微积分

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微积分(Calculus)

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微积分简介

  微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近",好像一个事物始终在变化你不好研究,但通过微元分割成一小块一小块,那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。

  微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想,‘无限细分’就是微分,‘无限求和’就是积分。无限就是极限,极限的思想是微积分的基础,它是用一种运动的思想看待问题。比如,子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念,子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念。如果将整个数学比作一棵大树,那么初等数学是树的根,名目繁多的数学分支是树枝,而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。

  极限和微积分的概念可以追溯到古代。到了十七世纪后半叶,牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作,分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量,理论基础是不牢固的。直到十九世纪,柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论,康托尔等建立了严格的实数理论,这门学科才得以严密化。

  微积分是与实际应用联系着发展起来的,它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中,有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。

  客观世界的一切事物,小至粒子,大至宇宙,始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后,就有可能把运动现象用数学来加以描述了。

  由于函数概念的产生和运用的加深,也由于科学技术发展的需要,一门新的数学分支就继解析几何之后产生了,这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的,可以说它是继欧氏几何后,全部数学中的最大的一个创造。

微积分学的建立

  从微积分成为一门学科来说,是在十七世纪,但是,微分和积分的思想在古代就已经产生了。

  公元前三世纪,古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中,就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说,早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中,记有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。

  到了十七世纪,有许多科学问题需要解决,这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来,大约有四种主要类型的问题:第一类是研究运动的时候直接出现的,也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

  十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作,如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格;英国的巴罗、瓦里士;德国的开普勒;意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。

  十七世纪下半叶,在前人工作的基础上,英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作,虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起,一个是切线问题(微分学的中心问题),一个是求积问题(积分学的中心问题)。

  牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量,因此这门学科早期也称为无穷小分析,这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑,莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。

  牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》,这本书直到1736年才出版,它在这本书里指出,变量是由点、线、面的连续运动产生的,否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量,把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是:已知连续运动的路径,求给定时刻的速度(微分法);已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。

  德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者,1684年,他发表了现博学多才的莱布尼茨在世界上认为是最早的微积分文献,这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法,它也适用于分式和无理量,以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一片说理也颇含糊的文章,却有划时代的意义。他以含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年,莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一,他所创设的微积分符号,远远优于牛顿的符号,这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。

  微积分学的创立,极大地推动了数学的发展,过去很多初等数学束手无策的问题,运用微积分,往往迎刃而解,显示出微积分学的非凡威力。

  前面已经提到,一门科学的创立决不是某一个人的业绩,他必定是经过多少人的努力后,在积累了大量成果的基础上,最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。

  不幸的事,由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余,在提出谁是这门学科的创立者的时候,竟然引起了一场悍然大波,造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国,囿于民族偏见,过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前,因而数学发展整整落后了一百年。

  其实,牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究,在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼词早10年左右,但是整是公开发表微积分这一理论,莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处,也都各有短处。那时候,由于民族偏见,关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。

  应该指出,这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样,牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上,其说不一,十分含糊。牛顿的无穷小量,有时候是零,有时候不是零而是有限的小量;莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷,最终导致了第二次数学危机的产生。

  直到19世纪初,法国科学学院的科学家以柯西为首,对微积分的理论进行了认真研究,建立了极限理论,後来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化,使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。

  任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星:瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟约翰·贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、科西……

  欧氏几何也好,上古和中世纪的代数学也好,都是一种常量数学,微积分才是真正的变量数学,是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支,不只是局限在解决力学中的变速问题,它驰骋在近代和现代科学技术园地里,建立了数不清的丰功伟绩。

微积分的基本内容

  研究函数,从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析。

  本来从广义上说,数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科,但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来,数学分析成了微积分的同义词,一提数学分析就知道是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。

微分学

  微分学主要研究的是在函数自变量变化时如何确定函数值的瞬时变化率(导数或微商)。换言之,计算导数的方法就叫微分学。微分学的另一个计算方法是牛顿法,该算法又叫应用几何法,主要通过函数曲线的切线来寻找点斜率。费马常被称作「微分学的鼻祖」。

