i,j）对应时刻 ${i,j}i\triangle t$ 和股票价格 $j\triangle|S$ ，用变量 $f i, j$ 表示（i,j）点的期权价格。

　　2.建立差分格式

　　（1）内含的有限差分方法

　　其步骤可分为以下几步：

　　(1)求 $\partial f/\partial S$ 前向差分近似: $\partial f/\partial S=(f_{i,j+1}-f_{i,j})=\triangle S$ 　　(2)

　　后向差分格式： $\partial f/\partial S=(f_{i,j}-f_{i,j-1})=\triangle S$ 　　(3)

　　将(2),(3)式平均可更加对称地求出 $\partial f/\partial S$ 的近似，即

　　 $\partial f/\partial S=(f_{i,j+1}-f_{i,j-1})/\triangle S$ 　　(4)

　　(2)求 $\partial f/\partial t$ 用前向差分近似：

　　 $\partial f/\partial t=(f_{i+1}-f_{i,j})/\triangle t$ 　　(5)

　　(3)求 $\partial^2 f/\partial^2 S$

　　 $\partial^2 f/\partial^2 S=[(f_{i,j+1}-f_{i,j})/\triangle S-(f_{i,j}-f_{i,j-1})/\triangle S]/\triangle S=(f_{i,j-1}+f_{i,j+1}-2f_{i,j})/\triangle S$ 　　(6)

　　(4)将(4),(5),(6)式代入(1)式可得到内含有限差分公式：

　　 $a j f i, j - 1 + b j f i, j - c j f i, j + 1 = f i + 1, j$ 　　(7)

　　其中： $a_j=(1/2)rj\triangle t-\sigma^2j^2\triangle t,b_j=1+\sigma^2j^2\triangle t+r\triangle t$

　　 $c_j=(1/2)rj\triangle t-\sigma^2j^2\triangle t,$ i=0,1,…，N-1。j=0,1…，M-1

　　针对看跌期权和看涨期权可分别求出方程的边界条件：

　　看跌期权： $f_{N,j}=max(X-j\triangle S),f_{i,0}=X i=0,1,\ldots,N,f_{i,M}=0 j=0,1,\ldots,M-1$

　　看涨期权： $f_{N,j}=max(j\triangle S-X),f_{i,0}=0 i=0,1,\ldots,N,f_{i,M}=S_{max}-X j=0,1,\ldots,M-1$

　　(5)利用边界条件和(7)式可以给出M-1个联立方程组：

　　 $a j f N - 1, j - 1 + b j f N - 1, j + c j f N - 1, j + 1$ 　j=1,2…，M-1

　　求解这M-1个联立方程组即可以求出期权价格，但对美式看跌期权时我们必须考虑其提前执行的情况。

　　内含有限差分法的优点是它很有效，当 $\triangle S$ 和 $\triangle t$ 都趋于0时，它总是收敛于微分方程组的解，即收敛性较好，但缺点是必须求解M-1个联立方程，计算较复杂。

　　2.外推的有限差分方法

　　外推的有限差分方法可以克服内含有限差分法的缺点，但是其假设条件是在股票价格相同时，i时刻与i+1时刻的f对S的一阶、二阶偏导数相同，因此(4),(5),(6)式分别变为：

　　 $\partial f/\partial S=(f_{i+1,j+1}-f_{i+1,j-1})/\triangle S$ 　　(8)

　　 $f/\partial^2 t=(f_{i+1,j}-f_{i,j})/\triangle S$ 　　(9)

　　 $\partial^2 f/\partial^2 S=(f_{i+1,j+1}-f_{i+1,j-1}-2f_{i+1,j})/\triangle S^2$ 　　(10)

　　将(8),(9),(10)分别代入(1)可得到外推有限差分方程：

　　 $f_{i,j}=a^*_jf_{i+1,j-1}+b_j^*f_{i+1,j}++c_j^*f_{i+1,j+1}$ 　　 $(7) *$

　　 $a^*_j=[1/(\triangle t)][-1/(\triangle t)+(1/2)\partial^2j^2\triangle t]$

　　 $b^*_j=[1/(1+r\triangle t)][1-\partial^2j^2\triangle t]$

　　 $c^*_j=[1/(\triangle t)][1/2(\triangle t)+(1/2)\partial^2j^2\triangle t]$

　　外推的有限差分方法可更好地用于计算期权价值，但收敛性更差。

　　3.其他有限差分法

　　一是Hopscotch法，即交叉使用内含和外推法计算节点的期权价值，也称“跳格子法”。二是Grank-Nicholson法，求内含和外推法的平均值，即将(7)和 $(7) *$ 平均求得期权价值。使用有限差分法有时可置换变量，如令Z=ln S而不以S为标的变量，使计算更有效。

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有限差分法与期权定价模型的联系

　　1.与Black-Scholes定价模型的联系

　　用模型得到的是精确解，而用有限差分法得到的是近似解，但两种方法的计算结果是接近的。

　　2.与树图法的联系

　　它们的计算都是从衍生证券有效期的最后时刻倒推到开始时刻，都能适合美式和欧式期权的定价，但当最终盈亏状态依赖于变量的过去历史和当前值时，应用它们就存在困难。外推有限差分法与树图法很相似，

　　其中 $a^*_j,b^*_j,c^*_j$ 可解释为 $\triangle t$ 时间间隔内股票价格变化概率 $a^*_j$ 是从 $j\triangle S$ 降到 $(j-1)\triangle S,b^*_j$ 是保持在 $j\triangle S$ 不变， $c^*_j$ 是从 $j\triangle S$ 升到 $(j+1)\triangle S$ 概率。