測度

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測度(Measure)

測度概述

　　數學上，測度(Measure)是一個函數，它對一個給定集合的某些子集指定一個數，這個數可以比作大小、體積、概率等等。傳統的積分是在區間上進行的，後來人們希望把積分推廣到任意的集合上，就發展出測度的概念，它在數學分析和概率論有重要的地位。

　　測度論是實分析的一個分支，研究對象有σ代數、測度、可測函數和積分，其重要性在概率論和統計學中有所體現的。

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測度的定義

　　形式上說，一個測度 $\mu\$ （詳細的說法是可列可加的正測度）是個函數。設 $\mathcal{A}$ 是集合 $X\$ 上的一個σ代數， $\mu\$ 在上 $\mathcal{A}$ 定義，於擴充區間 $[0,\infty]$ 中取值，並且滿足以下性質：

空集的測度為零：

$\mu(\emptyset) = 0$ 。

可數可加性，或稱 $σ$ 可加性：若 $E_1,E_2,\cdots$ 為 $\mathcal{A}$ 中可數個兩兩不交的集合的序列，則所有 $E_i\$ 的並集的測度，等於每個 $E_i\$ 的測度之總和：

$\mu(\bigcup_{i=1}^\infty E_i) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)$ 。

　　這樣的三元組 $(X, \mathcal{A}, \mu)$ 稱為一個測度空間，而 $\mathcal{A}$ 中的元素稱為這個空間中的可測集。

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測度的性質

　　下麵的一些性質可從測度的定義導出：

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單調性

　　測度 $\mu\$ 的單調性：

　　若 $E_1\$ 和 $E_2\$ 為可測集，而且 $E_1 \subseteq E_2$ ，則 $\mu(E_1) \leq \mu(E_2)$ 。

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可數個可測集的並集的測度

　　若 $E_1, E_2, E_3\cdots$ 為可測集（不必是兩兩不交的），並且對於所有的 $n\$ ， $E_n\$ ⊆ $E_{n+1}\$ ，則集合 $E_n\$ 的並集是可測的，且有如下不等式（「次可列可加性」）：

$\mu(\bigcup_{i=1}^\infty E_i) \leq \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)$

　　以及如下極限：

$\mu(\bigcup_{i=1}^\infty E_i) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i)$

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可數個可測集的交集的測度

　　若 $E_1,E_2,\cdots$ 為可測集，並且對於所有的 $n\$ ， $E_{n+1}\$ ⊆ $E_n\$ ，則 $E_n\$ 的交集是可測的。進一步說，如果至少一個 $E_n\$ 的測度有限，則有極限：

$\mu(\bigcap_{i=1}^\infty E_i) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i)$

　　如若不假設至少一個 $E_n\$ 的測度有限，則上述性質一般不成立。例如對於每一個 $n\in \mathbb{N}$ ，令

$E_n = [n, \infty) \subseteq \mathbb{R}$

這裡，全部集合都具有無限測度，但它們的交集是空集。

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$σ$ 有限測度

如果 $\mu(\Omega)\$ 是一個有限實數（而不是 $\infty$ ），則測度空間 $(X, \mathcal{A}, \mu)$ 稱為有限測度空間。如果 $\Omega\$ 可以表示為可數個可測集的並集，而且這些可測集的測度均有限，則該測度空間稱為 $σ$ 有限測度空間。稱測度空間中的一個集合 $A\$ 具有 $σ$ 有限測度，如果 $A\$ 可以表示為可數個可測集的並集，而且這些可測集的測度均有限。

作為例子，實數集賦以標準勒貝格測度是 $σ$ 有限的，但不是有限的。為說明之，只要考慮閉區間族[k, k+1]，k 取遍所有的整數；這樣的區間共有可數多個，每一個的測度為1，而且並起來就是整個實數集。作為另一個例子，取實數集上的計數測度，即對實數集的每個有限子集，都把元素個數作為它的測度，至於無限子集的測度則令為 $\infty$ 。這樣的測度空間就不是 $σ$ 有限的，因為任何有限測度集只含有有限個點，從而，覆蓋整個實數軸需要不可數個有限測度集。 $σ$ 有限的測度空間有些很好的性質；從這點上說， $σ$ 有限性可以類比於拓撲空間的可分性。

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完備性

一個可測集 $N\$ 稱為零測集，如果 $\mu(N)=0\$ 。零測集的子集稱為可去集，它未必是可測的，但零測集自然是可去集。如果所有的可去集都可測，則稱該測度為完備測度。

一個測度可以按如下的方式延拓為完備測度：考慮 $X\$ 的所有這樣的子集 $F\$ ，它與某個可測集 $E\$ 僅差一個可去集，也就是說 $E\$ 與 $F\$ 的對稱差包含於一個零測集中。由這些子集 $F\$ 生成的σ代數，並定義 $\mu(F)\$ 的值就等於 $\mu(E)\$ 。

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例子

下列是一些測度的例子（重要性與順序無關）。

計數測度　定義為 $\mu(S) = S\$ 的‘元素個數’。
一維勒貝格測度 是定義在 $\mathbb{R}$ 的一個含所有區間的σ代數上的、完備的、平移不變的、滿足 $\mu([0,1])=1\$ 的唯一測度。
Circular angle 測度 是旋轉不變的。
局部緊拓撲群上的哈爾測度是勒貝格測度的一種推廣，而且也有類似的刻劃。
恆零測度 定義為 $\mu(S) = 0\$ ，對任意的 $S\$ 。
每一個概率空間都有一個測度，它對全空間取值為1（於是其值全部落到單位區間[0,1]中）。這就是所謂概率測度。
其它例子，包括：狄拉克測度、波萊爾測度、若爾當測度、遍歷測度、歐拉測度、高斯測度、貝爾測度、拉東測度。