  微分学研究的是一个函数的导数的定义,性质和应用。求导的过程被称为微分。给定一个函数和定义域内的一个点,在那个点的导数描述了该函数在那一点附近的表现。通过找出一个函数定义域内每一点的导数,可以生成一个新的函数,叫做原函数的导函数,或者导数。在数学术语中,导数是输入一个函数,输出另一个函数的线性算子。这比初等代数里的过程更抽象一些,初等代数里的函数常常是输入一个数,并输出另一个数。例如,如果在倍增函数中输入3,则输出6,和如果在平方函数中输入3,则输出9。但是,微分能把平方函数作为输入,这意味着微分利用平方函数的所有信息去产生另一个函数(生成的函数是倍增函数)。导数的最常见的符号是一个类似撇号的符号,叫作“撇”。从而函数f的导数是f',读作“f一撇”。例如,如果f(x) = x2是平方函数,那么它的导数f'(x) = 2x是倍增函数。如果函数的输入量代表时间,那么导数就代表关于时间的变化。例如,如果f是输入时间,输出那个时间的球的位置的函数,则f的导数就是位置随着时间怎样变化,这就是球的速度。如果一个函数是线性的(也就是说,如果函数的图像是一条直线),那么这个函数可以写成y = mx + bx自变量y因变量by的纵截距,且

  m = \frac{\Delta y}{\Delta x}.

  这个公式给了一条直线的斜率的一个准确值。如果这个函数的图像不是一条直线,那么在y上的变化量除以在x上的变化量随x改变。导数给出了输出量关于输入量的变化率这一概念一个确切的含义。具体来说,设f是一个函数,并在它的定义域内取一个点a(a,f(a))是这个函数图像中的一个点。假设h是一个接近于0的数,这时a + h是一个接近于a的数。所以(a + h,f(a + h))是节点于(a,f(a))的。这两点间的斜率是

  m = \frac{f(a+h) - f(a)}{(a+h) - a} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

  这个表达式称为差商。通过曲线上的两个点的一条线称为割线,所以m(a,f(a))(a + h,f(a + h))间割线的斜率。割线仅仅是函数在a点行为的一个近似,因为它不能解释函数在aa + h之间的情况。通过设定h0来发现函数在a处的行为是不可能的,因为这需要除以0,而除以0也是不可能的。导数定义为h趋向于0时差商的极限,就是说用h可取的所有可能小的值来研究f的行为,并取一个合适的值作为当h等于0时差商的值。

  \lim_{h \to 0}{f(a+h) - f(a)\over{h}}.

  几何上,导数是函数fa点处切线的斜率。切线是割线的极限,正如导数是差商的极限。因此,导数有时也被称为f的斜率。这里有一个具体的例子,就是求一个平方函数在x等于3处的导数。令这个平方函数为f(x) = x2

  f'(3)=\lim_{h \to 0}{(3+h)^2 - 3^2\over{h}} =\lim_{h \to 0}{9 + 6h + h^2 - 9\over{h}} =\lim_{h \to 0}{6h + h^2\over{h}} =\lim_{h \to 0} (6 + h)= 6

  平方函数在点(3,9)处的切线斜率是6,也就是说,它是朝上走的速度是朝右走的速度的6倍。若平方函数的定义域中的任一点都存在刚才所描述的极限,那么我们就把它定义为平方函数的导函数,也简称为平方函数的导数。以上的一个相似计算表明平方函数的导数是倍增函数。

积分学

  积分学是微分学的逆运算,即从导数推算出原函数,又分为定积分与不定积分。一个一元函数的定积分可以定义为无穷多小矩形的面积和,约等于函数曲线下包含的实际面积。因此,我们可以用积分来计算平面上一条曲线所包含的面积、球体或圆锥体的表面积或体积等。从技术上来讲,积分学是研究线性算子之间的关系。

  不定积分是导数的逆运算,即反导数。当fF的导数时,Ff的不定积分。(这种在公式中使用大小写字母以区分微分积分在数学中很常见。)

  定积分输入公式,得出数字,即给出图像与横坐标之间面积的代数解。对定积分的技术定义是矩形总面积的极限,又称黎曼积分。

  举例:在给定时间内行径的路程:

  路程 = 速度 × 时间

  如果速度是一定的,那么上述参数简单相乘既可得出结果。但如果速度为变量,那么就不得不使用更强大的公式。其中的一个方式是将行径路程根据时间近似地划分成许多小部分,将每个间距中的时间乘以当时的速度,最后将每个间距所行径的近似路程累计为黎曼和。最基本的概念是,如果时长间隔很短,那么速度会近似不变。然而,黎曼和只给出行径路程的近似值。我们必须求得黎曼积分的极限,来得出精确的值。

  如果图中的f(x)代表根据时间而改变的速度,那么a时间点与b时间点之间的路程就可以用阴影区域s来表达。

  要求得区域面积的近似值,直观的办法就是将ab两点之间的路程分割为等长线段,每个线段的长度用符号Δx来标记。对于每个小线段,我们在方程上找到对应值f(x),记为h。如此,以Δx为底、h为高的矩形面积(时间Δx乘以速度h) ,就是通过该线段的路程。和每个线段相关联的是线段上方程的平均值f(x) = h。所有矩形的总和就是数轴与曲线之间面积的近似值,即总行径路程的近似值。Δx的值越小,矩形数量就越多,近似值也就越精确。而如果我们要求得精确值,就必须寻找Δx的极限,令其数值逼近零。

  积分的符号是\int \,,好像一个拉长的SS意味"求和")。定积分被记为如下:

  \int_a^b f(x)\, \mathrm{d}x.

  求f(x)ab的定积分。莱布尼茨的符号dx意在表述将曲线下的面积分割为无穷多的矩形,以至于他们的宽Δx变成无穷小的dx。建立在极限上的微积分,符号

  \int_a^b \ldots\, \mathrm{d}x

  应被理解为输入方程公式,输出数字面积。终端微分dx不是数字,也不是与方程f(x)相乘,而是作为Δx余留的极限定义,可被视为积分运算的符号。从形式上来讲,微分代表了被积分方程的变量,并作为积分运算的尾括号。

  不定积分,或反导数,被记作:

  \int f(x)\, \mathrm{d}x.

  常数不同,导数相同的方程,可是说明一个方程的反导数实际上是一组常数不同的方程组。C是常数的方程y = x2 + C求导,得方程y' = 2x;后者的反导数可被写为:

  \int 2x\, \mathrm{d}x = x^2 + C.

  反导数中的未知常数C被称为积分常数.

  微积分是与应用联系着发展起来的,最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。此后,微积分学极大的推动了数学的发展,同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用,特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。

微积分基本公式

微积分基本公式又称微积分基本定理、牛顿-莱布尼茨公式,证实微分和积分互为逆运算。更精确地说,它将一个反导数的具体值与定积分联系起来。因为计算反导数通常比应用定积分定义更加简单,微积分基本公式为计算定积分提供了一个行之有效的方式。它也可以被理解为微分是积分逆运算的精确解释。

  微积分基本公式:如果方程f在[a, b ]区间是连续的,方程F在区间(a, b)的导数是f,那么,

  \int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a).

  更进一步,对于在区间(a, b)的每个x都有,

  \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^x f(t)\, \mathrm{d}t = f(x).

  根据前辈伊萨克·巴罗的成果,艾萨克·牛顿爵士和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨发现了这一规律。这也成为他们日后数学分析硕果的重要基石。基本公式为计算定积分提供了简单的计算反导数的代数方法,而无须使用极限来穷尽。它也是解微分方程的雏形。微分方程可以给出任意方程的导数,成为科学的必备工具。

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评论(共4条)

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niesufen (Talk | 贡献) 在 2012年5月7日 06:01 发表

enen

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119.147.225.* 在 2014年8月10日 13:26 发表

提到了微积分的发展史,但是内容公式什么的没有提及←_←

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188.238.6.* 在 2015年1月15日 11:42 发表

希望能给出公式以及简单的公式运用例子

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Tracy (Talk | 贡献) 在 2015年1月15日 14:30 发表

188.238.6.* 在 2015年1月15日 11:42 发表

希望能给出公式以及简单的公式运用例子

进行了一些补充,希望对您有帮助!

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