經濟訂貨批量

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經濟訂貨批量(Economic Order Quantity,EOQ)又稱整批間隔進貨模型、EOQ模型

　　經濟訂貨批量(EOQ),即Economic Order Quantity是固定訂貨批量模型的一種，可以用來確定企業一次訂貨（外購或自製）的數量。通過平衡採購進貨成本和保管倉儲成本核算，以實現總庫存成本最低的最佳訂貨量。當企業按照經濟訂貨批量來訂貨時，可實現訂貨成本和儲存成本之和最小化。

　　訂貨批量概念是根據訂貨成本來平衡維持存貨的成本。瞭解這種關係的關鍵是要記住，平均存貨等於訂貨批量的一半。因此，訂貨批量越大，平均存貨就越大，相應地，每年的維持成本也越大。然而，訂貨批量越大，每一計劃期需要的訂貨次數就越少，相應地，訂貨總成本也就越低。把訂貨批量公式化可以確定精確的數量，據此，對於給定的銷售量，訂貨和維持存貨的年度聯合總成本是最低的。使訂貨成本和維持成本總計最低的點代表了總成本。上述討論介紹了基本的批量概念，並確定了最基本的目標。簡單地說，這些目標是要識別能夠使存貨維持和訂貨的總成本降低到最低限度的訂貨批量或訂貨時間。

　　購進庫存商品的經濟訂貨批量,是指能夠使一定時期購、存庫存商品的相關總成本最低的每批訂貨數量.企業購、存庫存商品的相關總成本包括購買成本、相關訂貨費用和相關儲存成本之和。

　　經濟訂貨批量模型是目前大多數企業最常採用的貨物定購方式.該模型適用於整批間隔進貨、不允許缺貨的存儲問題，即某種物資單位時間的需求量為常D，存儲量以單位時間消耗數量D的速度逐漸下降，經過時間T後，存儲量下降到零，此時開始定貨並隨即到貨，庫存量由零上升為最高庫存量Q，然後開始下—個存儲周期，形成多周期存儲模型。

　　基本公式是：

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　　其中，Q ^* 为经济订货批量；C为单次订货成本；R为年总需求量；P ：货物单价 (元／件) ；F ：每件存货的年保管费用占其价值的百分比；H=PF:单位产品的库存成本,即每件存货的年平均库存保管费用(元／件·年)

　　研究下因订货而支付的费用。一个规模很小的公司，订购货物的工作只不过由某个人兼任，或者就由公司的老板兼任这项工作。这就很难把这位兼职的人在其领取的薪金中划出一部分纳入订货的费用之内。不过，即使如此，也应该计算因订货而支付的文具纸张及秘书工作的费用。在大公司里，是很容易估计订货费用的，因为大公司有独立的采购部门。我们很容易把采购部门的总管理费用按全年发出的订货单予以分摊。

　　可以使用一种加权方法来计算某项订货单的费用，这就是以总的购买价格或总的购买量为基础通过一定程序的加权法计算，以求得订货费用。但是要十分注意这项方法是否对每一个具体情况都适用。提出每一项订货单实际需要的费用是差别很大的，有些低到只需几角钱，有些则高到上百元。而谈判巨额供货合同的费用还可能占订货费用的一大部分。

　　有些类别费用是随着存贮数量的变化而变化，而其他类别费用却保持相当长的时间不变，如租金、地方税、人员薪金及折旧费等，并不受库存总额的影响。至于供暖、照明、用于操作的设备等，所得的费用有一部分是固定不变的，有一部分则是变动不定的。保险费的开支一般根据平均库存量来计算，并加上一些其他十分不同的因素。上述有关项构成的固定存贮费用是很大的，这项固定费用加上很多较小的随着库存数量的增加而变化的变动不定的费用，就是总的存贮费用。为了表示各种变动成本之间的关系，通常的做法是，设存贮费用为从其起点为零的一条直线，总的订货费则为一矩形双曲线。据此可以绘出一条总费用曲线，而两线相交之点就是最低的费用.

