指數追蹤

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　　指數追蹤是指是指通過利用一個的股票組合複製某一現實指數或者虛擬指數的市場表現，來獲取與指數相近的收益，試圖最小化跟蹤誤差。通常來說，一般的指數追蹤技術關註於最小化跟蹤誤差的方差，並考慮組合收益與標的指數收益的相關性，或者是組合調整的交易成本最小化。

　　雖然從理論和目的來看，指數化投資策略非常簡單和易懂，對於指數型基金經理而言最大的困難在於如何完全複製目標指數的收益，另外一個麻煩是如何將不可避免的追蹤誤差最小化。

　　從理論上講，如果採用完全複製的策略應該不會存在追蹤誤差，但是實際中並非如此，例如，當標的指數的構成發生變化時，該指數假設所有股票的在理論組合中權重能夠自動實現。然而，指數基金經理並不能這樣假設，他們需要對股票的權重進行現實調整以達到模擬指數的目的。

　　對於指數型基金經理來說需要在跟蹤誤差和交易成本間尋求平衡，一般來說，兩者是此消彼漲的關係。

　　1、基於優化方法的指數追蹤技術

　　通常的指數追蹤技術一般採用優化方法，最為常見的是TEV(追蹤誤差方差)最小化模型，可以用下麵的數學公式表達：

　　而優化方法在被動投資中的缺點比較顯著：首先，股票指數是組合內股票的一個線性組合，針對股票指數的追蹤誤差最小化的包含了許多噪音，依賴於樣本數據。

　　並且在高波動的市場中極不穩定；其次，由於採用了相關係數來衡量協同波動(co-movement)，產生瞭如下的缺點：首先，只能用平穩(stationary)數據，如股票收益率，由於是股票價格的差分序列損失了一些有用信息；其次，只是一個短期的統計量，缺乏穩定性；第三，依賴於估計模型，相關係數易於受到異常值，非平穩序列或是波動率聚集的影響，因此在長期時間序列中可能會得出錯誤的結論。對金融時間序列中相依性的測度，Embrechts，Lindskog和McNeil(2001)進行了一個全面綜述。

　　基於上述缺陷，金融計量學家和金融實踐者開始轉向協整模型來捕捉長期均衡的相依性，協整是一種異常強大的手段，其最大的貢獻在於將相關性的理念推廣到非平穩數據。Clive Granger(1966)憑藉著在協整理論中的先驅性研究成果，於2003年獲得了諾貝爾經濟學獎。

　　2、基於協整的經典指數追蹤

　　首先，採用協整進行投資組合構建的是Axlander(1999)，在文中第一次用到了股票價格的所有信息，而不是差分序列。基於股票價格同指數之間的協整關係建立投資組合基於如下三點：第一，股票組合和標的指數價格差異是平穩的，因此，追蹤組合與標的指數在長期中是緊密關聯的；第二，根據較長歷史數據計算的組合中的股票權重是相對穩定的；第三，經協整建立的組合，其跟蹤誤差是均值回覆的隨機過程，不存在系統性的誤差。

　　通過協整建立最優的追蹤組合有兩個步驟：第一，篩選股票進入追蹤組合；第二，依照協整繫數建立組合中最優的股票持倉比例。

　　第一個步驟的股票選擇可以利用多種方法，例如，選股模型，技術分析或者基金經理的選股技巧。第一步驟非常關鍵，它將決定後面的協整關係的程度以及追蹤組合的績效。儘管選股很重要，但是在我們的協整指數追蹤方法中並不具有任何優勢，選擇成功的股票並非本方法關註的焦點，我們複製指數的表現或者在保證一定的追蹤誤差條件下，輕微的超越指數表現，而並非要通過選股來戰勝市場，這是本方法的理念。我們這裡可以簡化的選擇在指數中權重較大的股票進入到追蹤組合。

　　第二步驟是建立在前一步驟基礎上，確定進入追蹤組合的持有比例，我們應用協整方法，在組合建立期前的樣本內(in-sample)數據，使用對數指數價格對對數股票價格的最小二乘法(OLS)確定協整方程中的繫數，如數學公式表示為：

　　除了對估計後的回歸繫數進行單位化，還可以直接在回歸中加入繫數等於1的約束。我們還可以加入其他的約束條件，如賣空約束和單隻股票最大投資比例等。

　　3、基於協整的增強型指數追蹤

　　對於上述簡單的指數追蹤，我們稍加擴展，就可以利用協整的追蹤潛力去跟蹤某增強型指數，即在標的指數年收益率基礎上加上年超額收益率α%(α> 0)。

　　該投資策略如下實現：構造一個追蹤組合，包括部分或者全部的標的指數成份股，該組合與標的指數加上預設的α%具有協整關係。如果存在這樣的追蹤組合，那麼它將跟蹤的是一個市場上不存在的“人造指數”(artificial index)的收益和波動，同時，正的超額收益或非正常收益就可以實現。我們下麵將提到對於超額收益率α必須要設定合理，不切實際的設定將導致嚴重的後果。

　　4、基於協整的多頭/空頭統計套利策略

　　如果能夠通過協整方法找到超越市場表現的追蹤組合，通過協整也應該能找到低於市場表現的追蹤組合。那麼通過買入優勢組合，而賣空劣勢組合，我們可以構建一個市場中性的多頭空頭投資策略。

　　市場中性的投資策略在美國2000年後，即大牛市結束後非常流行，我們在第一份報告中，曾經詳細介紹了市場中性策略以及如何基於協整構建成對交易，在這裡我們僅僅是將第一份報告中的單隻股票的成對交易變成基於不同股票籃子的成對交易，即買入具有吸引力的一個股票組合，賣出不具有吸引力的股票組合，而投資組合的構建如下：

　　而該組合策略的理念是市場中性，即市場的總體運行趨勢不影響到投資策略的收益，而該策略的收益由多頭和空頭組合的收益差決定的。指數與成分股之間的協整關係的確存在，但是並不能認為適用於追蹤人造指數的組合，例如我們可能會想要構建一個組合追蹤超越50%的市場表現，很遺憾的是，非常難找到一個合理的協整關係，這將導致追蹤組合中股票權重的不穩定性，交易費用的增加以及收益的波動性。要避免上述缺陷就需要保證分別追蹤兩個人造指數的投資組合通過協整檢驗。

　　需要註意的是，追蹤組合併沒有限定股票的權重為正，而實際上我們在劣勢組合中很可能將持有一些股票的空頭頭寸。在基於協整的統計套利組合中，將單個股票的多頭和空頭相抵消，即凈持倉數量。