期望效用函數理論
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期望效用函數理論（Expected Utility Theory），也稱馮·紐曼--摩根斯坦效用函數（von Neumann-Morgenstern utility）
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期望效用函數理論是20世紀50年代,馮·紐曼和摩根斯坦(Von Neumann and Morgenstern)在公理化假設的基礎上，運用邏輯和數學工具，建立了不確定條件下對理性人(rational actor)選擇進行分析的框架。不過, 該理論是將個體和群體合而為一的。後來，阿羅和德布魯（Arrow and Debreu）將其吸收進瓦爾拉斯均衡的框架中，成為處理不確定性決策問題的分析範式，進而構築起現代微觀經濟學並由此展開的包括巨集觀、金融、計量等在內的巨集偉而又優美的理論大廈。
如果某個隨機變數X以概率Pi取值xi，i=1,2,…,n，而某人在確定地得到xi時的效用為u(xi)，那麼，該隨機變數給他的效用便是：
U(X) = E[u(X)] = P1u(x1) + P2u(x2) + ... + Pnu(xn)
其中，E[u(X)]表示關於隨機變數X的期望效用。因此U(X)稱為期望效用函數，又叫做馮·諾依曼—摩根斯坦效用函數（VNM函數）。另外，要說明的是期望效用函數失去了保序性，不具有序數性。
期望效用函數理論分析[1]
考慮兩人的博弈(兩人零和博弈)，二者出同樣多的錢(100元)賭博，贏者變成200元，輸者為0。不考慮其他因素情況下，輸贏概率均為0.5，期望效用E(u)=0.5×200+0.5×0=100。雙方的效用為
，u1,u2為兩種狀態下的邊際效用(如上圖)。比賭博前的u1少了
。如果一個人擁有200元，再拿出100元進行賭博，其損失效用為
，比較
如下：
對
作變數替換t=x-100，得
,
![\triangle u_1=0.5\int_{200}^{100}[u(x)-u(x+100)]dx=0.5\int_{200}^{100}-u^{\prime}(\mu_1)100dx=-0.5u^{\prime}(\mu_1)100^2,\mu\in(100,300)](/w/images/math/5/1/a/51a084d01079715125ca370898dc3078.png)
![\triangle u_2=0.5(\int_{300}^{200}u(x)dx-\int_{400}^{300}u(x)dx)=0.5\int_{200}^{100}u(x+100)dx-\int_{200}^{100}u(x+200)dx=0.5\int_{200}^{100}u[(x+100)-u(x+200)]dx=-0.5u^{\prime}(\mu_2)100^2,](/w/images/math/8/1/f/81f6a1fa57915d5b5ae56538b4ebdbeb.png)
且100 < μ1 < μ2 < 400,
![\triangle u_2-\triangle u_1=[u^{\prime}(\mu_1)-u^{\prime}(\mu_2)]100^2=\frac{1}{2}u^{\prime\prime}(\mu)100^2,100^2<\mu<400.](/w/images/math/0/3/e/03e5c544177b0ece991ea7230f5820b7.png)
當u為凹函數時
，當u是凸函數時
，當u是直線時，
。所以當
時，u為凸函數；
時，u為凹函數；
時，u為直線。
由此可見，時，即一個富人拿出一部分錢去賭博所損失的效用要低於一個窮人拿出同樣的錢去賭博所損失的效用。也就是說富人更經得起這種賭博帶來的效用損失。因而u是凹函數。
EU理論及SEU理論描述了“理性人”在風險條件下的決策行為。但實際上人並不是純粹的理性人，決策還受到人的複雜的心理機制的影響。因此，ＥＵ理論對人的風險決策的描述性效度一直受到懷疑。例如，EU理論難以解釋阿萊悖論、Ellsberg悖論等現象；沒有考慮現實生活中個體效用的模糊性、主觀概率的模糊性；不能解釋偏好的不一致性、非傳遞性、不可代換性、“偏好反轉現象”、觀察到的保險和賭博行為；現實生活中也有對EU理論中理性選擇上的優勢原則和無差異原則的違背；實際生活中的決策者對效用函數的估計也違背EU理論的效用函數。