　　最优订货批量反映了持有成本与订货成本之间的平衡，年持有成本等于库存平均持有量与单位年持有成本的乘积，平均库存是单位订货批量Q的一半，用字母H代表每单位的年持有成本，则

　　总年持有成本＝

　　另一方面，一旦订货批量增大，年订货成本就会下降，一般情况下，年订货次数等于D／Q，这里D为年总需求。订货成本不象持有成本．对订货批量反应比较迟钝；无论订货批量是多少，特定活动都得照样进行，如确定需求量，定期评价供应源，准备发货单等。因而订货成本一般是固定的，年订货成本是年订货次数与每批订货成本(用s表示)的函数。有：

　　年订货成本＝

　　年总成本由库存的持有成本和订货成本两部分组成，若每次订货Q单位，则

　　年总成本＝年持有成本+年订货成本　即

　　这里D与H必须单位相同，总成本曲线呈u形，并在持有成本与订货成本相等的订货批量处达到最小值。运用微积分可以推导得到最优订货批量的表达公式：

　　因此，给定年总需求、每批订货成本和每单位年持有成本求出经济订货批量，进一步得到年最小总成本。

　　经济订货批量（EOQ）是存货维持与订货处理相结合使成本最低的补给订货批量。这种批量的确定，是假设全年的需求和成本相对较稳定。既然EOQ是根据单一的产品进行计算的，那么，该基本公式的形成中不考虑产品联合订货的影响。

　　计算经济订货批量最有效的方法是数学方法。经济订货批量的计算原理可用下图1来表示。

　　^[2]

　　虽然EOQ模型可以确定最佳的补给数量，但它需要某些相当严格的假设才能直接应用。在简单的EOQ模型中需要做出的主要假设有：①已知全部需求的满足数；②已知连续不变的需求速率；③已知不变的补给完成周期时间；④与订货数量和时间保持独立的产品的价格不变（即购买数量或运输价格不存在折扣）；⑤不限制计划制定范围；⑥多种存货项目之间不存在交互作用；⑦没有在途存货；⑧不限制可得资本等。不过，通过计算上的延伸，可以克服这些假设强加的限制。总而言之，EOQ概念说明了与存放成本和收购成本有关的优选问题的重要性。

　　有关存货完成周期、存货成本和经济订货公式等的各种关系，对于指导存货计划的制订十分有用。首先，通过EOQ公式求解发现，当将订货成本和维持成本进行年度化计算时，它们是相等的；第二，平均的基本存货等于订货批量的一半；第三，在其它各点都相同的条件下，存货单位在存货周期期间具有一种直接的关系；事实上，价值越高，订货频率也会提高。

　　虽然EOQ公式比较简单明了，但是在实际应用时，还必须考虑其它一些因素。最常见的就是那些与各种费用调整有关的问题，这是为了利用特殊的购买形式和单位化（unitization）特征而必须做出的调整。与EOQ延伸有关的三种调整分别是：运量费率、数量折扣、以及其它调整。

　　1、运量费率

　　在EOQ公式中，没有考虑运输成本对订货批量的影响。在根据交付数量购买产品并且卖方支付了从产地到存货目的地的运输费用时，这种忽略有时可能是正确的，因为这是由卖方负责装运，直至它抵达顾客的业务地点。然而，当产品的所有权在产地就已转移，那么，在确定订货批量时，就必须考虑运输费率对总成本的影响。

　　一般说来，一次订货的份量越重，从任何产地到目的地的每磅运输成本就越低，因此，大批量装运的运费费率折扣在卡车运输和铁路运输中很普遍，可以在绝大多数的运输费率结构中找到。于是，在其它各点都相同的条件下，一个企业自然希望以最经济的运输批量来进行购买，该数量也许大于用EOQ方法确定的购买数量。例如，与已计算出来的EOQ订货批量300个单位数相比较，假设当订货批量为480个单位数时可以获得最期望得到的运输费率。较大的订货批量的第一个影响就是将平均存货从150个单位增加到240个单位。于是，以较大数量进行订货就会增加存货储囤成本。

　　第二个影响是减少了所需订货的次数。订货次数的减少就会增加装运规模，于是就会提供更好的运输经济。

　　要完成这种分析，就必须明确地表示总成本中有无运输节约。虽然这种计算可以直接通过修正EOQ公式完成，但是，通过比较可以提供更有意义的答案。唯一需要增加的数据就是按300个单位和480个单位数进行订货时所使用的运输费率。这时，进行决策的依据就需要考虑运输费用，选择使总成本达到最低的方案。运输费率对购买总成本的影响是不能被忽视的。如果运输费用是由买方负责支付的话，任何EOQ方法都必须在批量的分类范围内测试运输成本的灵敏度。

