相關係數

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相關係數(Correlation coefficient)

　　相關表和相關圖可反映兩個變數之間的相互關係及其相關方向，但無法確切地表明兩個變數之間相關的程度。

　　著名統計學家卡爾·皮爾遜設計了統計指標——相關係數。相關係數是用以反映變數之間相關關係密切程度的統計指標。相關係數是按積差方法計算，同樣以兩變數與各自平均值的離差為基礎，通過兩個離差相乘來反映兩變數之間相關程度；著重研究線性的單相關係數。

　　依據相關現象之間的不同特征，其統計指標的名稱有所不同。如將反映兩變數間線性相關關係的統計指標稱為相關係數（相關係數的平方稱為判定繫數）；將反映兩變數間曲線相關關係的統計指標稱為非線性相關係數、非線性判定繫數；將反映多元線性相關關係的統計指標稱為復相關係數、覆判定繫數等。

　　相關關係是一種非確定性的關係，相關係數是研究變數之間線性相關程度的量。由於研究對象的不同，相關係數有如下幾種定義方式。

　　簡單相關係數：又叫相關係數或線性相關係數，一般用字母P 表示，是用來度量變數間的線性關係的量。

　　復相關係數：又叫多重相關係數。復相關是指因變數與多個自變數之間的相關關係。例如，某種商品的季節性需求量與其價格水平、職工收入水平等現象之間呈現復相關關係。

　　典型相關係數：是先對原來各組變數進行主成分分析，得到新的線性關係的綜合指標，再通過綜合指標之間的線性相關係數來研究原各組變數間相關關係。

　　(1)；

　　(2)定理： | ρ_XY | = 1的充要條件是，存在常數a，b，使得；

　　相關係數ρ_XY取值在-1到1之問，ρ_XY = 0時，

　　稱X,Y不相關； | ρ_XY | = 1時，稱X,Y完全相關，此時，X,Y之間具有線性函數關係； | ρ_XY | < 1時，X的變動引起Y的部分變動，ρ_XY的絕對值越大，X的變動引起Y的變動就越大， | ρ_XY | > 0.8時稱為高度相關，當，即 | ρ_XY | < 0.3時，稱為低度相關，其他為中度相關。

　　(3)推論：若Y=a+bX，則有

　　證明： 令E(X) = μ，D(X) = σ²

　　則E(Y) = bμ + a，D(Y) = b²σ²

　　E(XY) = E(aX + bX²) = aμ + b(σ² + μ²)

　　Cov(X,Y) = E(XY) − E(X)E(Y) = bσ²

　　若b≠0，則

　　若b=0，則ρ_XY = 0。

　　相關係數的公式如下:^[2]

　　　　(1)

　　　　(2)

　　　　(3)

　　　　(4)

　　　　(5)

　　相關係數的值介於–1與+1之間，即–1≤r≤+1。其性質如下：

• 當r>0時，表示兩變數正相關，r<0時，兩變數為負相關。
• 當|r|=1時，表示兩變數為完全線性相關，即為函數關係。
• 當r=0時，表示兩變數間無線性相關關係。
• 當0<|r|<1時，表示兩變數存在一定程度的線性相關。且|r|越接近1，兩變數間線性關係越密切；|r|越接近於0，表示兩變數的線性相關越弱。
• 一般可按三級劃分：|r|<0.4為低度線性相關；0.4≤|r|<0.7為顯著性相關；0.7≤|r|<1為高度線性相關。

　　例:某財務軟體公司在全國有許多代理商，為研究它的財務軟體產品的廣告投入與銷售額的關係，統計人員隨機選擇10家代理商進行觀察，搜集到年廣告投入費和月平均銷售額的數據，並編製成相關表，見表1:

　　表1　　廣告費與月平均銷售額相關表　　單位：萬元

　　參照表1，可計算相關係數如表2：

=0.9942

　　相關係數為0.9942，說明廣告投入費與月平均銷售額之間有高度的線性正相關關係。 　　

　　1.在概率論計算中的應用

　　例1．若將一枚硬幣拋n次，X表示n次試驗中出現正面的次數，Y表示n次試驗中出現反面的次數。計算ρ_XY。

　　解：由於X+Y=n，則Y=-X+n，根據相關係數的性質推論，得ρ_XY = − 1。

　　例2．已知隨機變數X、Y分別服從正態分佈N(1，9)，N(0，16)且X，Y的相關係數

　　設，求證X，Z相互獨立。

　　證明：由已知得E(X)=1，D(X)=9，E(Y)= 0，D(Y) = 16

　　由於正態分佈的隨機變數的線性組合仍然服從正態分佈，知Z是正態變數。

　　根據數學期望的性質有

　　根據方差的性質有得

　　由於 E(XY) = Cov(X,Y) + E(X)E(Y) = − 6，

　　E(X²) = D(X) + [E(X)]² = 10

　　ρ_XZ = 0，X，Z不相關。

　　由於正態隨機變數的相互獨立與互不相關等價，故X,Z相互獨立。

　　因此，一般情況下兩個隨機變數不相關不一定相互獨立。不相關僅指隨機變數之問沒有線性關係，而相互獨立則表明隨機變數之間互不影響，沒有關係。

　　2.在企業物流上的應用

　　【例】一種新產品上市。在上市之前，公司的物流部需把新產品合理分配到全國的10個倉庫，新品上市一個月後，要評估實際分配方案與之前考慮的其他分配方案中，是實際分配方案好還是其中尚未使用的分配方案更好，通過這樣的評估，可以在下一次的新產品上市使用更準確的產品分配方案，以避免由於分配而產生的積壓和斷貨。表1是根據實際數據所列的數表。

　　通過計算，很容易得出這3個分配方案中，B的相關係數是最大的，這樣就評估到B的分配方案比實際分配方案A更好，在下一次的新產品上市分配計劃中，就可以考慮用B這種分配方法來計算實際分配方案。

　　3.在聚類分析中的應用

　　【例】如果有若幹個樣品，每個樣品有n個特征，則相關係數可以表示兩個樣品問的相似程度。藉此，可以對樣品的親疏遠近進行距離聚類。例如9個小麥品種(分別用A₁,A₂,...,A₉表示)的6個性狀資料見表2，作相關係數計算並檢驗。

　　由相關係數計算公式可計算出6個性狀間的相關係數，分析及檢驗結果見表3。由表3可以看出，冬季分櫱與每穗粒數之間呈現負相關(ρ = − 0.8982)，即麥冬季分櫱越多，那麼每穗的小麥粒數越少，其他性狀之間的關係不顯著。

　　需要指出的是，相關係數有一個明顯的缺點，即它接近於1的程度與數據組數n相關，這容易給人一種假象。因為，當n較小時，相關係數的波動較大，對有些樣本相關係數的絕對值易接近於1；當n較大時，相關係數的絕對值容易偏小。特別是當n=2時，相關係數的絕對值總為1。因此在樣本容量n較小時，我們僅憑相關係數較大就判定變數x與y之間有密切的線性關係是不妥當的。

　　例如，就我國深滬兩股市資產負債率與每股收益之間的相關關係做研究。發現1999年資產負債率前40名的上市公司，二者的相關係數為r=–0.6139；資產負債率後20名的上市公司，二者的相關係數r=0.1072；而對於滬、深全部上市公司（基金除外）結果卻是，r滬=–0.5509，r深=–0.4361，根據三級劃分方法，兩變數為顯著性相關。這也說明僅憑r的計算值大小判斷相關程度有一定的缺陷。