金融數學

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金融數學(Financial Mathematics)

　　金融數學又稱分析金融學、數理金融學、數學金融學，是20世紀80年代末、90年代初興起的數學與金融學的交叉學科。金融數學主要運用現代數學理論和方法(如:隨機分析、隨機最優控制、組合分析、非線性分析、多元統計分析、數學規劃、現代計算方法等)對金融(除銀行功能之外,還包括投資、債券、基金、股票、期貨、期權等金融工具和市場)的理論和實踐進行數量的分析研究。其核心問題是不確定條件下的最優投資策略的選擇理論和資產的定價理論。套利,最優和均衡是其中三個主要概念。近二十幾年來，金融數學不僅對金融工具的創新和對金融市場的有效運作產生直接的影響，而且對公司的投資決策和對研究開發項目的評估(如實物期權)以及在金融機構的風險管理中得到廣泛應用。

　　金融數學的歷史可以追溯到1900年法國數學家巴謝利耶的博士論文《投機的理論》,這宣告了金融數學的誕生。在文中他首次用布朗運動來描述股票價格的變化，他認為在資本市場中有買有賣，買者看漲、賣者看跌，其價格的波動是布朗運動其統計分佈是正態分佈。然而，巴謝利耶的工作沒有引起金融學界的重視達50多年。20世紀50年代初，薩繆爾森通過統計學家薩維奇重新發現了巴謝利耶的工作，這標誌了現代金融學的開始。現代金融學隨後經歷了兩次主要的革命，第一次是在1952年。那年，25歲的馬爾柯維茨發表了他的博士論文，提出了資產組合選擇的均值方差理論。它的意義是將原來人們期望尋找“最好”股票的想法引導到對風險和收益的量化和平衡的理解上來。給定風險水平極大化期望收益，或者給定收益水平極小化風險，這就是上述均值方差理論的主要思想。稍後，夏普和林特納進一步拓展了馬爾柯維茨的工作，提出了資本資產定價模型(簡稱CAPM),緊接著米勒提出了公司財務理論（MM理論）引發了第一次“華爾街革命”，是金融數學的開端。馬爾柯維茨和夏普也因他們金融數學中的開創性貢獻而獲得1990年諾貝爾經濟學獎。

　　1973年，布萊克和斯克爾斯用數學方法給出了期權定價公式，以及稍後，莫頓對該公式的發展和深化，期權定價公式給金融交易者和銀行家在衍生金融資產的交易中帶來了便利，推動了期權交易的發展，期權交易很快成為世界金融市場的主要內容，成為第二次“華爾街革命”。

　　兩次“革命”避開了一般經濟均衡的理論框架，形成了一門新興的交叉學科，即金融數學。馬爾科維茨夏普理論和布萊克一修斯公式一起構成了蓬勃發展的新學科——金融數學的主要內容，同時也是研究新型衍生證券設計的新學科——金融工程的理論基礎，從而使這兩次革命的先驅者分別在1990年和1997年獲得了諾貝爾經濟學獎。美國經濟學家羅伯特·恩格爾和英國經濟學家克萊夫·格蘭傑對時間序列理論在經濟和金融的研究中取得重要成果，也於2003年獲得諾貝爾經濟學獎，可以認為這是金融數學的研究第三次獲得諾貝爾經濟學獎。金融數學這門新興的交叉學科已經成為國際金融界的一枝奇葩。

　　在現代金融數學理論中,各種各樣的金融經濟學模型占據著中心地位。其中至今仍有重大影響的成果有:有效率的市場理論、證券組合理論、資本資產定價模型、套利定價理論、期權定價方程和資產結構理論等。

