微積分

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微積分(Calculus)

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微積分簡介

  微積分是研究函數的微分、積分以及有關概念和應用的數學分支。微積分是建立在實數、函數和極限的基礎上的。微積分最重要的思想就是用"微元"與"無限逼近",好像一個事物始終在變化你不好研究,但通過微元分割成一小塊一小塊,那就可以認為是常量處理,最終加起來就行。

  微積分學是微分學和積分學的總稱。它是一種數學思想,‘無限細分’就是微分,‘無限求和’就是積分。無限就是極限,極限的思想是微積分的基礎,它是用一種運動的思想看待問題。比如,子彈飛出槍膛的瞬間速度就是微分的概念,子彈每個瞬間所飛行的路程之和就是積分的概念。如果將整個數學比作一棵大樹,那麼初等數學是樹的根,名目繁多的數學分支是樹枝,而樹幹的主要部分就是微積分。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。

  極限和微積分的概念可以追溯到古代。到了十七世紀後半葉,牛頓和萊布尼茨完成了許多數學家都參加過準備的工作,分別獨立地建立了微積分學。他們建立微積分的出發點是直觀的無窮小量,理論基礎是不牢固的。直到十九世紀,柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論,康托爾等建立了嚴格的實數理論,這門學科才得以嚴密化。

  微積分是與實際應用聯繫著發展起來的,它在天文學、力學、化學、生物學、工程學、經濟學等自然科學、社會科學及應用科學等多個分支中,有越來越廣泛的應用。特別是電腦的發明更有助於這些應用的不斷發展。

  客觀世界的一切事物,小至粒子,大至宇宙,始終都在運動和變化著。因此在數學中引入了變數的概念後,就有可能把運動現象用數學來加以描述了。

  由於函數概念的產生和運用的加深,也由於科學技術發展的需要,一門新的數學分支就繼解析幾何之後產生了,這就是微積分學。微積分學這門學科在數學發展中的地位是十分重要的,可以說它是繼歐氏幾何後,全部數學中的最大的一個創造。

微積分學的建立

  從微積分成為一門學科來說,是在十七世紀,但是,微分和積分的思想在古代就已經產生了。

  公元前三世紀,古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下麵積和旋轉雙曲體的體積的問題中,就隱含著近代積分學的思想。作為微分學基礎的極限理論來說,早在古代以有比較清楚的論述。比如我國的莊周所著的《莊子》一書的“天下篇”中,記有“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”。三國時期的劉徽在他的割圓術中提到“割之彌細,所失彌小,割之又割,以至於不可割,則與圓周和體而無所失矣。”這些都是朴素的、也是很典型的極限概念。

  到了十七世紀,有許多科學問題需要解決,這些問題也就成了促使微積分產生的因素。歸結起來,大約有四種主要類型的問題:第一類是研究運動的時候直接出現的,也就是求即時速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用於另一物體上的引力。

  十七世紀的許多著名的數學家、天文學家、物理學家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作,如法國的費爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格;英國的巴羅、瓦里士;德國的開普勒;義大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創立做出了貢獻。

  十七世紀下半葉,在前人工作的基礎上,英國大科學家牛頓和德國數學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創立工作,雖然這隻是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關的問題聯繫在一起,一個是切線問題(微分學的中心問題),一個是求積問題(積分學的中心問題)。

  牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發點是直觀的無窮小量,因此這門學科早期也稱為無窮小分析,這正是現在數學中分析學這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重於從運動學來考慮,萊布尼茨卻是側重於幾何學來考慮的。

  牛頓在1671年寫了《流數法和無窮級數》,這本書直到1736年才出版,它在這本書里指出,變數是由點、線、面的連續運動產生的,否定了以前自己認為的變數是無窮小元素的靜止集合。他把連續變數叫做流動量,把這些流動量的導數叫做流數。牛頓在流數術中所提出的中心問題是:已知連續運動的路徑,求給定時刻的速度(微分法);已知運動的速度求給定時間內經過的路程(積分法)。

