阿罗的不可能定理
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阿罗的不可能定理（Arrow's Impossibility Theorem）
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阿罗的不可能定理概述
阿罗不可能定理是由1972年诺贝尔经济学奖的获得者之一阿罗首先陈述和证明的。
1951年肯尼斯·约瑟夫·阿罗（Kenneth J．Arrow)在他的现在已经成为经济学经典著作的《社会选择与个人价值》一书中，采用数学的公理化方法对通行的投票选举方式能否保证产生出合乎大多数人意愿的领导者或者说“将每个个体表达的先后次序综合成整个群体的偏好次序”进行了研究。结果，他得出了一个惊人的结论：绝大多数情况下是——不可能的！更准确的表达则是：当至少有三名候选人和两位选民时，不存在满足阿罗公理的选举规则。或者也可以说是：随着候选人和选民的增加，“程序民主”必将越来越远离“实质民主”。从而给出了证明一个不可思议的定理：假如有一个非常民主的群体，或者说是一个希望在民主基础上作出自己的所有决策的社会，对它来说，群体中每一个成员的要求都是同等重要的。一般地，对于最应该做的事情，群体的每一个成员都有自己的偏好。为了决策，就要建立一个公正而一致的程序，能把个体的偏好结合起来，达成某种共识。这就要进一步假设群体中的每一个成员都能够按自己的偏好对所需要的各种选择进行排序，对所有这些排序的汇聚就是群体的排序了。
阿罗不可能定理的孕育和诞生
阿罗不可能定理的证明并不难，但是需要严格的数学逻辑思维。关于这个定理还有一段情节颇为曲折的故事。
阿罗在大学期间就迷上了数学逻辑：读四年级的时候， 波兰大逻辑学家塔斯基(Tarski) 到阿罗所在的大学讲了一年的关系演算， 阿罗在他那里接触到诸如传递性、排序等概念 在此之前． 阿罗对他所着迷的逻辑学还是全靠自学呢。
| 投票者 | 对不同选择方案的偏好次序 | ||
| 甲 | V | C | S |
| 乙 | C | S | V |
| 丙 | S | V | C |
用民主的多数表决方式，如果三个人都能充分表达自己的意见，则结果必然如下所示：
首先，在V和C中选择，甲、丙喜欢V，乙喜欢C；
然后，在C和S中选择，甲、乙喜欢C，丙喜欢S；
最后，在V和S中选择，乙、丙喜欢S，甲喜欢V。
这样三个人的最终表决结果如下：
V>C，C>S，S>V可见，利用少数服从多数的投票机制，将产生不出一个令所有人满意的结论，这就是著名的“投票悖论”(paradox of voting)。这个投票悖论最早是由康德尔赛(Coudorcet，Marquis de)在l8世纪提出的，因而该悖论又称为“康德尔赛效应”，而利用数学对其进行论证的则是阿罗。
用数学语言来说，即：假设群体S上有m个个体成员，群体中出现的各种事件构成一个集合X，每个个体对每一事件都有自己的态度，即每个人都对集合X有一个偏好关系 > i=1，2，…，m。即可以按自己的偏好为事件排序。定义群体的偏好为：
其中P是一种由每个个体偏好得出群体偏好的规则。按这个规则从个体排序(偏好)得到群体排序(偏好)，而且这个排序符合民主社会的民主决策的各种要求。注意这个排序是自反的，即如果A>B，那么，B<A；是可传递的，即如果A>B，B>C，则有A>C；并且还是完全的，即要么A>B，要么B>A，二者只有其一而且必有其一。这首先要考察一下民主社会的民主决策的各种要求是什么，阿罗用4个公理(有时表述为5条，把公理1分为两条)表述出这些要求。他用的是数学方法，符号化的公理和数理逻辑的证明方法，为了简单地说明问题，我们采用了自然语言解释。
公理1 个体可以有任何偏好；而且是民主选择——每个社会成员都可以自由地按自己的偏好进行选择(数学上称为原则U—无限制原则： > i，u=1，2，… ， m在x上的定义方式无任何限制)。