　　一个值得注意的地方是：订货规模和每年的订货次数中所发生的大变化仅在维持和订货的总成本中产生不大的变化。对订货周期或订货频率中出现的重大变化，EOQ公式的灵敏度要大得多。同样地，成本因素中的重大变化也必然会大大影响经济订货批量。

　　最后，在原产地购买的条件下，有关存货成本的两个因素值得注意（所谓原产地购买，是指当产品在运输途中时，由买方负责运输费用和产品的风险）：第一，在装运时，买方对存货承担全部的风险。根据支付货款所需的时间，意味着中转存货有可能是企业平均存货的一个组成部分，并因此而承担适当的费用。继之而来的是，重量分类中的任何变化，都将导致各种装运方法在在途时间方面的不同，所增加的成本或节约的费用都应该在总成本分析中进行适当的评估。 第二，购买价格中必须将运输成本添加进去，以期精确地评估与存货相关的货物价值。一旦收到存货，投资在产品中的金额必然会因运输费用而增加。于是，存货储囤成本应根据产品项目加运输费用的联合成本进行评估。

　　2、数量折扣

　　购买数量折扣提供了类似于运量费率的一个EOQ延伸。下面表2列举了一个折扣表样本。

　　表2 数量折扣

　　数量折扣可以用基本的EOQ公式直接处理,它按照与给定的数量有关的价格计算总成本,以确定相应的EOQ值。如果任何数量上的折扣足以弥补增加的维持成本减去降低的订货成本，那么，数量折扣就提供了一种可行方案。但是，应该注意到的是，数量折扣和运量费率各自对较大的购买数量产生影响，总成本最低的购买并不是总在数量上大于用EOQ方法计算出来的订货数量。

　　3、其它EOQ调整

　　由于各种特殊的情况都会发生，因此需要对基本的EOQ方法进行调整。其中可以列举的例子有：①批量生产；②多产品购买；③有限的资本；④私营卡车运输等。从制造角度来看，批量生产规模是指最经济的数量。多产品购买所描述的情况是指当同时购买一种以上产品时，必须要考虑数量折扣和运输折扣对产品的组合所产生的影响。有限的资本是指存货总投资中的预算受到种种限制。因为在预算限制内必须满足产品线的需求，所以订货批量必须意识到存货投资需要在整个产品线上进行分配。私营卡车运输之所以会影响到订货批量，是因为一旦决定补给产品，就意味着它是一种固定成本。也就是说，如果决定使用私营车队运输补给产品的话，企业就应该装满卡车而不管EOQ批量是多少。由于只装半卡车的货物是毫无道理的，所以厂商的定购批量就代表了EOQ批量。

　　在确定订货批量时需要考虑的另一个因素是单位化特征。许多产品是按标准进行储备和运输的，诸如货柜和托盘之类。既然这些标准化单位被设计用来专门适应运输工具和搬运工具的，那么，当EOQ批量不是一种复式单位时，就有可能产生明显的不经济。例如，假定一个托盘能够装载200个单位的某种特定产品。如果使用EOQ批量为300个单位，这就意味着要装运1.5个托盘。从搬运或运输利用的角度来看，交替地或持续地定购一个或两个托盘的货，有可能效果更佳。在确定EOQ批量时，应该考虑使用标准的复试单位。

　　虽然用标准单位进行EOQ批量整合是重要的，但随着有愈来愈多的托运人有能力并且愿意提供组合单位或组合托盘，它们的重要性就下降了。组合单位或组合托盘包含了产品的组合，并且可以用来提供分类产品，同时保持运输费用和搬运费用的节约。

　　在现实中，并不是所有的再补给情况都适合于统一使用EOQ的计算方法（这里针对方法2）。在许多制造作业的场合下，具体零部件需求的产生在间隔时间上趋向于没有规律性，且需求量也变化莫测。这种没有规律性的使用要求是一种因果需求，取决于生产计划。也就是说，当制造作业发生时，所需组装的零部件必须是可得的。在每次需求间隔期间，无需保持零部件存货处于储备状态，只要它在需要时可得到就行了。相关需求（dependent demand）的存货服务需要一种经调整过的方法来确定订货批量，这种批量称作“间断订货批量”（discrete lot sizing）。之所以把这种技术标识为“间断的”意指采购收取的目的是在某个特定的时点上所要获得的零部件等于净需求。由于零部件需求此起彼伏，使用间断订货批量采购的数量将会在订货之间发生变化。有各种间断订货批量技术可供使用。

