滞后变量模型

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　　在经济运行过程中，广泛存在时间滞后效应。某些经济变量不仅受到同期各种因素的影响，而且也受到过去某些时期的各种因素甚至自身的过去值的影响。

　　通常把这种过去时期的，具有滞后作用的变量叫做滞后变量（Lagged Variable），含有滞后变量的模型称为滞后变量模型。

　　滞后变量模型考虑了时间因素的作用，使静态分析的问题有可能成为动态分析。含有滞后解释变量的模型，又称动态模型（Dynamical Model）。

　　因变量受到自身或另一解释变量的前几期值影响的现象称为滞后效应。

　　表示前几期值的变量称为滞后变量。

　　如：消费函数，通常认为，本期的消费除了受本期的收入影响之外，还受前1期，或前2期收入的影响： C_t = β₀ + β₁Y_t + β₂Y_{t − 1} + β₃Y_{t − 2} + β_t Y_{t − 1}，Y_{t − 2}为滞后变量。

产生滞后效应的原因 ：

　　1、心理因素：人们的心理定势，行为方式滞后于经济形势的变化，如中彩票的人不可能很快改变其生活方式。

　　2、技术原因：如当年的产出在某种程度上依赖于过去若干期内投资形成的固定资产。

　　3、制度原因：如定期存款到期才能提取，造成了它对社会购买力的影响具有滞后性。

　　以滞后变量作为解释变量，就得到滞后变量模型。它的一般形式为：Y_t = β₀ + β₁Y_{t − 1} + β₂Y_{t − 2} + ... + β_qY_{t − q} + α₀X_t + α₁X_{t − 1} + ... + α_sX_{t − s} + μ_t q，s：滞后时间间隔

自回归分布滞后模型（autoregressive distributed lag model, ADL）：既含有Y对自身滞后变量的回归，还包括着X分布在不同时期的滞后变量

　　有限自回归分布滞后模型：滞后期长度有限；

　　无限自回归分布滞后模型：滞后期无限。

1、分布滞后模型（distributed-lag model）

分布滞后模型： 模型中没有滞后被解释变量，仅有解释变量X的当期值及其若干期的滞后值： β₀：短期(short-run)或即期乘数(impact multiplier)，表示本期X变化一单位对Y平均值的影响程度。 β_i (i=1,2…,s)：动态乘数或延迟系数，表示各滞后期X的变动对Y平均值影响的大小。

称为长期（long-run）或均衡乘数（total distributed-lag multiplier），表示X变动一个单位，由于滞后效应而形成的对Y平均值总影响的大小。

如果各期的X值保持不变，则X与Y间的长期或均衡关系即为

2、自回归模型（autoregressive model）

自回归模型：模型中的解释变量仅包含X的当期值与被解释变量Y的一个或多个滞后值

而

Y_t = α₀ + α₁X_t + α₂Y_{t − 1} + μ_t

称为一阶自回归模型（first-order autoregressive model）。

　　1、多重共线性问题

　　2、自由度问题

　　3、滞后长度难以确定

　　处理方法：对于有限分布滞后模型，其基本思想是设法有目的地减少需要直接估计的模型参数个数，以缓解多重共线性，保证自由度。

　　对于无线分布滞后模型，主要是通过适当的模型变换，使其转化为只需估计有限个参数的自回归模型。

　　所谓经验权数法，是根据实际经济问题的特点及经验判断，对滞后变量赋予一定的权数，利用这些权数构成各期滞后变量的线性组合，以形成新的变量，再应用最小二乘法进行估计。

　　根据滞后结构的特点，经常使用的权数类型有：

　　1、递减型：即各期权值是递减的，此时假定随着时间的推移，解释变量的影响将逐期降低。例如，消费函数模型

　　C_t=α+β₀X_t+β₁X_{t − 1}+β₂X_{t − 2}

　　近期收入对消费的影响较大，而远期收入的影响将越来越小，则各期权数可取成：,,,则组合成新的解释变量为：

　　W_t=X_t+X_t+X_t

　　估计模型：

　　　　Y_t=α+βW_t+μ_t

　　得到α、β的估计值，则原模型中个参数的估计值为：

　　=,=,=

　　2、常数型：即各期权数相等，此时认为滞后变量的各期影响是相同的

　　3、倒V型：即权数先递增后递减呈倒V型，其适用于近、远期影响较小，中间影响较大的滞后变量模型

　　经验权数法的特点是简单易行，但权数设置的主观随意性较大。通常是多选几组权数分别估计模型，再通过各种检验从中选择出一个较为合适的模型。

　　基本原理：

　　设有限分布滞后模型为Y_t=α+β₀X_t+β₁X_{t − 1}+...+β_kX_{t − k}

　　阿尔蒙认为其回归系数β_i可以用滞后期i的适当次多项式来逼近：

　　β_i=α₀+α₁i+α₁i²+...+α_ri^r(r<k)

　　将这一关系式代入有限分布滞后模型，并经过适当的变量变换，可以减少模型中变量个数，削弱模型的多重共线性，从而可以估计模型中的参数。

　　柯依克方法是将无限分布滞后模型转化为自回归模型，然后进行估计。

　　对于无线分布滞后模型： 　　　　Y_t=α+β₀X_t+β₁X_{t − 1}+...+μ_t （1）

　　柯依克假定β_i具有相同的符号，并且按几何级数递减：

　　　　β_i=β₀λⁱ,i=0,1,2.... （2）

　　其中λ是一个介于0和1之间的常数，λ值的大小决定了递减速度的快慢，λ值越小则递减速度越快，所以将λ称为分布滞后衰减率。

　　将公式（1）与公式（2）合并得到一个自回归模型

　　Y_t=α(1-λ)+β₀X_t+λY_{t − 1}+ν_t

　　其中ν_t=u_t-λu_{t − 1}

　　称上述变换过程为柯依克变换，变换后得到的自回归模型为柯依克模型。