另外，隨著實驗心理學的發展，預期效用理論在實驗經濟學的一系列選擇實驗中受到了一些“悖論”的挑戰。實驗經濟學在風險決策領域所進行的實驗研究最廣泛採取的是彩票選擇實驗（lottery－choice experiments），即實驗者根據一定的實驗目標，在一些配對的組合中進行選擇，這些配對的選擇通常在收益值及贏得收益值的概率方面存在關聯。通過實驗經濟學的論證，同結果效應、同比率效應、反射效應、概率性保險、孤立效應、偏好反轉等“悖論”的提出對預期效用理論形成了重大衝擊。
研究者針對以上問題提出了以下幾種使EU理論一般化的方式:
(1)Karmark(1978)提出主觀權重效用(Subjectively Weighted Utility，SWU)的概念，用決策權重替代線性概率，這可以解釋Allais問題和共同比率效應，但不能解釋優勢原則的違背；
(2)擴展性效用模型（generalized utility model）。該類模型的特點是針對同結果效應和同比率效應等，放鬆預期效用函數的線性特征，或對公理化假設進行重新表述，模型將用概率三角形表示的預期效用函數線性特征的無差異曲線，擴展成體現局部線性近似的扇行展開。這些模型沒有給出度量效用的原則，但給出了效用函數的許多限定條件。
(3)Kahneman和阿莫斯·特沃斯基（Amos Tversky）(1979)引入系統的非傳遞性和不連續性的概念，以解決優勢違背問題；
(4)“後悔”的概念被引入，以解釋共同比率效應和偏好的非傳遞性；如Loomes和Sudgen（1982）所提出的“後悔模型”引入了一種後悔函數，將效用奠定在個體對過去“不選擇”結果的心理體驗上（放棄選擇後出現不佳結果感到慶幸，放棄選擇後出現更佳結果感到後悔），對預期效用函數進行了改寫（仍然保持了線性特征）。
(5)允許決策權重隨得益的等級和跡象變化，這是對SWU的進一步發展。
(6)非可加性效用模型（non-additivity utility model）這類模型主要針對埃爾斯伯格悖論，該模型認為概率在其測量上是不可加的。
風險的主觀態度[2]
1．風險偏好
風險偏好表明經濟代理人對於風險的個人偏好狀態，其效用隨資金報酬的增加而增加，增加率遞增。無論人們對風險承擔者的概念作何種理解，我們都可以肯定地認為，獲取隨機報酬形比獲取確定報酬W=E[W]所承擔的風險要大得多。如果某個市場參加者總是寧願獲取W=E[W]的報酬(相應獲得U(E[W])的效用)，而且他也願意承擔風險獲取風險報酬W(相應獲得的預期效用為E(U[W]))，那麼，我們就稱這個市場參加者為風險偏好者。也就是說，當面臨多種同樣資金預期值的投機方式時，風險偏好者將選擇具有較大不確定性的投機方式。U(E[X])<E(U[X])，風險偏好的效用函數是凸函數。如圖所示，效用的增加率隨報酬的增加而遞增。效用函數的二階導數大於零。
2．風險中性
風險中性是相對於風險偏好和風險厭惡的概念，風險中性的投資者對自己承擔的風險並不要求風險補償。我們把每個人都是風險中性的世界稱之為風險中性世界，這樣的世界里，投資者對風險不要補償，所有證券的期望報酬率都是無風險利率。真實世界里的投資者儘管在風險偏好方面存在差異，但當套利機會出現時，投資者無論風險偏好如何都會採取套利行為，消除套利機會後的均衡價格與投資者的風險偏好無關。風險中性者並不介意一項投機是否具有比較確定或者不那麼確定的結果。他們只是根據預期的資金價值來選擇投機，特別而言，他們要使期望資金價值最大化。下圖效用的增加率不隨報酬的增加而變動，效用函數的二階導數等於零。U=a+bM，其中U為效用，M為資金報酬，a和b是常數(b>0)。U(E[X])=E(U[X])風險中性的效用函數是條直線。
3．風險厭惡
風險厭惡是一個人接受一個有不確定的報酬的交易時，相對於接受另外一個更保險，但是也可能具有更低期望報酬的交易的不情願程度。風險厭惡是一個人在承受風險情況下其偏好的特征，可以用它來測量人們為降低所面臨的風險而進行支付的意願。在降低風險的成本與報酬的權衡過程中，厭惡風險的人們在相同的成本下更傾向於做出低風險的選擇。例如，如果通常情況下你情願在一項投資上接受一個較低的預期回報率，因為這一回報率具有更高的可測性，你就是風險厭惡者。當對具有相同的預期回報率的投資項目進行選擇時，風險厭惡者一般選擇風險最低的項目。當面對具有相同預期資金價值的投機時，風險厭惡者喜歡結果比較確定的投機，而不喜歡結果不那麼確定的投機。在信息經濟學中，風險厭惡者的效用函數一般被假設為凹性。如圖所示，效用上網增加率隨報酬的增加遞減。效用函數的二階導數小於零，U(E[X])>E(U[x])風險厭惡的效用函數是凹函數。
