連續複利

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連續複利(Continuous compounding)

目錄

什麼是連續複利

  複利就是複合利息,它是指每年的收益還可以產生收益,具體是將整個借貸期限分割為若幹段,前一段按本金計算出的利息要加入到本金中,形成增大了的本金,作為下一段計算利息的本金基數,直到每一段的利息都計算出來,加總之後,就得出整個借貸期內的利息,簡單來說就是俗稱的利滾利

  而連續複利則是指在期數趨於無限大的極限情況下得到的利率,此時不同期之間的間隔很短,可以看作是無窮小量。

連續複利的計算公式

  設本金為p0年利率為i,當每年含有m個複利結算周期(若一個月為一個複利結算周期,則m=12,若以一季度為一個複利結算周期,則m=4)時,則n年後的本利和為:

  \mathbf{p_{nm}=p_0(1+\frac{i}{m})^{mn}=p_0(1+\frac{i}{m})^{\frac{1}{i/m}ni}}

  當複利結算的周期數m\to \infty(這意味著資金運用率最大限度的提高)時,(1+\frac{i}{m})^{\frac{1}{i/m}} 的極限為e,即

  \lim_{m \to \infty}(1+\frac{i}{m})^{\frac{1}{i/m}}=2.7182818284590...=e

  所以當m\to \infty連續複利本利和公式為:

  p_n=\lim_{m \to \infty}p_0(1+\frac{i}{m})^{mn}=p_0\lim_{m \to \infty}[(1+\frac{i}{m})^{\frac{1}{i/m}}]^{ni}=p_0e^{ni}      (1)

  即:

  \mathbf{p_n=p_0e^{ni}}

  式中eni成為瞬間複利繫數,或稱一元錢的瞬間複利本利和

連續複利收益率

  短期投資利率常用APR來表示,一年有n=1/T期,每期利率為RT,則

  APR=n\bullet R_T

  APR\bullet T=R_T

  1+EAR=(1+R_T)^n=(1+APR\bullet T)^{1/T}

  \mathbf{1+EAR=\lim_{T\to 0}(1+APR\bullet T)^{1/T}=e^{CCR}}

  \mathbf{CCR=\ln (1+EAR)}

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評論(共12條)

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218.71.79.* 在 2010年11月22日 15:26 發表

e怎麼得出的?

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Dan (討論 | 貢獻) 在 2010年11月23日 14:00 發表

218.71.79.* 在 2010年11月22日 15:26 發表

e怎麼得出的?

添加和修改了部分內容,希望對你有幫助~

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82.41.182.* 在 2011年2月17日 11:06 發表

e=lim(1+1/n)^n 公式中m趨向無窮大的時候=e

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61.150.43.* 在 2011年9月10日 23:08 發表

e是極限公式求出的

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若为 (討論 | 貢獻) 在 2012年2月8日 11:14 發表

連續複利涉及的利率轉化問題 若Rc表示連續複利的利率,Rm表示一年計m次利息的利率, 則 滿足等式 (1+Rm/m)^m=e^Rc 可求得, Rc=m(ln(Rm/m)+1) Rm=m(e^(Rc/m)-1)

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113.226.60.* 在 2012年3月30日 01:25 發表

謝謝啊。

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27.24.141.* 在 2013年3月11日 18:02 發表

恩 比老師講的更詳細 不錯呀

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31.18.16.* 在 2013年7月14日 02:26 發表

第一個極限表達式下方的變數應該是m。

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114.36.62.* 在 2017年4月18日 17:39 發表

CCR=\ln (1+EAR)}

如果EAR<-1怎麼辦?

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36.102.227.* 在 2017年5月25日 13:36 發表

在實際生活中,有這種演算法嗎? 在實際生活中,利率,用款時間都是雙方商定的。能有這種縮短計算周期、為一方提高效益的單相思地計算利息收益的應用嗎? 這是不存在的,原因是這種推導即違反數學思維,又違背實際生活。

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27.25.83.* 在 2017年7月24日 17:31 發表

這樣好記多了,特別是那個e得出的方法,贊一個~

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117.178.8.* 在 2018年7月14日 11:37 發表

218.71.79.* 在 2010年11月22日 15:26 發表

e怎麼得出的?

e是一個常數。是有一個數學家很無聊(>ω<),不知道是用筆算還是計算器算出來的,當x無限大的時候,那個函數不會增長,而是等於一個常數,你可以拿計算器就可以算出這個數字

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