期權定價模型

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期權定價模型（Option Pricing Mode1）

　　1、巴施里耶（Bachelier，1900）

　　2、斯普倫克萊（Sprenkle,1961）

　　3、博內斯(Boness，1964）

　　4、薩繆爾森（Samuelson,1965）

　　期權是購買方支付一定的期權費後所獲得的在將來允許的時間買或賣一定數量的基礎商品(underlying assets)的選擇權。期權價格是期權合約中唯一隨市場供求變化而改變的變數，它的高低直接影響到買賣雙方的盈虧狀況，是期權交易的核心問題。早在1900年法國金融專家勞雷斯·巴舍利耶就發表了第一篇關於期權定價的文章。此後，各種經驗公式或計量定價模型紛紛面世，但因種種局限難於得到普遍認同。70年代以來，伴隨著期權市場的迅速發展，期權定價理論的研究取得了突破性進展。

　　在國際衍生金融市場的形成發展過程中，期權的合理定價是困擾投資者的一大難題。隨著電腦、先進通訊技術的應用，複雜期權定價公式的運用成為可能。在過去的20年中，投資者通過運用布萊克——斯克爾斯期權定價模型，將這一抽象的數字公式轉變成了大量的財富。

　　期權定價是所有金融應用領域數學上最複雜的問題之一。第一個完整的期權定價模型由Fisher Black和Myron Scholes創立並於1973年公之於世。B—S期權定價模型發表的時間和芝加哥期權交易所正式掛牌交易標準化期權合約幾乎是同時。不久，德克薩斯儀器公司就推出了裝有根據這一模型計算期權價值程式的計算器。現在，幾乎所有從事期權交易的經紀人都持有各家公司出品的此類電腦，利用按照這一模型開發的程式對交易估價。這項工作對金融創新和各種新興金融產品的面世起到了重大的推動作用。

　　斯克爾斯與他的同事、已故數學家費雪·布萊克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一個期權定價的複雜公式。與此同時，默頓也發現了同樣的公式及許多其它有關期權的有用結論。結果，兩篇論文幾乎同時在不同刊物上發表。所以，布萊克—斯克爾斯定價模型亦可稱為布萊克—斯克爾斯—默頓定價模型。默頓擴展了原模型的內涵，使之同樣運用於許多其它形式的金融交易。瑞典皇家科學協會(The Royal Swedish Academyof Sciencese)贊譽他們在期權定價方面的研究成果是今後25年經濟科學中的最傑出貢獻。

1979年，約翰·考克斯(John Carrington Cox)、斯蒂芬·羅斯(Stephen A. Ross)、馬克·魯賓斯坦（Mark Rubinstein）的論文《期權定價：一種簡化方法》提出了二項式模型（Binomial Model），該模型建立了期權定價數值法的基礎，解決了美式期權定價的問題。

　　（1）Black—Scholes公式

　　（2）二項式定價方法

　　（3）風險中性定價方法

　　（4）鞅定價方法等

　　期權定價模型基於對沖證券組合的思想。投資者可建立期權與其標的股票的組合來保證確定報酬。在均衡時，此確定報酬必須得到無風險利率。期權的這一定價思想與無套利定價的思想是一致的。所謂無套利定價就是說任何零投入的投資只能得到零回報，任何非零投入的投資，只能得到與該項投資的風險所對應的平均回報，而不能獲得超額回報（超過與風險相當的報酬的利潤）。從Black-Scholes期權定價模型的推導中，不難看出期權定價本質上就是無套利定價。

　　1、金融資產收益率服從對數正態分佈；

　　2、在期權有效期內，無風險利率和金融資產收益變數是恆定的；

　　3、市場無摩擦，即不存在稅收和交易成本；

　　4、金融資產在期權有效期內無紅利及其它所得(該假設後被放棄)；

　　5、該期權是歐式期權，即在期權到期前不可實施。

　　C=S•N(D1)-L•E-γT•N(D2)　

　　其中:

　　D1=1NSL+(γ+σ22)Tσ•T

　　D2=D1-σ•T

　　C—期權初始合理價格　

　　L—期權交割價格

　　S—所交易金融資產現價

　　T—期權有效期

　　r—連續複利計無風險利率H

　　σ2—年度化方差

　　N()—正態分佈變數的累積概率分佈函數，在此應當說明兩點：

　　第一，該模型中無風險利率必須是連續複利形式。一個簡單的或不連續的無風險利率(設為r0)一般是一年複利一次，而r要求利率連續複利。r0必須轉化為r方能代入上式計算。兩者換算關係為:r=LN(1+r0)或r0=Er-1。例如r0=0.06，則r=LN(1+0.06)=0853，即100以583%的連續複利投資第二年將獲106，該結果與直接用r0=0.06計算的答案一致。　

　　第二，期權有效期T的相對數表示，即期權有效天數與一年365天的比值。如果期權有效期為100天，則T=100/365=0.274。　

1979年，科克斯（Cox）、羅斯（Ross)和盧賓斯坦（Rubinsetein）的論文《期權定價：一種簡化方法》提出了二項式模型（Binomial Model），該模型建立了期權定價數值法的基礎，解決了美式期權定價的問題。

二項式模型的假設主要有：

　　1、不支付股票紅利。

　　2、交易成本與稅收為零。

　　3、投資者可以以無風險利率拆入或拆出資金。

　　4、市場無風險利率為常數。

　　5、股票的波動率為常數。

假設在任何一個給定時間，金融資產的價格以事先規定的比例上升或下降。如果資產價格在時間ｔ的價格為Ｓ，它可能在時間t+△t上升至uS或下降至dS。假定對應資產價格上升至uS，期權價格也上升至Cu，如果對應資產價格下降至dS，期權價格也降至Cd。當金融資產只可能達到這兩種價格時，這一順序稱為二項程式。