公理2 不相干的选择是互相独立的；(数学上称为原则I— —独立性原则：对于X中的两个事件X和Y，
对它们做出的偏好判断与X中的任何其他事件无关)。
公理3 社会价值与个体价值之间有正向关联；(数学上称为原则P—一致性原则：如果对X中的两个事件X和Y，对于所有的i都有x < iY，那么X < sY。这里x < iY表示X > iY不成立。就是说，每人都有同样明确态度的两件事，社会也应该有同样的态度。)
公理4 没有独裁者——不存在能把个体偏好强加给社会的可能。(数学上称为原则D—— 非独裁原则：不存在某个i，使得
阿罗证明，满足这4条公理表述的要求的民主决策的规则是不存在的，就是著名的“阿罗不可能性定理”：如果X中的事件个数不小于3，那么就不存在任何遵循原则U，P，I，D的规则(称为“社会福利函数”)。这表明满足所有一般条件的民主选择要么是强加的，要么就是独裁的结果。
换句话说，阿罗不可能性定理指出，多数规则(majorily rule)的一个根本缺陷就是在实际决策中往往导致循环投票。
在得多数票获胜的规则下，每个人均按照他的偏好来投票。不难看出，大多数人是偏好X胜于Y，同样大多数人也是偏好Y胜于Z。按照逻辑上的一致性，这种偏好应当是可以传递的(transitivity)，即大多数人偏好X胜于Z。但实际上，大多数人偏好Z胜于X。因此，以投票的多数规则来确定社会或集体的选择会产生循环的结果。结果，在这些选择方案中，没有一个能够获得多数票而通过，这就是“投票悖论”，它对所有的公共选择问题都是一种固有的难题，所有的公共选择规则都难以避开这两难境地。
那么，能不能设计出一个消除循环投票，做出合理决策的投票方案呢?阿罗的结论是：根本不存在一种能保证效率、尊重个人偏好、并且不依赖程序(agenda)的多数规则的投票方案。简单地说，阿罗的不可能定理意味着，在通常情况下，当社会所有成员的偏好为已知时，不可能通过一定的方法从个人偏好次序得出社会偏好次序，不可能通过一定的程序准确地表达社会全体成员的个人偏好或者达到合意的公共决策。
这个结果是令人震动的：一个社会不可能有完全的每个个人的自由—— 否则将导致独裁；一个社会也不可能实现完全的自由经济—— 否则将导致垄断。人们对社会的认识达到一个新的高度。因此阿罗的不可能定理一经问世便对当时的政治哲学和福利经济学产生了巨大的冲击，甚至招来了上百篇文章对他的定理的驳斥。李特尔、萨缪尔森试图以与福利经济学不相干的论点来驳倒阿罗的不可能定理，但又遭到肯普、黄有光和帕克斯的反驳，他们甚至建立了在给定个人次序情况下的不可能性结果。
事实上，阿罗的不可能性定理经受住了所有技术上的批评，其基本理论从来没有受到重大挑战，可以说是无懈可击的，于是阿罗不可能定理似乎成为规范经济学发展的一个不可逾越的障碍。怎样综合社会个体的偏好，怎样在理论上找到一个令人满意的评价不同社会形态的方法，成为一个世界性难题。这时候出现了阿马弟亚·森(Amartya Kumar Sen，1933一)从20世纪60年代中期起，森在工具性建设方面的贡献减少了这种悲观主义色彩。森在这方面的研究推动了规范经济学跨越这个障碍向前发展。他的研究工作不仅丰富了社会选择理论的原则，而且开辟了一个新的、重要的研究天地。森1970年的著作《集体选择和社会福利》是其最重要的一部著作，它使许多研究者恢复了对基本福利的兴趣。另外这本书还具有哲学的风格，为规范问题的经济分析提供了一个新的视角，克服了阿罗不可能定理衍生出的难题，从而对福利经济学的基础理论作出了巨大的贡献。
森所建议的解决方法其实非常简单。森发现，当所有人都同意其中一项选择方案并非最佳的情况下，阿罗的“投票悖论”就可以迎刃而解。比如，假定所有人均同意V项选择方案并非最佳，这样上面的表1就变为表2，仅仅甲的偏好由于同意“V并非最佳”而V和C的顺序互换了一下，别的都不变。
表2 投票悖论的解决
投票者 对不同选择方案的偏好次序 甲 C V S 乙 C S V 丙 S V C
