指数追踪

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　　指数追踪是指是指通过利用一个的股票组合复制某一现实指数或者虚拟指数的市场表现，来获取与指数相近的收益，试图最小化跟踪误差。通常来说，一般的指数追踪技术关注于最小化跟踪误差的方差，并考虑组合收益与标的指数收益的相关性，或者是组合调整的交易成本最小化。

　　虽然从理论和目的来看，指数化投资策略非常简单和易懂，对于指数型基金经理而言最大的困难在于如何完全复制目标指数的收益，另外一个麻烦是如何将不可避免的追踪误差最小化。

　　从理论上讲，如果采用完全复制的策略应该不会存在追踪误差，但是实际中并非如此，例如，当标的指数的构成发生变化时，该指数假设所有股票的在理论组合中权重能够自动实现。然而，指数基金经理并不能这样假设，他们需要对股票的权重进行现实调整以达到模拟指数的目的。

　　对于指数型基金经理来说需要在跟踪误差和交易成本间寻求平衡，一般来说，两者是此消彼涨的关系。

　　1、基于优化方法的指数追踪技术

　　通常的指数追踪技术一般采用优化方法，最为常见的是TEV(追踪误差方差)最小化模型，可以用下面的数学公式表达：

　　而优化方法在被动投资中的缺点比较显著：首先，股票指数是组合内股票的一个线性组合，针对股票指数的追踪误差最小化的包含了许多噪音，依赖于样本数据。

　　并且在高波动的市场中极不稳定；其次，由于采用了相关系数来衡量协同波动(co-movement)，产生了如下的缺点：首先，只能用平稳(stationary)数据，如股票收益率，由于是股票价格的差分序列损失了一些有用信息；其次，只是一个短期的统计量，缺乏稳定性；第三，依赖于估计模型，相关系数易于受到异常值，非平稳序列或是波动率聚集的影响，因此在长期时间序列中可能会得出错误的结论。对金融时间序列中相依性的测度，Embrechts，Lindskog和McNeil(2001)进行了一个全面综述。

　　基于上述缺陷，金融计量学家和金融实践者开始转向协整模型来捕捉长期均衡的相依性，协整是一种异常强大的手段，其最大的贡献在于将相关性的理念推广到非平稳数据。Clive Granger(1966)凭借着在协整理论中的先驱性研究成果，于2003年获得了诺贝尔经济学奖。

　　2、基于协整的经典指数追踪

　　首先，采用协整进行投资组合构建的是Axlander(1999)，在文中第一次用到了股票价格的所有信息，而不是差分序列。基于股票价格同指数之间的协整关系建立投资组合基于如下三点：第一，股票组合和标的指数价格差异是平稳的，因此，追踪组合与标的指数在长期中是紧密关联的；第二，根据较长历史数据计算的组合中的股票权重是相对稳定的；第三，经协整建立的组合，其跟踪误差是均值回复的随机过程，不存在系统性的误差。

　　通过协整建立最优的追踪组合有两个步骤：第一，筛选股票进入追踪组合；第二，依照协整系数建立组合中最优的股票持仓比例。

　　第一个步骤的股票选择可以利用多种方法，例如，选股模型，技术分析或者基金经理的选股技巧。第一步骤非常关键，它将决定后面的协整关系的程度以及追踪组合的绩效。尽管选股很重要，但是在我们的协整指数追踪方法中并不具有任何优势，选择成功的股票并非本方法关注的焦点，我们复制指数的表现或者在保证一定的追踪误差条件下，轻微的超越指数表现，而并非要通过选股来战胜市场，这是本方法的理念。我们这里可以简化的选择在指数中权重较大的股票进入到追踪组合。

　　第二步骤是建立在前一步骤基础上，确定进入追踪组合的持有比例，我们应用协整方法，在组合建立期前的样本内(in-sample)数据，使用对数指数价格对对数股票价格的最小二乘法(OLS)确定协整方程中的系数，如数学公式表示为：

　　除了对估计后的回归系数进行单位化，还可以直接在回归中加入系数等于1的约束。我们还可以加入其他的约束条件，如卖空约束和单只股票最大投资比例等。

　　3、基于协整的增强型指数追踪

　　对于上述简单的指数追踪，我们稍加扩展，就可以利用协整的追踪潜力去跟踪某增强型指数，即在标的指数年收益率基础上加上年超额收益率α%(α> 0)。

　　该投资策略如下实现：构造一个追踪组合，包括部分或者全部的标的指数成份股，该组合与标的指数加上预设的α%具有协整关系。如果存在这样的追踪组合，那么它将跟踪的是一个市场上不存在的“人造指数”(artificial index)的收益和波动，同时，正的超额收益或非正常收益就可以实现。我们下面将提到对于超额收益率α必须要设定合理，不切实际的设定将导致严重的后果。

　　4、基于协整的多头/空头统计套利策略

　　如果能够通过协整方法找到超越市场表现的追踪组合，通过协整也应该能找到低于市场表现的追踪组合。那么通过买入优势组合，而卖空劣势组合，我们可以构建一个市场中性的多头空头投资策略。

　　市场中性的投资策略在美国2000年后，即大牛市结束后非常流行，我们在第一份报告中，曾经详细介绍了市场中性策略以及如何基于协整构建成对交易，在这里我们仅仅是将第一份报告中的单只股票的成对交易变成基于不同股票篮子的成对交易，即买入具有吸引力的一个股票组合，卖出不具有吸引力的股票组合，而投资组合的构建如下：

　　而该组合策略的理念是市场中性，即市场的总体运行趋势不影响到投资策略的收益，而该策略的收益由多头和空头组合的收益差决定的。指数与成分股之间的协整关系的确存在，但是并不能认为适用于追踪人造指数的组合，例如我们可能会想要构建一个组合追踪超越50%的市场表现，很遗憾的是，非常难找到一个合理的协整关系，这将导致追踪组合中股票权重的不稳定性，交易费用的增加以及收益的波动性。要避免上述缺陷就需要保证分别追踪两个人造指数的投资组合通过协整检验。

　　需要注意的是，追踪组合并没有限定股票的权重为正，而实际上我们在劣势组合中很可能将持有一些股票的空头头寸。在基于协整的统计套利组合中，将单个股票的多头和空头相抵消，即净持仓数量。