滯後變數模型

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　　在經濟運行過程中，廣泛存在時間滯後效應。某些經濟變數不僅受到同期各種因素的影響，而且也受到過去某些時期的各種因素甚至自身的過去值的影響。

　　通常把這種過去時期的，具有滯後作用的變數叫做滯後變數（Lagged Variable），含有滯後變數的模型稱為滯後變數模型。

　　滯後變數模型考慮了時間因素的作用，使靜態分析的問題有可能成為動態分析。含有滯後解釋變數的模型，又稱動態模型（Dynamical Model）。

　　因變數受到自身或另一解釋變數的前幾期值影響的現象稱為滯後效應。

　　表示前幾期值的變數稱為滯後變數。

　　如：消費函數，通常認為，本期的消費除了受本期的收入影響之外，還受前1期，或前2期收入的影響： C_t = β₀ + β₁Y_t + β₂Y_{t − 1} + β₃Y_{t − 2} + β_t Y_{t − 1}，Y_{t − 2}為滯後變數。

產生滯後效應的原因 ：

　　1、心理因素：人們的心理定勢，行為方式滯後於經濟形勢的變化，如中彩票的人不可能很快改變其生活方式。

　　2、技術原因：如當年的產出在某種程度上依賴於過去若幹期內投資形成的固定資產。

　　3、制度原因：如定期存款到期才能提取，造成了它對社會購買力的影響具有滯後性。

　　以滯後變數作為解釋變數，就得到滯後變數模型。它的一般形式為：Y_t = β₀ + β₁Y_{t − 1} + β₂Y_{t − 2} + ... + β_qY_{t − q} + α₀X_t + α₁X_{t − 1} + ... + α_sX_{t − s} + μ_t q，s：滯後時間間隔

自回歸分佈滯後模型（autoregressive distributed lag model, ADL）：既含有Y對自身滯後變數的回歸，還包括著X分佈在不同時期的滯後變數

　　有限自回歸分佈滯後模型：滯後期長度有限；

　　無限自回歸分佈滯後模型：滯後期無限。

1、分佈滯後模型（distributed-lag model）

分佈滯後模型： 模型中沒有滯後被解釋變數，僅有解釋變數X的當期值及其若幹期的滯後值： β₀：短期(short-run)或即期乘數(impact multiplier)，表示本期X變化一單位對Y平均值的影響程度。 β_i (i=1,2…,s)：動態乘數或延遲繫數，表示各滯後期X的變動對Y平均值影響的大小。

稱為長期（long-run）或均衡乘數（total distributed-lag multiplier），表示X變動一個單位，由於滯後效應而形成的對Y平均值總影響的大小。

如果各期的X值保持不變，則X與Y間的長期或均衡關係即為

2、自回歸模型（autoregressive model）

自回歸模型：模型中的解釋變數僅包含X的當期值與被解釋變數Y的一個或多個滯後值

而

Y_t = α₀ + α₁X_t + α₂Y_{t − 1} + μ_t

稱為一階自回歸模型（first-order autoregressive model）。

　　1、多重共線性問題

　　2、自由度問題

　　3、滯後長度難以確定

　　處理方法：對於有限分佈滯後模型，其基本思想是設法有目的地減少需要直接估計的模型參數個數，以緩解多重共線性，保證自由度。

　　對於無線分佈滯後模型，主要是通過適當的模型變換，使其轉化為只需估計有限個參數的自回歸模型。

　　所謂經驗權數法，是根據實際經濟問題的特點及經驗判斷，對滯後變數賦予一定的權數，利用這些權數構成各期滯後變數的線性組合，以形成新的變數，再應用最小二乘法進行估計。

　　根據滯後結構的特點，經常使用的權數類型有：

　　1、遞減型：即各期權值是遞減的，此時假定隨著時間的推移，解釋變數的影響將逐期降低。例如，消費函數模型

　　C_t=α+β₀X_t+β₁X_{t − 1}+β₂X_{t − 2}

　　近期收入對消費的影響較大，而遠期收入的影響將越來越小，則各期權數可取成：,,,則組合成新的解釋變數為：

　　W_t=X_t+X_t+X_t

　　估計模型：

　　　　Y_t=α+βW_t+μ_t

　　得到α、β的估計值，則原模型中個參數的估計值為：

　　=,=,=

　　2、常數型：即各期權數相等，此時認為滯後變數的各期影響是相同的

　　3、倒V型：即權數先遞增後遞減呈倒V型，其適用於近、遠期影響較小，中間影響較大的滯後變數模型

　　經驗權數法的特點是簡單易行，但權數設置的主觀隨意性較大。通常是多選幾組權數分別估計模型，再通過各種檢驗從中選擇出一個較為合適的模型。

　　基本原理：

　　設有限分佈滯後模型為Y_t=α+β₀X_t+β₁X_{t − 1}+...+β_kX_{t − k}

　　阿爾蒙認為其回歸繫數β_i可以用滯後期i的適當次多項式來逼近：

　　β_i=α₀+α₁i+α₁i²+...+α_ri^r(r<k)

　　將這一關係式代入有限分佈滯後模型，並經過適當的變數變換，可以減少模型中變數個數，削弱模型的多重共線性，從而可以估計模型中的參數。

　　柯依克方法是將無限分佈滯後模型轉化為自回歸模型，然後進行估計。

　　對於無線分佈滯後模型： 　　　　Y_t=α+β₀X_t+β₁X_{t − 1}+...+μ_t （1）

　　柯依克假定β_i具有相同的符號，並且按幾何級數遞減：

　　　　β_i=β₀λⁱ,i=0,1,2.... （2）

　　其中λ是一個介於0和1之間的常數，λ值的大小決定了遞減速度的快慢，λ值越小則遞減速度越快，所以將λ稱為分佈滯後衰減率。

　　將公式（1）與公式（2）合併得到一個自回歸模型

　　Y_t=α(1-λ)+β₀X_t+λY_{t − 1}+ν_t

　　其中ν_t=u_t-λu_{t − 1}

　　稱上述變換過程為柯依克變換，變換後得到的自回歸模型為柯依克模型。