在对V和C两种方案投票时，C以两票(甲乙)对一票(丙)而胜出于V(C>V)；同理，在对V和S以及C和S分别进行投票时，可以得到S以两票(乙丙)对一票(甲)而胜出于V(S>V)；C以两票(甲乙)对一票(丙)而胜出于S(C>S)。这样，C>S—S>V—C>V，投票悖论就此宣告消失，唯有C项选择方案得到大多数票而获胜。
森把这个发现加以延伸和拓展，得出了解决投票悖论的三种选择模式：
(1)所有人都同意其中一项选择方案并非最佳；
(2)所有人都同意其中一项选择方案并非次佳；
(3)所有人都同意其中一项选择方案并非最差。
森认为，在上述三种选择模式下，投票悖论不会再出现，取而代之的结果是得大多数票者获胜的规则总是能达到唯一的决定。
一个更完整、更简单也更具一般意义的不可能性定理，是艾利亚斯在2004年发表的。这一定理声称：如果有多于两个可供选择的社会状态，那么，任何社会集结算子，只要满足“偏好逆转”假设和“弱帕累托”假设，就必定是独裁的。特别地，阿罗的社会福利函数和森的社会选择函数，都是社会集结算子的特例，并且偏好逆转假设在阿罗和缪勒各自定义的社会选择框架内分别等价于阿罗的“独立性假设”和缪勒的“单调性假设”，从而阿罗的不可能性定理、森的最小自由与帕累托效率兼容的不可能性定理、缪勒和塞特斯维特的一般不可能性定理，均可视为艾利亚斯一般不可能性定理的特例。艾利亚斯的不可能性定理有怎样的经济学和社会学结论是人们正在研究的问题。
参考文献：
- [1]王振中，李仁贵．诺贝尔奖经济学家学术传略[M]．广州：广东经济出版社，2002：64-67．
- [2]肯尼斯·阿罗．社会选择和个人价值[M]．陈志武，等译．成都：四川人民出版社，1987：174-179．
- [3]史树中．诺贝尔经济学奖与数学[M]．北京：清华大学出版社，2002．33-34．
- [4]L998一阿马蒂亚·森和社会选择理论[EB／OI ]．200 L-08-02．中国宏观经济信息网．
- [5]汪丁丁．创造财富与毁灭财富的公共选择机制[J／OL]．2005-7-15．
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我对这个东西虽然没有任何了解，只是简简单单地看了一遍，不知道我说的对不对． 我感觉最终会形成｛（a>b) (b>c) (c>a) ｝我感觉是一个正常现象．并不是因为 ＂想要通过投票过程来达到协调一致的集体选择结果＂有缺漏，往往就是因为不同的东西对人的影响不同吧． 就像＇恋人、朋友、亲人＇在这三种之间，当在＂恋人和朋友＂之间，人人往往会选择＂朋友，这就是 （朋友＞恋人） 而在＂朋友和亲人＂之间，人们往往选择亲人，这也就是（亲人＞朋友） 最后，在＂亲人和恋人＂之间，就会选择恋人，得到（恋人＞亲人）
这同以上应该是同一个道理吧！（我是这么认为的）． 这应该是因为每个东西在人们心中的位置、需求不同．
我个人的主要收获在于一种全新的逆向思维： “森发现，当所有人都同意其中一项选择方案并非最佳的情况下，阿罗的“投票悖论”就可以迎刃而解” 当大家的“喜爱”无法一致时，可以反之，从大家的“不爱”来寻求共同点~~~
最近学到一个叫“多次投票法”。譬如说要大家在七个旅游路线中选出一个最终的将要去的地方。 首先每个人有三票的机会。累计后去掉得票最少的两个。 接着每个人有两票在剩下的五个地方里选。累计后去掉得票最少的两个。 最后，每个人有一票在剩下的三个地方里选。累计后选得分最高的那个。
多轮投票不可能避免的一种策略是战略性投票，即在投票者预计可能存在与自己的最优偏好强烈竞争的偏好时，采取先支持某些并不支持的偏好而达到预先排除竞争者的方式。 多轮投票一般是为了强化效率，而非强调民主