　　1、批量对批量

　　间断性订货的最基本形式是要计划采购，在一个特定的时期内弥补新的需求。在批量对批量（lot-for-lot sizing）的条件下，无需对订货成本加以考虑。在某种程度上，批量对批量技术是纯粹以相关需求为导向的，因为它不需要考虑订货经济。当采购的产品项目不太昂贵、需要量相对较小且无规律时，往往使用这种基本技术。批量对批量技术常使用电子订单传送和溢价运输，以期最大限度地缩短处理和递送时间。

　　2、定期订货批量

　　定期订货批量（period order quantity POQ）技术是在EOQ推理方法的基础上建立起来的。这里，要履行三个步骤才能完成零部件的采购收取。第一步，计算标准的EOQ；第二步，将EOQ批量除以已预测的年度使用量，以确定订货频率；第三步，订货的次数除以相应的时间期（例如52个星期或12个月），以表示在时间期内的订货批量。

　　POQ方法的主要优点是，它考虑存货储囤成本，并由此最大限度地减少存货结转量。其缺点类似于EOQ，POQ也需要稳定的需求量，以实现其充分的潜力。

　　3、时间序列批量

　　时间序列批量（time-series lot sizing）的最基本目的是要把几个时期的需求量结合起来，形成一种采购收取的逻辑推理。时间序列方法是动态的，因为订货批量需要进行调整，以满足当前的需求估计。这一特征与基本的EOQ形成鲜明的对照，EOQ是静态的，在某种程度上，一旦订货批量计算出来以后，它在需求的计划时间内将保持不变。

　　动态订货批量的关键是，需求量的表示是随时间变化的，不像典型的EOQ基本方法，是随每天或每周的使用比率变化的。假定有较大的使用波动，则订货批量可由批量系统替代，它能够在给定的变化和间歇使用条件下计算经济订货批量。在这里，将要对三种这样的技术将作广泛的文字讨论和简短地回顾，它们是：最低单位成本、最低总成本和部分期间平衡。

　　最低单位成本方法（least-unit- cost approach）是要对每库存单位（SKU）所产生的成本最低的若干个时间周期的结合需求进行识别。初期识别一开始为净需求，然后对每一个未来时期的每单位需求进行评估并对给定的若干时期的结合需求进行确定，且它们的单位成本是最低的。本质上，最低单位成本方法是要以递增的供给星期数对未来的采购需求进行评估。第一个星期考虑一周的供给，接着要考虑第二个星期的供给增加数，每次选择都要对单位成本进行评估，其中包括数量折扣、订货成本、存货储囤成本以及运输成本等。虽然折扣、订货和运输等成本将会随着时间周期的增加导致平均单位成本下降，但由于增加了存货，则存货储囤成本将会随着时间周期的增加而增加。于是，订货批量和订货频率将会在最低单位成本技术下发生相当大的变化。虽然这种方法确实能够克服EOQ和POQ的静态特征，但是，这种技术会引起单位成本在时间周期之间发生很大的变化。

　　最低总成本方法（least-total-cost approach）是寻求在连续几个时间周期内使总成本降低到最低限度的订货批量。在这个意义上，最低总成本，也即订货与储囤的平衡，其目的上类似于EOQ。根据订货成本对储囤成本的比率（C0/Ci）进行的计算，称作部分经济期间（economic part-period）。部分经济期间规定了具体零部件的订货批量，如果以存货方式储囤一个期间，将会导致储囤成本等于订货成本。最低总成本技术用于选择与部分经济期间的计算结果最接近的订货批量和间隔期。于是，订货批量可以保持相当统一，然而，随着补给订货之间的时间流逝必然会发生相当大的差异。显然，最低总成本技术克服了最低单位成本没有考虑到的整个计划期间优选的问题。

　　部分期间平衡（part-period balancing）是最低总成本技术的一种修正形式，结合进了一种特殊的调整程序，称作向前看/向后看（look- ahead/look-back）。这种形式的主要好处，是把制定计划的时间范围扩展到超过一个以上的订货点，以便在计算订货批量时对所使用的高峰和低谷进行调整。有利于调整部分经济期间。一般的程序是，献测试向前看的特征，确实是否有更多的时间产生接近于部分经济期间的批量。如果向前看的结果保持订货批量不变，一般就需要利用向后看的方法。在这个意义上，向后看意味着是一种未来订货，以便在部分经济期间的原则下对第四时期内的递送做出计划，提前确定如果早一点交付是否会降低总成本。从纯效果的角度来看，结合进这种向前看/向后看的方法，就会把部分经济期间的概念应用到同时考察多个时期中去。