　　1.有效的市場理論

　　市場的有效性這一概念起源於本世紀法國人Bachelier的研究,他的貢獻是很大的,但是他的工作到近20年才日益被人認識到。他首次運用布朗運動模型來導出期權公式是在1900年,市場有效性的起源也正是在那個時候。然而市場有效性與信息相聯繫,確實是近幾十年來的工作。Fama指出價格完全反映了可以使用的信息時,這個市場才能被稱為是有效的;把一些信息進行交易時並不能產生經濟效益,那麼市場對這些信息就是有效的。但是市場是有套還是無套,是高效還是低效,不是非此即彼的問題,而是程度問題。

　　有效的市場假設一直是激烈爭論的問題之一,學者們進行了無數次的理論研究和實證考察,對有效的市場理論的邏輯基礎提出疑義:一方面市場的有效性是投機和套利的產物,而投機和套利都是有成本的活動;另一方面,因為市場是有效的,所以投機和套利是得不到回報的,這些活動就會停止,而一旦停止了投機和套利活動,市場又怎麼能繼續有效呢?無疑,投機和套利活動使得價格更為有效.正是這一矛盾統一體的不斷變化,才使市場呈現出統計上的周期性變化。

　　2.證券組合理論

　　證券金融市場的風險管理是個永恆的話題,投資者都想尋求收益回報,但又必須面對各種各樣的可能損失,市場到底存在哪些風險,如何確定風險的大小,如何才能實現收益最大化和風險最小化,歷來都是人們關註的焦點和難點。人們發現,投資者手中持有各種不同風險的證券即投資組合,可以減輕各種風險帶來的損失。自從1952年美國學者馬克維茨運用概率論和規劃論的方法創立證券組合理論以來,市場風險的神秘色彩逐漸淡化,不再變得那麼可怕和不可駕馭。

　　馬克維茨組合理論的立足點是全面考慮期望收益最大和不確定性(即風險)最小。它通過總結投資損失的概率分佈和可能收益的偏差程度(即統計學上的方差),發現投資者應該同時按適當比例購買各種證券而不是一種證券,進行分散化投資,其收益才儘可能是確定的.通過數量分析得出的這種結論,迎合了投資者規避風險的需要。隨著量化研究的不斷深入,組合理論及其實際運用方法越來越完善,成為現代投資學中的交流工具。但馬克維茨組合理論中的許多假設條件無法滿足,使其在現實中失效。為了剋服這一困難,後來發展了基於神經網路的證券優化演算法。

　　3.資本資產定價模型(CAPM)

　　馬克維茨組合理論解決了理論投資者的最優投資決策問題——如何確定投資比例.進一步要問:在資本市場達到均衡時,或所有投資者的投資行為均與現代組合理論描述的一致時,資本的收益如何確定,資產的收益如何決定,資產收益的風險如何測定,以及任意一種資產的期望收益與風險之間的函數關係是什麼?夏普、林特納和英辛在一系列理想假設條件基礎下提出了一種新的選擇證券組合的方法,即資本資產定價模型,剋服了馬克維茨模型選擇證券組合需要大量而複雜的計算的不足.CAPM的意義之一是,他建立了證券收益和風險的關係,揭示了證券風險報酬的內部結構,即風險報酬是影響證券收益的風險貼水的線性組合。而各相關因素的風險貼水是證券市場對風險的報酬,它們只與各個影響因素有關,與單個證券無關.CAPM建立了單個證券的收益市場資產組合和收益之間的數量關係.CAPM的另一個重要意義在於它把證券的風險分成了系統風險和非系統風險。

　　資本資產定價模型一直是大量的實證研究的基礎。總的來講,這些實證研究表明,資本資產定價模型可為金融市場的收益結構提供相當好的初步近似。

　　4.套利定價理論(APT)