我对这个东西虽然没有任何了解，只是简简单单地看了一遍，不知道我说的对不对． 我感觉最终会形成｛（a>b) (b>c) (c>a) ｝我感觉是一个正常现象．并不是因为 ＂想要通过投票过程来达到协调一致的集体选择结果＂有缺漏，往往就是因为不同的东西对人的影响不同吧． 就像＇恋人、朋友、亲人＇在这三种之间，当在＂恋人和朋友＂之间，人人往往会选择＂朋友，这就是 （朋友＞恋人） 而在＂朋友和亲人＂之间，人们往往选择亲人，这也就是（亲人＞朋友） 最后，在＂亲人和恋人＂之间，就会选择恋人，得到（恋人＞亲人）
这同以上应该是同一个道理吧！（我是这么认为的）． 这应该是因为每个东西在人们心中的位置、需求不同．
同僚，你能拿出这个来对比，说明你也真是考虑了，但是第三条，在亲人和恋人之间你会选择恋人？！！！ 不敢苟同，我会选择亲人，不知道有多少人跟你一样会选择恋人~~~~
实际意义和实用性在什么地方？
其实际意义在于揭露一些东西不是民主的，只是所谓的民主，我感觉就是理论，没法实际运用吧~~~
三个人三个选项非要两两对比，当然出这样的结果，三对三的选择本身就无解，如果是三人两选项，或者我五人三选项就会有结果了
我试了一下，五人三项的结果依然不确定啊，请指教。
没有最好，只有更好！或者说没有绝对最好，只有相对最好。因为没有特定的条件、状态、情况、环境因素的前提影响，因为在不同的时间、地点、状态等因素下，同一件事情，在不同的人身上作其处理，都会产生出不同的后果及影响，没所谓最佳。只有在这一情况下该处理方案更佳，但在那一情况条件下别的处理方法比该处理方案更佳。如上面说到的恋人、朋友、亲人一样，当亲人、恋人都平安无事，但此时朋友那边有了麻烦，我想大家当然更关注朋友的情况吧（如果你真把他当朋友的话），转换人物也一样。这样看来，这个定理如物理学里面说到的运动和静止一样，万物都是运动的（没有实质民主）、静止只是相对静止（通过的程序民主来体现独裁下的所谓实质民主）
如果出现了悖论，有几种原因：1、他不是真正意义上的悖论，只是表象悖论，即看似悖论其实深究一下不是悖论，出现这种悖论的大部分是由于论证方法不严密造成的。2、论题和基本假设之间有认知冲突，即我们用目前的“公理”去推更广义跟高阶的命题。任何形式的存在都是合理的，只是认知不够。 单对于这个定理，我感觉是简单准确而逻辑性强的数学推理方法和现实社会的复杂性所造成的一种显示差异，如果从更广义的角度理解，暂且认为这种不可能性的存在也是合情合理的呀，是因为我们的决策方式太简单了。这些学者确实值得敬佩，他们是推动社会进步的重要力量。
这个理论也许是说，我做决策的时候应该征求下下属的意见,当然数量不必要太多,然后最后做决定的还是我自己,因为民主是个过程,但是无法的得到做好的结论,所以还是得靠民主基础上的独裁来做重大决定.
这个悖论实际上阐述了这样一个道理：大多数的意见不能准确的反映出整个群体的意见。也就是投票中的少数服从多数这样一个惯例实际上是“非民主”的。 最普遍的一人一票制抹杀的是个人的偏好。比如只有A和B两个选项，结果如果是A>B，完全忽略了选民对另一个选项B的偏好。（有可能A在选民心中实际打9分而B同样有8分，但一人一票制完全忽略了这一事实） 偏好的抹杀会导致意愿表达的偏差：如有4个选民甲乙丙丁，3个候选人ABC，给选民每人10分去衡量这三个候选人的能力，选民的实际评价是： A B C 甲 7 2 1 乙 3 6 1 丙 3 2 5 丁 2 3 5 如果实行一人一票，甲乙丙三人会分别投给自己最偏好的候选人，那么A得1票B得1票C得2票，C>A=B,C当选。 而实际所有选民对候选人的评价是 A:7+3+3+2=15 B:2+6+2+3=13 C:1+1+5+5=12 显然，A>B>C，全体选民的意志被完全扭曲。
这个词条中所说的两两对决就是为了避免出现以上情况而实施的另一种方案。而这种方案就会造成上面所提到的循环，即A>B>C>A
另外如果采取例子中的打分制，那么根据最优策略，人会本能地投给自己利益攸关的候选人所有选票，于是 A B C 甲 10 0 0 乙 0 10 0 丙 0 0 10 丁 0 0 10 选民会很自私地把自己的偏好主动忽略掉。
