统计决策理论

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统计决策理论（Statistical Decision Theory）

　 　　统计决策理论是由统计学家A.瓦尔德在1950年提出的一种数理统计学的理论，这种理论把数理统计问题看成是统计学家与大自然之间的博弈；用这种观点把各种各样的统计问题统一起来，以对策论的观点来研究。在此以前，人们对数理统计，主要是着眼于其推断的功能，亦即从观测数据出发对总体作出某种论断。至于由此应该采取什么决策或行动，会产生什么后果，则被认为不属于统计的范畴。瓦尔德的理论则把后面这一部分内容也纳入统计的范围之内，这在数理统计学上是一项革新，有较大的实际意义。

　　在一个统计问题中，统计工作者掌握的资料是样本X ＝(x1,x2…,xn),X所来自的总体的分布F_θ中包含的参数θ为未知,而只知道θ所属的集合Θ（Θ为θ所有可能取值的集合，称为参数空间）。但是，采取什么决策最好，则取决于未知的θ值。用形象化的说法，θ是由大自然在参数空间中选定的，人们力图去找到它。大自然掌握了θ的秘密，而这个秘密又通过样本泄露出来,统计工作者的任务就是根据样本 X中所包含的关于θ的信息,去作出良好的决策。例如，一家商店根据抽样决定是否接受一批来货，一个工厂根据市场调查的结果决定某种产品生产多少等,希望所采取的行动取得尽可能好的效果,或者说，使“行动不当”所造成的损失尽可能小。

可以通过三个要素把一个统计决策问题表达出来。

　　① 样本空间H与样本分布族{F_θ：θ∈Θ}这个要素规定了问题的概率模型。样本空间是样本可能的取值范围，而样本分布族是样本所可能遵从的分布的集合。

　　② 行动空间A　 它是统计工作者可以采取的单纯策略（或称行动）的集合。例如，设θ为一维参数，要对θ作区间估计，则实轴上任一区间[a,b]构成一个单纯策略，这时行动空间为所有[a,b]构成的集合,即{[a,b]：-∞<a≤b<∞}。若问题是要检验有关θ的假设，则行动空间A由a₀（接受假设）和a₁（拒绝假设）两个元素构成。

　　③ 损失函数L 统计决策理论有一个基本出发点：所采取的行动的后果可以数量化。设参数真值为θ，统计工作者采取的行动为a，则所遭受的损失可表为a与θ的函数L(θ, a)，称之为损失函数。在一个具体问题中,采取什么损失函数最好，是一个需要进行大量调查研究以至理论工作的问题，这也是在使用决策理论时的一个困难点。

　　当三个要素都已给定时，统计工作者采取什么行动，取决于他所掌握的样本。求一个统计决策问题的解，就是制定一个规则，以便对样本空间中每一点，在行动空间中都有一个元素与之对应，也就是找一个定义于样本空间H,而取值于行动空间A的函数或分布函数δ，当有了样本 X，就按δ采取行动，称δ为决策函数。用对策论的语言,δ就是统计工作者所采取的策略。

　　选择决策函数的准则　对一个统计决策问题，为选定一个较优的决策函数，需要建立反映决策函数优劣的指标。风险函数R(θ,δ)就是这样的指标,定义为R(θ,δ)=Eθ [L(θ，δ(X)]，即采取决策函数δ而参数真值为θ时所遭受的平均损失。风险函数愈小，决策函数愈好。在这个原则下，可以引进种种更具体且可行的准则。

　　① 容许性准则　设δ为一决策函数，若存在另一决策函数δ，使对一切θ∈有R(θ,δ)≤R(θ,δ),且不等号至少在F_θ中的某一点成立,则称δ为不可容许的，否则为可容许的。从风险愈小愈好的原则出发,当δ不可容许时，便没有理由使用它。判定一个决策函数是否可容许，是统计决策理论中一个重要而且困难的问题。在风险函数愈小愈好的原则下，若存在决策函数δ0，对一切θ∈必成立R(θ,δ0)≤R(θ,δ)，其中δ为任一决策函数，则δ0是最好的决策函数，称为一致最优决策函数。但这种决策函数一般不存在，因而不得不放宽条件，常采用的有两种方法：一种是不对风险函数在上作逐点比较，而采用某种综合性指标；另一种方法是先从一定角度对允许使用的决策函数加以一定限制，然后再找一致最优的，从而又引出下列准则。

　　② 最小化最大准则　最大风险是一种综合性指标，若存在使最大风险最小的决策函数δ,使得对一切决策函数δ都有：M(δ)≥M(δ)，则称δ是最小化最大决策函数，它反映了一种较稳健或保守的策略思想。

　　④ 最优同变性准则 这是一种在限制决策函数有同变性的条件下，求一致最优决策函数的准则。同变性是指当问题由于平移、刻度等变换而发生变化时，相应的决策(对策)也能有同步地变换的性质。例如,在正态总体N(μ,1)中抽样x1,x2,…,xn以估计μ,若将度量原由零点(O)移到с处，则样本在新坐标系下变为x1+с,x2+с…,xn+с,而参数变为μ+с,如果接受“估计结果不应与坐标原点的取法有关”的原则,则所用的决策δ应满足：对任何实数с,有δ(X₁ + c,X₂ + c,...,X_n + c) = δ(X₁,X₂,...,X_n) + c ；称这样的 δ在平移变换下有同变性。可以在样本空间H上考虑更复杂的一一变换群，而定义在这个变换群之下的同变性，在所有具有同变性的决策函数类中，风险一致最小的决策函数被称为最优同变决策函数。

　　在点估计中，限制使用的估计量有无偏性，采用平方损失函数，在这个限制下,一致最优估计量就是一致最小方差无偏估计。这是另一个在限制决策函数下，求一致最优策略的例子。

　　一旦选定了优良性标准，统计决策问题的解决，就相当于一个数学上的最优化问题。1950年后的几十年来在这方面做了不少工作，这不仅使统计问题有了严格的数学提法，同时也在形式上部分地突出了瓦尔德的想法，把形式不一样的统计问题归并在一个模式下统一处理。决策函数的观点使统计更注重了所采取行动的效果，也使统计问题提法更加多样化，从而开拓了某些新的研究领域，例如前面提到的关于容许性及最小化最大准则的研究。因此,瓦尔德的理论受到统计学界的重视,成为二次大战后统计学史上一个重大事件。但是，在这个问题上的看法也并不一致，英国统计学家M.肯德尔认为“损失的数量化”并非在任何情况下都合理可行，而且他还认为，把统计问题归之于统计工作者与大自然之间的博弈的观点，是值得怀疑的。