　　資本資產定價模型刻畫了在資本市場達到均衡時資產收益的決定機制,但他基於眾多的假設,且其中的一些假設常與現實不符;在檢驗CAPM時,難以得到真正的市場組合.更重要的是一些經驗結果與CAPM相悖.有些現象如小公司現象很難用CAPM來解釋,這樣就更激勵人們去建立新的資本市場均衡理論.1970年羅斯提出了一種新的資本資產均衡模型——套利定價模型。該模型認為風險可由多個因素產生,不僅僅是一個市場因素.尤其是他對風險態度的假設比CAPM更為寬鬆,因此也更為接近現實.APT的核心是假設不存在套利機會.套利機會是指在無風險又無資本的情況下就可以從投資中獲取利益的機會.在這種情況下,證券的預期收益與風險因素呈現近似線性關係.因此可以說APT在更加廣泛的意義上建立了證券收益與巨集觀經濟中其他因素的聯繫,為證券走勢分析提供了比CAPM更好的擬合。

　　5.期權定價模型

　　1973年,布萊克和斯科爾斯發表了題為《期權價格和公司負債》一文,提出了有始以來第一個期權定價模型,在學術界和實務界引起了強烈反響.在那篇突破性的論文中,他們成功求解隨機微分方程,利用市場的套利條件,導出到期月以前的期權價格的精確公式。

　　布萊克和斯科爾斯的期權定價模型的推導建立在6個假設基礎上:沒有交易成本、稅收限制;無風險收益率是常量;股票不付股息;標的資產的隨機價格服從幾何布朗運動;對於貿易市場是連續開放的;期權是歐式的.該模型表明:期權的價格是期權商品市場價格、商品市場價格的波動、期權執行價格距到期日時間的長短以及安全利息率的函數。自從布萊克和斯科爾斯的論文發表以後,由默頓、考克斯、魯賓斯坦等一些學者相繼對這一理論進行了重要的推廣並得到廣泛的應用。期權定價模型可用來制定各種金融衍生產品的價格,是各種衍生產品估價的有效工具。期權定價模型為西方國家金融創新提供了有利的指導,是現代金融理論的主要內容之一。

　　6.資產結構理論

　　在現代金融理論中,公司的資產結構理論(也稱為MM定理)與有效市場理論和資產組合理論幾乎是在同一時期發展起來的具有同等重要地位的成果.在這個定理中,假設公司的投資政策和金融政策是相互獨立的,銀行利率等於債券利率,個人借貸和企業借貸是充分替代的;沒有企業和個人所得稅及破產風險;企業和投資者具有同等的投資機會及邊際成本和機會成本;資本市場充分有效運行,則公司的資本結構與公司的市場價值無關,亦即企業的資本結構選擇不影響公司的市場價值.MM定理的條件是非常苛刻的,正是因為這些假設抽象掉了大量的現實東西,從而揭示了企業金融決策中最本質的東西——企業經營者和投資者行為及其相互作用。該定理公開發表以後,一些經濟學家又對這一定理採用不同的方法從不同的角度作了進一步證明。其中最著名的有Hamda用資本定價模型進行了再證明,還有Stiglize用一般均衡理論作了再證明,結論都與MM定理是相一致的。

　　證券投資的直接目的是獲取收益,避免損失.而投資者在進行投資之前必鬚根據事先掌握的信息對各種證券進行分析預測,這實質上是一個證券投資決策問題.關於證券投資決策的研究通常可分為兩類:第一類是選擇哪一些證券及其數量多少的問題,即靜態投資組合問題,其具有奠基性的理論是前面提到的馬克維茨組合投資理論,具有代表性的方法有線性規劃方法、二次規劃方法和神經網路方法等;第二類是在什麼時間買賣多少證券的問題,即動態隨機控制問題.這類問題是近幾年研究的熱點之一,所使用的研究方法主要有隨機最優控制方法、H控制方法和微分對策方法。自從Pratt等經濟學家引入風險規避繫數概念以來,研究帶有風險規避的投資決策尚不多,而現實中的投資者大部分是風險規避者,只是風險規避程度不同而已,因此,研究風險規避投資者的行為更具有特別重要的意義。