另外人们所想到的就是多次投票，淘汰制等，然而这些投票方式带来的直接结果就是sophisticated voting，也就是上面那位朋友所提到的战略性投票，为了避免自己不喜欢的人当选“这一最坏结果”，选民会委曲求全把票投给另一个其实自己并不很支持的候选人，以防止“最坏结果”出现。所谓的民主再次扭曲了真正的民意。
多轮投票不可能避免的一种策略是战略性投票，即在投票者预计可能存在与自己的最优偏好强烈竞争的偏好时，采取先支持某些并不支持的偏好而达到预先排除竞争者的方式。 多轮投票一般是为了强化效率，而非强调民主
受教了
可以先把三项示为：A,B,C三项.五人先从三项中选出两项来（如：选出A,B两项）,从选出的（A,B.）两项中选出一项(如：A项)，五人再用选出来的A项和C项进行选择。
我对这个东西虽然没有任何了解，只是简简单单地看了一遍，不知道我说的对不对． 我感觉最终会形成｛（a>b) (b>c) (c>a) ｝我感觉是一个正常现象．并不是因为 ＂想要通过投票过程来达到协调一致的集体选择结果＂有缺漏，往往就是因为不同的东西对人的影响不同吧． 就像＇恋人、朋友、亲人＇在这三种之间，当在＂恋人和朋友＂之间，人人往往会选择＂朋友，这就是 （朋友＞恋人） 而在＂朋友和亲人＂之间，人们往往选择亲人，这也就是（亲人＞朋友） 最后，在＂亲人和恋人＂之间，就会选择恋人，得到（恋人＞亲人）
这同以上应该是同一个道理吧！（我是这么认为的）． 这应该是因为每个东西在人们心中的位置、需求不同．
你的排序是单体的对象，阿罗不可能是说集体的投票，对象是集体，而且你自己这个个体没有一个明确的排序，文中公理一中每个人都有自己的排列顺序，你的矛盾在与你自己的感觉，阿罗不可能理论的矛盾在于投票机制的结果与大多数人的意愿。（个人意见）
这个悖论实际上阐述了这样一个道理：大多数的意见不能准确的反映出整个群体的意见。也就是投票中的少数服从多数这样一个惯例实际上是“非民主”的。 最普遍的一人一票制抹杀的是个人的偏好。比如只有A和B两个选项，结果如果是A>B，完全忽略了选民对另一个选项B的偏好。（有可能A在选民心中实际打9分而B同样有8分，但一人一票制完全忽略了这一事实） 偏好的抹杀会导致意愿表达的偏差：如有4个选民甲乙丙丁，3个候选人ABC，给选民每人10分去衡量这三个候选人的能力，选民的实际评价是： A B C 甲 7 2 1 乙 3 6 1 丙 3 2 5 丁 2 3 5 如果实行一人一票，甲乙丙三人会分别投给自己最偏好的候选人，那么A得1票B得1票C得2票，C>A=B,C当选。 而实际所有选民对候选人的评价是 A:7+3+3+2=15 B:2+6+2+3=13 C:1+1+5+5=12 显然，A>B>C，全体选民的意志被完全扭曲。
这个词条中所说的两两对决就是为了避免出现以上情况而实施的另一种方案。而这种方案就会造成上面所提到的循环，即A>B>C>A
另外如果采取例子中的打分制，那么根据最优策略，人会本能地投给自己利益攸关的候选人所有选票，于是 A B C 甲 10 0 0 乙 0 10 0 丙 0 0 10 丁 0 0 10 选民会很自私地把自己的偏好主动忽略掉。
另外人们所想到的就是多次投票，淘汰制等，然而这些投票方式带来的直接结果就是sophisticated voting，也就是上面那位朋友所提到的战略性投票，为了避免自己不喜欢的人当选“这一最坏结果”，选民会委曲求全把票投给另一个其实自己并不很支持的候选人，以防止“最坏结果”出现。所谓的民主再次扭曲了真正的民意。
謝謝，很有幫助。受教了。
三个人三个选项非要两两对比，当然出这样的结果，三对三的选择本身就无解，如果是三人两选项，或者我五人三选项就会有结果了
我也这么认为的，比如甲的需求偏好a>b，乙的b>a，丙a>b，那不就很明显了。理论就是理论，后面为什么没有谈到应用，因为这个应用到实际中有很大的问题。再说国家领导人的选举是民众（我国十几亿人）从几个（美国一般只有两人会进入PK环节）里选一个，那么得到票数最多的人绝对只有一人（两人票数相同的概率应该小之又小）。