　　总而言之，间断订货批量的各种方法都是寻求克服在统一使用EOQ基本计算方法时所需作出的种种假设。虽然使用EOQ方法可以产生按固定的或可变的时间间隔进行统一的批量定购，但间断订货批量技术则可提供更大的灵活性，以适应不规则使用存货的情况。这里考察的几个方法已在不同程度上取得了成功。

　　对经济批量的理论有许多批评，但并不是批评该方法在内容上的不足之处，而是批评那种不顾实际情况而不适当地随便使用这种方法的态度。伯比奇教授在其1978年的著作《生产管理原理》中，对经济批量提出的批评大略如下：

　　①它是一项鲁莽的投资政策——不顾有多少可供使用的资本，就确定投资的数额。

　　②它强行使用无效率的多阶段订货办法，根据这种办法所有的部件都足以不同的周期提供的。

　　③它回避准备阶段的费用，更谈不上分析及减低这项费用。

　　④它与一些成功的企业经过实践验证的工业经营思想格格不入。似乎那些专心要提高库存物资周转率，以期把费用减少到最低限度的公司会比物资储备膨胀的公司获得更多的利益。其它反对意见则认为．最低费用的订货批量并不一定意味着就获利最多。

　　此外，许多公司使用了经另一学者塞缪尔·艾伦教授加以扩充修订的经济批量法之后认为，在他们自己的具体环境条件下，该项方法要求进行的分析本身就足够精确地指明这项方法的许多缺点所在，而其他方法则又不能圆满地解决它们试图要解决的问题。

　　在实际工作中，由于不能满足确定型EOQ模型所有的假设条件，所以很少见到适合该模型的情形。问题就出在需求及订货(申请)至交货时间变化率是随机的。因此为了防止缺货现象，就使用安全库存(SS)作为缓冲。下图表示了理想库存模型与随机模型之间的差别。

　　由于需求量每时每刻都在变化，库存量将不会以恒定的速率减小。在再次订货点尺，安排订货量Q。若在订货(申请)至交货期间内有一个较高的需求，或者是订货(申请)至交货时间比平时长，那么就消耗安全库存，以满足用户需要。如上图所示，若安全库存量不足，则发生缺货现象。一旦库存得到补充，短缺备件在新的用户需求以前就可以得到满足。

　　正态分布是最经常用来描述及订货(申请)至交货时间变化的一种分布。下图表示某一随机型EOQ模型正态分布的拟合。间隔期内的需求量(R—SS)期望值是间隔期内正态分布的平均值，如果间隔期内需求量大于再次订货点(以备件件数计)，图中l—F(x)部分就是缺货的累积概率。

　　安全库存的年度总费用等于安全库存的保管费加缺货费。如缺货费用以每件为基数，通常用来求安全库存年度总费用的分式就是

　　公式一：TC_SS =C_HC_U(R − d)+

　　其中，E(d>R)表示时间间隔期内需求大于再次订货点(以件数计)的期望值。对总费用关于再次订货点的导数，并令其为零。此时若已知每件备件的缺货费，则最优缺货概率为

　　公式二：1 - F(x) =

　　参照正态分布表中的F(X)，若分布的方差是已知，Z值就可以查出并可求出安全库存。求安全库存的公式是

　　公式三：SS = σZ

　　同时可求出再次订货点

　　公式四：R = d + SS

　　其中d是间隔期内需求的期望值，或称时间间隔内需求分布的平均值。要确定每一个周期内期望缺货量(EBPC)，使用如下公式

　　公式五：EBPC = σ(E(Z))

　　这里E(Z)是Z的部分期望。满足率可由下列公式给出

　　公式六：FR = 1 -

　　如果订货(申请)至交货时间是不变的，并且间隔内需求是正态分布，间隔期内需求分布的均值及方差就可用来计算安全库存。若订货时间及间隔需求变化都是正态分布，那么它的联合均值是

　　公式七：μ =

　　而其联合方差为

　　公式八：σ₂ = +

　　所以标准差为

　　公式九：

• 经济生产批量模型
• 价格折扣模型