  德國的萊布尼茨是一個博才多學的學者,1684年,他發表了現博學多才的萊布尼茨在世界上認為是最早的微積分文獻,這篇文章有一個很長而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法,它也適用於分式和無理量,以及這種新方法的奇妙類型的計算》。就是這樣一片說理也頗含糊的文章,卻有劃時代的意義。他以含有現代的微分符號和基本微分法則。1686年,萊布尼茨發表了第一篇積分學的文獻。他是歷史上最偉大的符號學者之一,他所創設的微積分符號,遠遠優於牛頓的符號,這對微積分的發展有極大的影響。現在我們使用的微積分通用符號就是當時萊布尼茨精心選用的。

  微積分學的創立,極大地推動了數學的發展,過去很多初等數學束手無策的問題,運用微積分,往往迎刃而解,顯示出微積分學的非凡威力。

  前面已經提到,一門科學的創立決不是某一個人的業績,他必定是經過多少人的努力後,在積累了大量成果的基礎上,最後由某個人或幾個人總結完成的。微積分也是這樣。

  不幸的事,由於人們在欣賞微積分的巨集偉功效之餘,在提出誰是這門學科的創立者的時候,竟然引起了一場悍然大波,造成了歐洲大陸的數學家和英國數學家的長期對立。英國數學在一個時期里閉關鎖國,囿於民族偏見,過於拘泥在牛頓的“流數術”中停步不前,因而數學發展整整落後了一百年。

  其實,牛頓和萊布尼茨分別是自己獨立研究,在大體上相近的時間里先後完成的。比較特殊的是牛頓創立微積分要比萊布尼詞早10年左右,但是整是公開發表微積分這一理論,萊布尼茨卻要比牛頓發表早三年。他們的研究各有長處,也都各有短處。那時候,由於民族偏見,關於發明優先權的爭論竟從1699年始延續了一百多年。

  應該指出,這是和歷史上任何一項重大理論的完成都要經歷一段時間一樣,牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們在無窮和無窮小量這個問題上,其說不一,十分含糊。牛頓的無窮小量,有時候是零,有時候不是零而是有限的小量;萊布尼茨的也不能自圓其說。這些基礎方面的缺陷,最終導致了第二次數學危機的產生。

  直到19世紀初,法國科學學院的科學家以柯西為首,對微積分的理論進行了認真研究,建立了極限理論,後來又經過德國數學家維爾斯特拉斯進一步的嚴格化,使極限理論成為了微積分的堅定基礎。才使微積分進一步的發展開來。

  任何新興的、具有無量前途的科學成就都吸引著廣大的科學工作者。在微積分的歷史上也閃爍著這樣的一些明星:瑞士的雅科布·貝努利和他的兄弟約翰·貝努利、歐拉、法國的拉格朗日、科西……

  歐氏幾何也好,上古和中世紀的代數學也好,都是一種常量數學,微積分才是真正的變數數學,是數學中的大革命。微積分是高等數學的主要分支,不只是局限在解決力學中的變速問題,它馳騁在近代和現代科學技術園地里,建立了數不清的豐功偉績。

微積分的基本內容

  研究函數,從量的方面研究事物運動變化是微積分的基本方法。這種方法叫做數學分析。

  本來從廣義上說,數學分析包括微積分、函數論等許多分支學科,但是現在一般已習慣於把數學分析和微積分等同起來,數學分析成了微積分的同義詞,一提數學分析就知道是指微積分。微積分的基本概念和內容包括微分學和積分學。

微分學

  微分學主要研究的是在函數自變數變化時如何確定函數值的瞬時變化率(導數或微商)。換言之,計算導數的方法就叫微分學。微分學的另一個計算方法是牛頓法,該演算法又叫應用幾何法,主要通過函數曲線的切線來尋找點斜率。費馬常被稱作「微分學的鼻祖」。