再比如，将第一个例子中的三个偏好关系最后一个偏序关系稍作修改： 甲 a>b>c 乙 b>c>a 丙 c>b>a（例子中是c>a>b） 第一步，上面这种偏好关系没有问题吧； 第二步，a/b比较，b>a； 第三步，a/c比较，c>a； 第四步，b/c比较，b>c； 第五步，最终排序，b>c>a。 请给出解释。。。
所以我不知道阿罗这个理论到底在讲些什么，为什么我总觉得是谬论呢。主观意识太强烈了，根本禁不起挑战。就像我上面那个帖子那样，结果是显然的。阿罗的研究结果却是不确定的。。。不知道是他错了，还是编辑这个词条的人写错了。。。
挺棒的
我很佩服，用数学理论解决了这种人与人之间发生的事情，而且是那么的有用，拜谢，很受忠益。
那你解决了关于它的什么问题那？
如果3者同时选择 必然会出现这种状况。。。。只是说有几率。 但是如果 在A B C 中 3个人选择 我们先在 AB 中选择B了 BC 中 选择C 了 导致B>A C>B 这样不就是C必然大于A 其余的就不用重复了 如果我们 A B 中选A BC 中选 C 这样就剩下 A C 了，这样 B 抛出了A C 再做出个选择
个人感觉
可以先把三项示为：A,B,C三项.五人先从三项中选出两项来（如：选出A,B两项）,从选出的（A,B.）两项中选出一项(如：A项)，五人再用选出来的A项和C项进行选择。
以上所述为例，若五人在AB中更偏好A，再将A与C进行比较，若偏好C大于A，则偏好次序为CAB；但若偏好A小于C，那么B与C的次序无从知晓。只能选出最强偏好，不能排列偏好次序。如果给出五人分别的偏好次序，则可以确定偏好次序。
这个悖论实际上阐述了这样一个道理：大多数的意见不能准确的反映出整个群体的意见。也就是投票中的少数服从多数这样一个惯例实际上是“非民主”的。 最普遍的一人一票制抹杀的是个人的偏好。比如只有A和B两个选项，结果如果是A>B，完全忽略了选民对另一个选项B的偏好。（有可能A在选民心中实际打9分而B同样有8分，但一人一票制完全忽略了这一事实） 偏好的抹杀会导致意愿表达的偏差：如有4个选民甲乙丙丁，3个候选人ABC，给选民每人10分去衡量这三个候选人的能力，选民的实际评价是： A B C 甲 7 2 1 乙 3 6 1 丙 3 2 5 丁 2 3 5 如果实行一人一票，甲乙丙三人会分别投给自己最偏好的候选人，那么A得1票B得1票C得2票，C>A=B,C当选。 而实际所有选民对候选人的评价是 A:7+3+3+2=15 B:2+6+2+3=13 C:1+1+5+5=12 显然，A>B>C，全体选民的意志被完全扭曲。
这个词条中所说的两两对决就是为了避免出现以上情况而实施的另一种方案。而这种方案就会造成上面所提到的循环，即A>B>C>A
另外如果采取例子中的打分制，那么根据最优策略，人会本能地投给自己利益攸关的候选人所有选票，于是 A B C 甲 10 0 0 乙 0 10 0 丙 0 0 10 丁 0 0 10 选民会很自私地把自己的偏好主动忽略掉。
另外人们所想到的就是多次投票，淘汰制等，然而这些投票方式带来的直接结果就是sophisticated voting，也就是上面那位朋友所提到的战略性投票，为了避免自己不喜欢的人当选“这一最坏结果”，选民会委曲求全把票投给另一个其实自己并不很支持的候选人，以防止“最坏结果”出现。所谓的民主再次扭曲了真正的民意。
如果，甲：a>c>b 乙：b>a>c 丙：a>b>c
那么，甲，丙：a>b 乙丙：b>c 甲乙丙：a>c
结论，a>b>c.
丙通过看似民主的投票完成了独裁？？可否这样理解，师兄求解
我觉得这个问题应该是在于「要选出顺序」， 假如是要选出最佳者，也类同于排除最差者， 通常都不会有这个 PARADOX 的问题。
而某层说道评分而出现的问题也还好， 在现实中请考虑废票。 在评分差距不像甲乙般巨大下，丙丁会不会真的很想投 C ? 都很烂，就废票。
实际意义和实用性在什么地方？