　　（一）鞅理論

　　現代金融理論最新的研究成果是鞅理論的引入。在市場是有效的假定下，證券的價格可以等價於一個鞅隨機過程。由鞅方法直接把鞅理論引入到現代金融理論中，利用等價鞅測度的概念研究衍生證券的定價問題，得到的結果不僅能深刻揭示金融市場的運行規律，而且可以提供一套有效的演算法，求解複雜的衍生金融產品的定價與風險管理問題。

　　利用鞅理論研究金融理論的另一個好處是它能夠較好地解決金融市場不完備時的衍生證券定價問題，從而使現代金融理論取得了突破性的進展。目前基於鞅方法的衍生證券定價理論在現代金融理論中占主導地位，但在國內還是一個空白。

　　（二）最優停時理論

　　最優停時理論是概率論中一個具有很強應用背景的領域，他的蓬勃發展是60年代以後的事。近幾年，在國內也有一些學者開始熱心這一領域的研究，而且取得了可喜的成果。運用最優停時理論研究了具有固定交易費用的證券投資決策問題，給出了具有二個風險證券的投資決策問題一種簡化演算法。

　　（三）隨機最優控制理論

　　隨機最優控制理論是在上世紀60年代末在控制理論中應用布爾曼的最優化原理,並結合測度論和泛函分析方法發展起來的解決隨機問題的理論方法。國外的研究者很快就把隨機最優控制理論運用到相關的研究中來。從上世紀70年代初開始,默頓運用該理論對連續時間最優消費投資問題進行研究。脈衝最優控制理論是在剋服連續最優控制理論不足的背景下產生的,這是因為連續型的假設下交易非但有界而且還是連續變化的,這與證券投資的實際環境存在很大差距。在我國,彭實戈在倒向隨機微分方程上獲得了突破性研究,直到今天還在這一方面居於國際前沿。

　　（四）微分對策理論

　　金融市場的實際環境並不符合穩態假設,當出現異常波動時,證券價格並不符合幾何布朗運動.此時,用隨機動態模型研究投資組合問題不論從方法上還是從實際上來說都存在著很大的偏差.運用微分對策理論不僅可以放寬對市場穩態的假設,還可以把不確定性擾動做為敵對方,針對最差的一方加以優化,從而得到“魯棒性”很強的決策.同時,求解微分對策的布爾曼方程是一階偏微分方程,比求解隨機最優控制下的二階偏微分方程簡單。可見,運用微分對策理論研究金融問題前景很廣闊,而且研究重覆對策、隨機對策、多人對策理論在投資決策問題中更是值得重視的研究課題。

　　(五)其他智能化方法及實證方法

　　信息技術的迅速發展為金融數學的研究帶來了新的方法.遺傳演算法、模擬退火演算法、人工神經網路、小波分析等計算方法和金融學傳統方法結合起來,在風險控制和投資決策領域均取得了很好的成果,國內的研究比如譚華、謝赤等。實證研究就是從金融市場現實中取得數據,分析數據並建模型,然後揭示數據背後隱含的規律,最後返回數據和現實中檢驗結論的正確性.當今的研究越來越趨向實證研究,結論的好與壞在實際的檢驗下才能得到最終的驗證。

　　歷史上對金融經濟描述的模型主要有兩類。一類是牛頓的決定論模型,即給定初始條件或狀態時金融經濟的運行行為完全確定。一類是布朗的隨機游走模型。這兩種模型的金融狀態可以說是相互對立.近30年來,金融學界分成兩派:一派是技術分析型學者,相信市場遵循某種規律而迴圈;另一派是定量分析型學者,認為市場不存在周期性迴圈。最近,學者們運用從物理學中開發出來的方法分析非線性系統,認識到真實的情況應該是二者兼而有之.這樣,金融數學界現在至少面臨4個問題亟待解決.第一,對金融經濟的變與動的直覺三性,即隨機性、模糊性、混沌性進行綜合分析,來確定從彼到此的過渡條件、轉換機制、演變過程、本質特征、產生結果以及人們所採用的相應經濟對策,尤其是貨幣政策.第二,對以貨幣信用為核心的貨幣需求量、貨幣供給量、金融資金流向與流量進行綜合分析,給出貨幣均衡和非均衡的合理界定和合理模型,為改善社會總量平衡關係對財政、金融、物質、外匯的四大平衡提供依據.第三,對利率、匯率、保率甚至稅率和物價綜合指數進行綜合分析,為制定合理的三率體系提供符合實際的模型.第四,對生產力要素的選擇或部門資源配置,綜合金融經濟指標為研究對象的三觀(微觀、中觀、巨集觀)進行綜合分析,以便將其成果更充分、更廣泛地運用於金融經濟領域。