CE 被稱作確定性等值(Certainty. Equivalent)，即消費者為達到期望的效用水平所要求保證的財產水平。若某人的財富效用函數為u(x)，而一個賭局對某人的效用為E(u(x))，則有一個CE值能夠滿足：u(CE)=E(u(x))。稱CE為某人在該賭局中的確定性等值。
保險市場的價格——保險金：若某人的財富數量為w，其財富效用函數為u(x)，而一個賭局對某人的效用為u(E(x))，若有u(w-R)= u(E(x))，則稱R為保險金。因為u(w-R)= u(CE)，所以R=w-CE。
風險厭惡者是保險的需求者，同時也可以成為保險的供給者。
案例一:期望效用函數理論在就業管理中的應用[3]
一、就業期望效用函數的構造
從不確定性出發，考慮人們的偏好與效用函數就得引進概率P。概率的效用函數表達式叫期望效用函數，如果把期望效用函數與大學生擇業、就業結合就可以較簡單地構造出就業期望效用函數探討大學生就業的現象機制一般來講是在條件確定時進行的經驗或者理性的推導。但是，許多場合，那種以完全確定為前提的分析是不現實的。事實上，我們知道，畢業生在決策時，對於選擇的後果是不完全知道的，具有不確定性，要冒一定的風險。
畢業生的決策是取決於他(她)關於選擇某一個工作崗位的概率分佈的主觀猜測。如果他主觀認為選擇某一工作發展前景概率更高，那麼，它就會選擇，否則另謀出路。這就是我們必須從不確定性出發，考慮消費者的偏好與效用函數就得引進概率P使之變成期望效用函數。如果你選擇的工作對象是兩家IT公司，收入見下表。
表工資收入。
| 結果1 | 結果2 | |||
| 可能性(P) | 收入 | 可能性(P) | 收入 | |
| 工作A:(佣金制) | 0.6 | 2000 | 0.4 | 1000 |
| 工作B:(固定資金) | 0.95 | 1500 | 0.05 | 500 |
期望收入=(結果1的概率)×(結果1的收入)+(結果2的概率)×(結果2的收入)。工作A=1600。工作B=1450則你應該選擇工作A，而期望效用(expected utility)一般在單賭的情況下值為u(g)=pu(A)+(1-P)u(B)當u(g1) > u(g2)時，則可認為畢業時在g_1與g_2之間更偏好g_1。也就是說，當尋找工作的畢業生有多種未知的情況，而要選擇時，他們能夠依靠期望效用的極大化來代表分析自己的主觀選擇。如果選擇工作的結果有，n個可能性，即
，同時對u(ai)(i=1,2,……,n)賦值，代人構造的就業期望效用函數。如果
即對畢業生來說，ai最好，an最次。如果學生把ai看成是a1與an的一個線性組合一樣好，在他看來，任一個可能結果ai(i=1,2,……,n)總不外是與最好的結果與最次的結果之間的某種組合一樣好，即ai～
令u(ai) − = pi即用畢業生心裡那個使a與某個單賭等價的最好事件發生概率P_i來定義u(a_i)則可構建就是期望效用函數為：。
就業期望效用函數的意義在於，當大學生面臨不確定性的擇業、就業選擇時，他可以依靠期望效用的極大化來分析自己的選擇是否合理可行，至少可以對目前的狀況做較規範的分析。
二、效用函數應用實例
假設目前市場上由三份工作可以選擇，它們的工資分別為A=(3000元，1500元，1000元)括弧中的a1 = 3000,a2 = 1500,a3 = 1000，分別表示可能發生的三種結果，這裡a1最好，a3最次。
如果問自己：當a發生的概率(p)等於多少時使你認為a(i=1，2，3)與(p,a1,a2)元差異?如果回答是：3000元～(1×(3000元)，0×(1000元)，1500元～(0.6×(3000元)，0.4×(1000元))，1000元～(0×(3000元)，1×(1000元))那麼可以定義：
u=(3000元) = u(a1) = 1
u=(1500元) = u(a2) = O.6
u=(1000元)=u = (a3) = O
現在可以比較不同尋職格局了。比如：
則u(S1) = 0.2u(1500) + 0.8u(3000) = 0.92
由於u(S1) > u(S2)即S1的期望效用大於S2的期望效用，所以你=定會偏好於選擇S1。因此就業者可以通過自己對某=行業的瞭解及心理自測的評價，利用就業期望效益較合理評估自己的想法，尋找更多的機會和更合適的工作崗位。
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圖1 和圖2 反了
沒有吧~ 我看是沒錯~ 不知道別人有沒有什麼高見~
