数理统计学

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数理统计学（Mathematical Statistics）

　　数理统计学是统计学的数学基础，从数学的角度去研究统计学，为各种应用统计学提供理论支持。它研究怎样有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的数学分支。

　　数理统计学是伴随着概率论的发展而发展起来的。19世纪中叶以前已出现了若干重要的工作，如C.F.高斯和A.M.勒让德关于观测数据误差分析和最小二乘法的研究。到19世纪末期，经过包括K.皮尔森在内的一些学者的努力，这门学科已开始形成。但数理统计学发展成一门成熟的学科，则是20世纪上半叶的事，它在很大程度上要归功于K.皮尔森、R.A.费希尔等学者的工作。特别是费希尔的贡献，对这门学科的建立起了决定性的作用。1946年H.克拉默发表的《统计学数学方法》是第一部严谨且比较系统的数理统计著作，可以把它作为数理统计学进入成熟阶段的标志。

　　数理统计学的发展大致可分3个时期。

　　第一时期：20 世纪以前。这个时期又可分成两段，大致上可以把高斯和勒让德关于最小二乘法用于观测数据的误差分析的工作作为分界线，前段属萌芽时期，基本上没有超出描述性统计量的范围。后一阶段可算作是数理统计学的幼年阶段。首先，强调了推断的地位，而摆脱了单纯描述的性质。由于高斯等的工作揭示了正态分布的重要性，学者们普遍认为，在实际问题中遇见的几乎所有的连续变量，都可以满意地用正态分布来刻画。这种观点使关于正态分布的统计得到了深入的发展，但延缓了非参数统计的发展。19世纪末，K.皮尔森给出了以他的名字命名的分布，并给出了估计参数的一种方法——矩法估计。德国的F.赫尔梅特发现了统计上十分重要的x2 分布。

　　第二时期：20世纪初到第二次世界大战结束。这是数理统计学蓬勃发展达到成熟的时期。许多重要的基本观点和方法，以及数理统计学的主要分支学科，都是在这个时期建立和发展起来的。这个时期的成就，包含了至今仍在广泛使用的大多数统计方法。在其发展中，以英国统计学家、生物学家费希尔为代表的英国学派起了主导作用。

　　第三时期：战后时期。这一时期中，数理统计学在应用和理论两方面继续获得很大的进展。

　　数理统计学内容庞杂，分支学科很多，难于作出一个周密而无懈可击的分类。大体上可以划分为如下几类：

　　第一类分支学科是抽样调查和试验设计。它们主要讨论在观测和实验数据的收集中有关的理论和方法问题，但并非与统计推断无关。

　　第二类分支学科为数甚多，其任务都是讨论统计推断的原理和方法。各分支的形成是基于：

　　①特定的统计推断形式，如参数估计和假设检验。

　　②特定的统计观点，如贝叶斯统计与统计决策理论。

　　③特定的理论模型或样本结构，如非参数统计、多元统计分析、回归分析、相关分析、序贯分析，时间序列分析和随机过程统计。

　　第三类是一些针对特殊的应用问题而发展起来的分支学科，如产品抽样检验、可靠性统计、统计质量管理等。

　　用数理统计方法去解决一个实际问题时，一般有如下几个步骤 ：建立数学模型 ，收集整理数据，进行统计推断、预测和决策。这些环节不能截然分开，也不一定按上述次序，有时是互相交错的。

　　①模型的选择和建立。在数理统计学中，模型是指关于所研究总体的某种假定，一般是给总体分布规定一定的类型。建立模型要依据概率的知识、所研究问题的专业知识、以往的经验以及从总体中抽取的样本（数据）。

　　②数据的收集。有全面观测、抽样观测和安排特定的实验3种方式。全面观测又称普查，即对总体中每个个体都加以观测，测定所需要的指标。抽样观测又称抽查，是指从总体中抽取一部分，测定其有关的指标值。这方面的研究内容构成数理统计的一个分支学科。叫抽样调查。

　　③安排特定实验以收集数据，这些特定的实验要有代表性，并使所得数据便于进行分析。这里面所包含的数学问题，构成数理统计学的又一分支学科，即实验设计的内容。

　　④数据整理。目的是把包含在数据中的有用信息提取出来 。 一种形式是制定适当的图表，如散点图，以反映隐含在数据中的粗略的规律性或一般趋势。另一种形式是计算若干数字特征，以刻画样本某些方面的性质，如样本均值、样本方差等简单描述性统计量。

　　⑤统计推断。指根据总体模型以及由总体中抽出的样本，作出有关总体分布的某种论断 。数据的收集和整理是进行统计推断的必要准备，统计推断是数理统计学的主要任务。

　　⑥统计预测。统计预测的对象，是随机变量在未来某个时刻所取的值，或设想在某种条件下对该变量进行观测时将取的值。例如，预测一种产品在未来3年内的市场销售量，某个10岁男孩在3年后的身高，体重等等。

　　⑦统计决策。依据所做的统计推断或预测，并考虑到行动的后果（以经济损失的形式表示）而制定的一种行动方案。目的是使损失尽可能小，或反过来说，使收益尽可能大。例如，一个商店要决定今年内某种产品的进货数量，商店的统计学家根据抽样调查，预测该产品本店今年销售量为1000件。假定每积压一件产品损失20元，而少销售一件产品则损失10元，要据此作出关于进货数量的决策。

　　数理统计方法在工农业生产、自然科学和技术科学以及社会经济领域中都有广泛的应用。

　　①在农业中，对田间试验进行适当的设计和统计分析。

　　②实验设计法、回归设计和回归分析、方差分析、多元分析等统计方法，在工业生产的试制新产品和改进老产品、改革工艺流程、使用代用原材料和寻求适当的配方等问题中起着广泛的作用，统计质量管理在控制工业产品的质量中起着十分重要的作用。

　　③医学是较早使用数理统计方法的领域之一 。在防治一种疾病时，需要找出导致这种疾病的种种因素。统计方法在发现和验证这些因素上，是一个重要工具。另一方面的应用是，用统计方法确定一种药物对治疗某种疾病是否有用，用处多大，以及比较几种药物或治疗方法的效力。

　　④在自然科学和技术科学中，如统计方法用于地震、气象和水文方面的预报、地质资源的评介等。

　　⑤在社会、经济领域方面，如人口调查和预测，心理学中能力方面的分析等。