测度

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测度(Measure)

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测度概述

  数学上,测度(Measure)是一个函数,它对一个给定集合的某些子集指定一个数,这个数可以比作大小、体积、概率等等。传统的积分是在区间上进行的,后来人们希望把积分推广到任意的集合上,就发展出测度的概念,它在数学分析和概率论有重要的地位。

  测度论是实分析的一个分支,研究对象有σ代数、测度、可测函数和积分,其重要性在概率论和统计学中有所体现的。

测度的定义

  形式上说,一个测度\mu\(详细的说法是可列可加的正测度)是个函数。设\mathcal{A}是集合X\上的一个σ代数,\mu\在上\mathcal{A}定义,于扩充区间[0,\infty]中取值,并且满足以下性质:

  • 空集的测度为零:
\mu(\emptyset) = 0
  • 可数可加性,或称σ可加性:若E_1,E_2,\cdots\mathcal{A}中可数个两两不交的集合的序列,则所有E_i\的并集的测度,等于每个E_i\的测度之总和:
\mu(\bigcup_{i=1}^\infty E_i) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)

  这样的三元组(X, \mathcal{A}, \mu)称为一个测度空间,而\mathcal{A}中的元素称为这个空间中的可测集

测度的性质

  下面的一些性质可从测度的定义导出:

单调性

  测度\mu\的单调性:

  若E_1\E_2\为可测集,而且E_1 \subseteq E_2,则 \mu(E_1) \leq \mu(E_2)

可数个可测集的并集的测度

  若 E_1, E_2, E_3\cdots为可测集(不必是两两不交的),并且对于所有的n\E_n\E_{n+1}\,则集合E_n\的并集是可测的,且有如下不等式(「次可列可加性」):

\mu(\bigcup_{i=1}^\infty E_i) \leq \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)

  以及如下极限:

\mu(\bigcup_{i=1}^\infty E_i) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i)

可数个可测集的交集的测度

  若 E_1,E_2,\cdots为可测集,并且对于所有的n\E_{n+1}\E_n\,则E_n\的交集是可测的。进一步说,如果至少一个E_n\的测度有限,则有极限:

\mu(\bigcap_{i=1}^\infty E_i) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i)

  如若不假设至少一个E_n\的测度有限,则上述性质一般不成立。例如对于每一个n\in \mathbb{N},令

E_n = [n, \infty) \subseteq \mathbb{R}

这里,全部集合都具有无限测度,但它们的交集是空集。

σ有限测度

如果\mu(\Omega)\是一个有限实数(而不是\infty),则测度空间(X, \mathcal{A}, \mu)称为有限测度空间。如果\Omega\可以表示为可数个可测集的并集,而且这些可测集的测度均有限,则该测度空间称为σ有限测度空间。称测度空间中的一个集合A\具有σ有限测度,如果A\可以表示为可数个可测集的并集,而且这些可测集的测度均有限。

作为例子,实数集赋以标准勒贝格测度是σ有限的,但不是有限的。为说明之,只要考虑闭区间族[k, k+1],k 取遍所有的整数;这样的区间共有可数多个,每一个的测度为1,而且并起来就是整个实数集。作为另一个例子,取实数集上的计数测度,即对实数集的每个有限子集,都把元素个数作为它的测度,至于无限子集的测度则令为\infty。这样的测度空间就不是σ有限的,因为任何有限测度集只含有有限个点,从而,覆盖整个实数轴需要不可数个有限测度集。σ有限的测度空间有些很好的性质;从这点上说,σ有限性可以类比于拓扑空间的可分性。

完备性

一个可测集N\称为零测集,如果\mu(N)=0\。零测集的子集称为可去集,它未必是可测的,但零测集自然是可去集。如果所有的可去集都可测,则称该测度为完备测度

一个测度可以按如下的方式延拓为完备测度:考虑X\的所有这样的子集F\,它与某个可测集E\仅差一个可去集,也就是说E\F\的对称差包含于一个零测集中。由这些子集F\生成的σ代数,并定义\mu(F)\的值就等于\mu(E)\

例子

下列是一些测度的例子(重要性与顺序无关)。

  • 计数测度 定义为\mu(S) = S\的‘元素个数’。
  • 一维勒贝格测度 是定义在\mathbb{R}的一个含所有区间的σ代数上的、完备的、平移不变的、满足\mu([0,1])=1\的唯一测度。
  • Circular angle 测度 是旋转不变的。
  • 局部紧拓扑群上的哈尔测度是勒贝格测度的一种推广,而且也有类似的刻划。
  • 恆零测度 定义为\mu(S) = 0\,对任意的S\
  • 每一个概率空间都有一个测度,它对全空间取值为1(于是其值全部落到单位区间[0,1]中)。这就是所谓概率测度
  • 其它例子,包括:狄拉克测度、波莱尔测度、若尔当测度、遍历测度、欧拉测度、高斯测度、贝尔测度、拉东测度。
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