沒錯啊
確定性等值能補充一個具體例子嗎？
添加了新的案例，希望對您有幫助！
很牛，就是不詳細啊！！，看看西方經濟學教材，理解一下
添加了新內容，希望對您有幫助！
其中，E[u(X)]表示關於隨機變數X的期望效用。因此U(X)稱為期望效用函數，又叫做馮·諾依曼—摩根斯坦效用函數（VNM函數）。
關於這句話，我很不解，因為課上，我們老師說，u(x)是vNM函數，而不是U（x）。 所以我很困惑，自己想著覺得是U（x）,而不是u(x),因為這樣比較有邏輯，不是麽？ 但是為什麼跟我們老師說的不一樣呢？？？？
求解答。 謝謝。
比賭博前的u1少了......。如果一個人擁有200元，再拿出100元進行賭博，其損失效用為..... 1，為什麼說是比u1少了呢？錢多了，不是效用高了麽？ 不是比u1增多了麽？為什麼圖是減函數呢？不是應該是增函數麽？ 2，為什麼說是損失效用呢？ 3，關於定積分的計算，為什麼下限值比上限值高呢？為什麼不是反過來呢？ 4，關於定積分的計算，我不會算。。。。請大家指教，，，，不要因為太簡單而忽略我的問題拜托。。。。
由此可見，時，即一個富人拿出一部分錢去賭博所損失的效用要低於一個窮人拿出同樣的錢去賭博所損失的效用。也就是說富人更經得起這種賭博帶來的效用損失。因而u是凹函數。 我覺得這個“因而u是凹函數。” 的邏輯怪怪的。為什麼從其中一個情況，就可以推出整個u函數都是凹函數呢？
還有，關於對期望效用函數的介紹，似乎不是很。。很什麼來著（我想不到詞。。）。。。換句話說，在課上，跟我們老師所介紹的不一樣，我們老師介紹的是，vnm的定理和性質。我想，這樣介紹會不會更清晰明瞭一些，比如，vnm 是假設它本身就是線性增函數的。 這樣的話，就不會出現“因而u是凹函數。”的困惑了。 不知道大家怎麼看？
我連圖2都沒看到…… 但我也覺得圖1不對，vnm應該是增函數呀，怎麼變減函數了？？？？？？
其實看到這裡我已經完全米糊了。。。。按上面的計算，圖是對的，可是，vnm就是增函數不是麽？？而且應該是線性的呀？？？
若某人的財富數量為w，其財富效用函數為u(x)，而一個賭局對某人的效用為u(E(x))。 我不明白的是， 前面說 其財富效用函數為u(x)， 而一個賭局對某人的效用為u(E(x))。為什麼效用變成了 u(E(x))？？？？ 同樣是效用，為什麼表達方式不一樣，或者說用另一個詞，比如偏好，還是什麼的。額。。。說來說去，我不明白的就是，效用這個詞，為什麼用兩個不用的函數表示？
當a發生的概率(p)等於多少時使你認為a(i=1，2，3)與(p,a1,a2)元差異?如果回答是：3000元～(1×(3000元)，0×(1000元)，1500元～(0.6×(3000元)，0.4×(1000元))，1000元～(0×(3000元)，1×(1000元))那麼可以定義。。。。 1500那個，括弧里的數，不是比1500多了麽？
圖1 和圖2 反了 +1
圖應該是對的，現更新了原文的內容，添加了文獻出處，希望對您有幫助！~
lz，風險偏好和風險厭惡的公式反了，請查閱相關書籍，如Claus Munk的Dynamic Asset Allocation.
lz，風險偏好和風險厭惡的公式反了，請查閱相關書籍，如Claus Munk的Dynamic Asset Allocation.
謝謝您的指正，原文已修正！~
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不是直接相乘，應該理解成U(1500)~(0.6U(3000),0.4U(1000))
由此可見，時，即一個富人拿出一部分錢去賭博所損失的效用要低於一個窮人拿出同樣的錢去賭博所損失的效用。也就是說富人更經得起這種賭博帶來的效用損失。因而u是凹函數。 我覺得這個“因而u是凹函數。” 的邏輯怪怪的。為什麼從其中一個情況，就可以推出整個u函數都是凹函數呢？
還有，關於對期望效用函數的介紹，似乎不是很。。很什麼來著（我想不到詞。。）。。。換句話說，在課上，跟我們老師所介紹的不一樣，我們老師介紹的是，vnm的定理和性質。我想，這樣介紹會不會更清晰明瞭一些，比如，vnm 是假設它本身就是線性增函數的。 這樣的話，就不會出現“因而u是凹函數。”的困惑了。 不知道大家怎麼看？
賭博問題，雙方0.5概率，當u1無限接近u2的時候就是最低，當u1大於u2就是上升，是凹函數
賭博問題，雙方0.5概率，當u1無限接近u2的時候就是最低，當u1大於u2就是上升，是凹函數
他證明得知u的函數是小於零 、
看不懂啊。。。