  微分學研究的是一個函數的導數的定義,性質和應用。求導的過程被稱為微分。給定一個函數和定義域內的一個點,在那個點的導數描述了該函數在那一點附近的表現。通過找出一個函數定義域內每一點的導數,可以生成一個新的函數,叫做原函數的導函數,或者導數。在數學術語中,導數是輸入一個函數,輸出另一個函數的線性運算元。這比初等代數里的過程更抽象一些,初等代數里的函數常常是輸入一個數,並輸出另一個數。例如,如果在倍增函數中輸入3,則輸出6,和如果在平方函數中輸入3,則輸出9。但是,微分能把平方函數作為輸入,這意味著微分利用平方函數的所有信息去產生另一個函數(生成的函數是倍增函數)。導數的最常見的符號是一個類似撇號的符號,叫作“撇”。從而函數f的導數是f',讀作“f一撇”。例如,如果f(x) = x2是平方函數,那麼它的導數f'(x) = 2x是倍增函數。如果函數的輸入量代表時間,那麼導數就代表關於時間的變化。例如,如果f是輸入時間,輸出那個時間的球的位置的函數,則f的導數就是位置隨著時間怎樣變化,這就是球的速度。如果一個函數是線性的(也就是說,如果函數的圖像是一條直線),那麼這個函數可以寫成y = mx + bx自變數y因變數by的縱截距,且

  m = \frac{\Delta y}{\Delta x}.

  這個公式給了一條直線的斜率的一個準確值。如果這個函數的圖像不是一條直線,那麼在y上的變化量除以在x上的變化量隨x改變。導數給出了輸出量關於輸入量的變化率這一概念一個確切的含義。具體來說,設f是一個函數,併在它的定義域內取一個點a(a,f(a))是這個函數圖像中的一個點。假設h是一個接近於0的數,這時a + h是一個接近於a的數。所以(a + h,f(a + h))是節點於(a,f(a))的。這兩點間的斜率是

  m = \frac{f(a+h) - f(a)}{(a+h) - a} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

  這個表達式稱為差商。通過曲線上的兩個點的一條線稱為割線,所以m(a,f(a))(a + h,f(a + h))間割線的斜率。割線僅僅是函數在a點行為的一個近似,因為它不能解釋函數在aa + h之間的情況。通過設定h0來發現函數在a處的行為是不可能的,因為這需要除以0,而除以0也是不可能的。導數定義為h趨向於0時差商的極限,就是說用h可取的所有可能小的值來研究f的行為,並取一個合適的值作為當h等於0時差商的值。

  \lim_{h \to 0}{f(a+h) - f(a)\over{h}}.

  幾何上,導數是函數fa點處切線的斜率。切線是割線的極限,正如導數是差商的極限。因此,導數有時也被稱為f的斜率。這裡有一個具體的例子,就是求一個平方函數在x等於3處的導數。令這個平方函數為f(x) = x2

  f'(3)=\lim_{h \to 0}{(3+h)^2 - 3^2\over{h}} =\lim_{h \to 0}{9 + 6h + h^2 - 9\over{h}} =\lim_{h \to 0}{6h + h^2\over{h}} =\lim_{h \to 0} (6 + h)= 6

  平方函數在點(3,9)處的切線斜率是6,也就是說,它是朝上走的速度是朝右走的速度的6倍。若平方函數的定義域中的任一點都存在剛纔所描述的極限,那麼我們就把它定義為平方函數的導函數,也簡稱為平方函數的導數。以上的一個相似計算表明平方函數的導數是倍增函數。

積分學

  積分學是微分學的逆運算,即從導數推算出原函數,又分為定積分與不定積分。一個一元函數的定積分可以定義為無窮多小矩形的面積和,約等於函數曲線下包含的實際面積。因此,我們可以用積分來計算平面上一條曲線所包含的面積、球體或圓錐體的錶面積或體積等。從技術上來講,積分學是研究線性運算元之間的關係。

  不定積分是導數的逆運算,即反導數。當fF的導數時,Ff的不定積分。(這種在公式中使用大小寫字母以區分微分積分在數學中很常見。)

  定積分輸入公式,得出數字,即給出圖像與橫坐標之間面積的代數解。對定積分的技術定義是矩形總面積的極限,又稱黎曼積分。

  舉例:在給定時間內行徑的路程:

  路程 = 速度 × 時間

  如果速度是一定的,那麼上述參數簡單相乘既可得出結果。但如果速度為變數,那麼就不得不使用更強大的公式。其中的一個方式是將行徑路程根據時間近似地劃分成許多小部分,將每個間距中的時間乘以當時的速度,最後將每個間距所行徑的近似路程累計為黎曼和。最基本的概念是,如果時長間隔很短,那麼速度會近似不變。然而,黎曼和只給出行徑路程的近似值。我們必須求得黎曼積分的極限,來得出精確的值。