　　（一）新問題越來越多

　　金融數學模型都是在很多假設的條件下才能成立,這些假設有些與客觀現實有一定差距甚至抵觸,因而解決這類問題就不理想,範圍也十分狹窄,需要在數學上改進和發展。世界各國金融背景和管理模式各異,需要大量建立符合自己國情的金融模型和分析方法,例如CAPM適合歐式期權不適合美式期權。即使假設比較合理,由於金融環境和社會需求不斷發生變化以及創新運動的發展,為金融理論和金融數學提出了越來越多的問題,要求我們不斷進行探索。

　　（二）實證研究成為主要方向

　　所謂實證研究主要是強調了數據的重要性,即從金融市場現實中取得數據,分析數據並建立數學模型,然後揭示數據背後隱含的規律,最後返回數據和現實中檢驗結論的正確性。如果離開實際數據的支持和檢驗,單純從概念到概念(即文科研究人員習慣的定性分析),或者單純從模型到模型(即理科研究人員習慣的邏輯推理),這很難深刻地、客觀地揭示金融市場的發展規律。

　　（三）金融數學的方法展望

　　金融系統由於非線性、不確定性而成為複雜系統,為金融數學提出了較高的要求,尤其金融市場的特性:波動性、突發事件、市場不完全、信息不對稱等成為金融數學當前面臨的重要課題。金融市場上的波動現象一般可歸結為隨機的問題,像幾何布朗運動,然後進行隨機分析。但是金融市場多數情況下並不滿足穩定的假設,時常出現異常的波動。近些年來的最新研究成果自回歸條件異方差模型可以較好的派上用場。

　　突發事件是小概率事件,一般的隨機分析不能解釋重大的金融震蕩,例如1987年“黑色星期一”西方的金融崩潰。分形理論可以解釋股票如何瘋長和暴跌,起源於海岸線形狀和宇宙星系描述的分形理論是本世紀最傑出的數學成就之一。另外還有突變理論和衝擊理論也在金融理論中得到應用。不完全市場是指市場受到各種限制而不完備,如不允許賣空買空股票等。解決這類問題,除了Duffie的不完全市場的一般均衡理論之外,Karatzas等人引入的鞅理論能夠很好地解決金融市場不完備時的衍生證券定價問題,目前國外基於鞅方法的定價理論在金融理論中占主導地位。信息不對稱表現為經濟人掌握的信息不一樣。信息不對稱條件下的相互對策在數學上處理是相當困難的。但是微分對策、重覆對策、隨機對策、多人對策理論在金融研究中得到深入的探索和發展,有著較好的發展前程。金融數學建立在金融學和數學之上,而統計和電腦已是它須臾不可離開的主要工具。

　　金融與數學的結合越來越引起國際金融界和數學界的關註。金融數學也已經開始在我國得到了越來越廣泛的重視。所以更應鼓勵數學系學生去考經濟金融研究生；增加經濟和金融專業數學內容(而不是減少)，鼓勵專家學者“下海”，以形成高素質的新型企業家、銀行家集團，為我國的金融體制改革，以及我國金融市場與國際金融市場接軌、參與國際金融市場競爭，做出應有的貢獻。