測度

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測度(Measure)

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測度概述

  數學上,測度(Measure)是一個函數,它對一個給定集合的某些子集指定一個數,這個數可以比作大小、體積、概率等等。傳統的積分是在區間上進行的,後來人們希望把積分推廣到任意的集合上,就發展出測度的概念,它在數學分析和概率論有重要的地位。

  測度論是實分析的一個分支,研究對象有σ代數、測度、可測函數和積分,其重要性在概率論和統計學中有所體現的。

測度的定義

  形式上說,一個測度\mu\(詳細的說法是可列可加的正測度)是個函數。設\mathcal{A}是集合X\上的一個σ代數,\mu\在上\mathcal{A}定義,於擴充區間[0,\infty]中取值,並且滿足以下性質:

  • 空集的測度為零:
\mu(\emptyset) = 0
  • 可數可加性,或稱σ可加性:若E_1,E_2,\cdots\mathcal{A}中可數個兩兩不交的集合的序列,則所有E_i\的並集的測度,等於每個E_i\的測度之總和:
\mu(\bigcup_{i=1}^\infty E_i) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)

  這樣的三元組(X, \mathcal{A}, \mu)稱為一個測度空間,而\mathcal{A}中的元素稱為這個空間中的可測集

測度的性質

  下麵的一些性質可從測度的定義導出:

單調性

  測度\mu\的單調性:

  若E_1\E_2\為可測集,而且E_1 \subseteq E_2,則 \mu(E_1) \leq \mu(E_2)

可數個可測集的並集的測度

  若 E_1, E_2, E_3\cdots為可測集(不必是兩兩不交的),並且對於所有的n\E_n\E_{n+1}\,則集合E_n\的並集是可測的,且有如下不等式(「次可列可加性」):

\mu(\bigcup_{i=1}^\infty E_i) \leq \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)

  以及如下極限:

\mu(\bigcup_{i=1}^\infty E_i) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i)

可數個可測集的交集的測度

  若 E_1,E_2,\cdots為可測集,並且對於所有的n\E_{n+1}\E_n\,則E_n\的交集是可測的。進一步說,如果至少一個E_n\的測度有限,則有極限:

\mu(\bigcap_{i=1}^\infty E_i) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i)

  如若不假設至少一個E_n\的測度有限,則上述性質一般不成立。例如對於每一個n\in \mathbb{N},令

E_n = [n, \infty) \subseteq \mathbb{R}

這裡,全部集合都具有無限測度,但它們的交集是空集。

σ有限測度

如果\mu(\Omega)\是一個有限實數(而不是\infty),則測度空間(X, \mathcal{A}, \mu)稱為有限測度空間。如果\Omega\可以表示為可數個可測集的並集,而且這些可測集的測度均有限,則該測度空間稱為σ有限測度空間。稱測度空間中的一個集合A\具有σ有限測度,如果A\可以表示為可數個可測集的並集,而且這些可測集的測度均有限。

作為例子,實數集賦以標準勒貝格測度是σ有限的,但不是有限的。為說明之,只要考慮閉區間族[k, k+1],k 取遍所有的整數;這樣的區間共有可數多個,每一個的測度為1,而且並起來就是整個實數集。作為另一個例子,取實數集上的計數測度,即對實數集的每個有限子集,都把元素個數作為它的測度,至於無限子集的測度則令為\infty。這樣的測度空間就不是σ有限的,因為任何有限測度集只含有有限個點,從而,覆蓋整個實數軸需要不可數個有限測度集。σ有限的測度空間有些很好的性質;從這點上說,σ有限性可以類比於拓撲空間的可分性。

完備性

一個可測集N\稱為零測集,如果\mu(N)=0\。零測集的子集稱為可去集,它未必是可測的,但零測集自然是可去集。如果所有的可去集都可測,則稱該測度為完備測度

一個測度可以按如下的方式延拓為完備測度:考慮X\的所有這樣的子集F\,它與某個可測集E\僅差一個可去集,也就是說E\F\的對稱差包含於一個零測集中。由這些子集F\生成的σ代數,並定義\mu(F)\的值就等於\mu(E)\

例子

下列是一些測度的例子(重要性與順序無關)。

  • 計數測度 定義為\mu(S) = S\的‘元素個數’。
  • 一維勒貝格測度 是定義在\mathbb{R}的一個含所有區間的σ代數上的、完備的、平移不變的、滿足\mu([0,1])=1\的唯一測度。
  • Circular angle 測度 是旋轉不變的。
  • 局部緊拓撲群上的哈爾測度是勒貝格測度的一種推廣,而且也有類似的刻劃。
  • 恆零測度 定義為\mu(S) = 0\,對任意的S\
  • 每一個概率空間都有一個測度,它對全空間取值為1(於是其值全部落到單位區間[0,1]中)。這就是所謂概率測度
  • 其它例子,包括:狄拉克測度、波萊爾測度、若爾當測度、遍歷測度、歐拉測度、高斯測度、貝爾測度、拉東測度。
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