  如果圖中的f(x)代表根據時間而改變的速度,那麼a時間點與b時間點之間的路程就可以用陰影區域s來表達。

  要求得區域面積的近似值,直觀的辦法就是將ab兩點之間的路程分割為等長線段,每個線段的長度用符號Δx來標記。對於每個小線段,我們在方程上找到對應值f(x),記為h。如此,以Δx為底、h為高的矩形面積(時間Δx乘以速度h) ,就是通過該線段的路程。和每個線段相關聯的是線段上方程的平均值f(x) = h。所有矩形的總和就是數軸與曲線之間面積的近似值,即總行徑路程的近似值。Δx的值越小,矩形數量就越多,近似值也就越精確。而如果我們要求得精確值,就必須尋找Δx的極限,令其數值逼近零。

  積分的符號是\int \,,好像一個拉長的SS意味"求和")。定積分被記為如下:

  \int_a^b f(x)\, \mathrm{d}x.

  求f(x)ab的定積分。萊布尼茨的符號dx意在表述將曲線下的面積分割為無窮多的矩形,以至於他們的寬Δx變成無窮小的dx。建立在極限上的微積分,符號

  \int_a^b \ldots\, \mathrm{d}x

  應被理解為輸入方程公式,輸出數字面積。終端微分dx不是數字,也不是與方程f(x)相乘,而是作為Δx餘留的極限定義,可被視為積分運算的符號。從形式上來講,微分代表了被積分方程的變數,並作為積分運算的尾括弧。

  不定積分,或反導數,被記作:

  \int f(x)\, \mathrm{d}x.

  常數不同,導數相同的方程,可是說明一個方程的反導數實際上是一組常數不同的方程組。C是常數的方程y = x2 + C求導,得方程y' = 2x;後者的反導數可被寫為:

  \int 2x\, \mathrm{d}x = x^2 + C.

  反導數中的未知常數C被稱為積分常數.

  微積分是與應用聯繫著發展起來的,最初牛頓應用微積分學及微分方程為了從萬有引力定律導出了開普勒行星運動三定律。此後,微積分學極大的推動了數學的發展,同時也極大的推動了天文學、力學、物理學、化學、生物學、工程學、經濟學等自然科學、社會科學及應用科學各個分支中的發展。併在這些學科中有越來越廣泛的應用,特別是電腦的出現更有助於這些應用的不斷發展。

微積分基本公式

微積分基本公式又稱微積分基本定理、牛頓-萊布尼茨公式,證實微分和積分互為逆運算。更精確地說,它將一個反導數的具體值與定積分聯繫起來。因為計算反導數通常比應用定積分定義更加簡單,微積分基本公式為計算定積分提供了一個行之有效的方式。它也可以被理解為微分是積分逆運算的精確解釋。

  微積分基本公式:如果方程f在[a, b ]區間是連續的,方程F在區間(a, b)的導數是f,那麼,

  \int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a).

  更進一步,對於在區間(a, b)的每個x都有,

  \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^x f(t)\, \mathrm{d}t = f(x).

  根據前輩伊薩克·巴羅的成果,艾薩克·牛頓爵士和戈特弗里德·威廉·萊布尼茨發現了這一規律。這也成為他們日後數學分析碩果的重要基石。基本公式為計算定積分提供了簡單的計算反導數的代數方法,而無須使用極限來窮盡。它也是解微分方程的雛形。微分方程可以給出任意方程的導數,成為科學的必備工具。

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評論(共4條)

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niesufen (討論 | 貢獻) 在 2012年5月7日 06:01 發表

enen

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119.147.225.* 在 2014年8月10日 13:26 發表

提到了微積分的發展史,但是內容公式什麼的沒有提及←_←

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188.238.6.* 在 2015年1月15日 11:42 發表

希望能給出公式以及簡單的公式運用例子

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Tracy (討論 | 貢獻) 在 2015年1月15日 14:30 發表

188.238.6.* 在 2015年1月15日 11:42 發表

希望能給出公式以及簡單的公式運用例子

進行了一些補充,希望對您有幫助!

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