多目標規劃法

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多目標規劃法(multi objective programming approach)

多目標規劃法概述

　　多目標規劃法也是運籌學中的一個重要分支，它是在線性規劃的基礎上，為解決多目標決策問題而發展起來的一種科學管理的數學方法

　　多目標規劃的概念是 1961年由美國數學家查爾斯和庫柏首先提出的。

　　多目標規劃是指標準型為：

　　minZ=CY

　　s.t AX+Y— $Y + = b$

　　X，Y， $Y - Y +$ 1�0

　　的規劃問題。這裡 C、Y、A、X、Y-、 $Y +$ 、b均為矩陣或向量的形式。

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多目標規劃標準型的特點

　　與線性規劃相比，多目標規劃標準型的特點在於：

　　1、偏差列向量 $Y -$ 、 $Y +$ 。 $Y -$ 、 $Y +$ 分別為負、正偏差列向量，各有 m個元素 $Y -$ 、 $y +$ 。… $Y^-_m$ 與 $y^+_1$ $,y^+_2$ ，…， $y^+_m$ （m是約束方程的個數）。負偏差變數的經濟含義為當實際值小於目標值時，實際值與目標值的偏差為負偏差，正偏差變數的經濟含義與之恰恰相反。

　　2、價值繫數行向量c。c的元素最多不超過 2m個，由目標優先權等級 Pi和目標優先權繫數 $η$ 組成，即 $c = (c 1, c 2$ …， $c 2 m$ ）=（ $\eta_1 P_1,\eta_2 P_2,\ldots,\eta_{2m}P_{2m}$ ），在多目標規劃的目標函數中，出現的變數只能是偏差變數。也就是說，列向量 y以正偏差變數和負偏差變數為元素。目標優先權等級 Pi既不是變數，也不是常數，它只是說明不同目標實現的先後順序，這種優先等級的確定一般是由企業決策部門根據企業具體情況及各目標的輕重緩急加以確定的。而目標優先順序繫數，則說明同一優先順序目標相互之間的比例關係。

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多目標規劃法的基本解法

　　多目標規劃的解法主要有單純形法和圖解法。圖解法一般只適用於兩個決策變數的情形。單純形法對於求解多目標規劃有普遍意義。

　　多目標規劃單純形表的結構如表1。

　　表中 $V j$ ———變數，X1，X2，…，Xn是決策變數，其餘 n-n'個是偏差變數；

　　 $C j$ ———價值繫數，因多目標規劃目標函數不包含決策變數，所以 $c_1=c_2=\ldots=cn'=0$ ；

　　 $b i$ ———目標約束常數；

　　 $θ i$ ——— $θ$ 判據；

　　 $B V i$ ———基變數名；

　　 $C B V i$ ———基變數價值繫數；

　　 $a i j$ ———作業繫數；

　　 $Q i j$ ———單純形判據矩陣元素；

　　 $P j$ ———目標優先權排序；

　　 $Z j$ ———第 j個優先順序目標的目標函數值。

　　表1與線性規劃單純形表相比，最大的不同是單純形判據是一個 N×n矩陣，而不是列向量，且有 $Q_{ij}=\sum^m_{i=1}CB_{viaij}-C_j$ 。

　　目標優先權排序 $P 1, P 2$ ，…， $P N$ 給出了單純形迭代過程中實現目標的順序。在實現某一優先順序目標後，應依順序考慮一個優先順序能否實現。但是，不能為實現較低目標而使較高級目標的實現受到影響。

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多目標規劃的主要應用領域

　　多目標規劃的概念是 1961年由美國數學家查爾斯和庫柏首先提出的。至今有些理論問題尚在探討之中，應用範圍還不如線性規劃廣泛。在資源分配、計劃編製、生產調度等方面有一定的’應用。但是，作為一種決策方法，多目標規劃的應用前景還是很樂觀的。企業決策者掌握和運用這種方法將有助於提高管理和決策水平。

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多目標規劃的案例分析

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案例一：紡織廠的多目標規劃

　　某紡織廠生產窗帘布和衣料兩種布料，該廠對這兩種布料的生產能力均是 1000m/h，工廠正常生產能力每周 80h，根據市場預測，下周最大銷售量窗帘布70000m、衣料45000m，窗帘布每米獲利 2.50元，衣料每料獲利 1.50元。該廠定出的經營目標是：

　　 $P 1$ ：保證生產均衡穩定，避免開工不足；

　　 $P 2$ ：每周加班時間不超過10h；

　　 $P 3$ ：努力實現最大銷售量；

　　 $P 4$ ：儘可能減少加班時間。

　　本案例多目標規劃模型的決策變數為； $x 1$ ———周內窗帘布生產的小時數； $x 2$ ———周內衣料生產的小時數。

　　每周正常生產能力約束：

　　 $x_1+x_2+y^1_{-}-y^1_+=80$

　　式中 $y_1^-$ 和 $y_1^+$ 分別表示每周開工低於正常生產能力的負偏差及超出正常生產能力的正偏差。

　　銷售目標約束：

　　 $x 1 + y 2 - = 70000 / 1000 = 70$

　　 $x 2 + y 3 - = 45000 / 1000 = 45$

　　因產量不能超過最大銷售量，所以 $y^+_2=y^+_3=0$

　　加班時間限制目標約束：

　　 $y^+_1+y^-_4-y^+_4=10$

　　式中 $y^+_1$ 取自每周正常生產能力約束的正偏差，即加班小時數， $y^-_4$ 與 $y^+_4$ 分別表示加班時間不足 10h的負偏差和超過10h的正偏差。

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案例二：用多目標規劃法優化企業資本結構^[1]

　　多目標規劃法是運籌學中的數學規劃方法之一。

　　它是在運籌學基本的數學規劃方法——線性規劃法的基礎上，為了剋服線性規劃方法目標函數單一、約束條件苛刻、無法解決矛盾條件下的規劃問題等缺點而發展起來的規劃方法，使用這種模型能夠解決多種目標同時存在的規劃問題。它以求解實際結果與目標或資源限制之間的偏差變數最小作為目標函數構造的出發點，解決企業生產經營中的各種目標的平衡問題，而被較為廣泛地應用。把目標規劃方法引入資本結構的決策之中，力圖使該決策在考慮企業多個影響因素的條件下進行，也使得決策結果更符合客觀實際。

　　1.資本結構的多目標規劃模型

　　多目標規劃法的基本數學模型為：

　　目標函數：

　　 $MIN Z=\sum^\lambda_{k=1}p_k\times \sum^h_{i=1}(w_{ki}d^-_i+w_{ki}d^+_i)$

　　約束條件：

　　 $\sum^n_{j=1}C_{ij}\times X_j+d^-_i-d^+_i=g_i(i=1,2,\cdots,h)$

　　 $\sum^n_{j=1}a_{ij}\times X_j\le b_t(b=h+1,h+2,\cdots,m)$

　　或 $\sum^n_{j=1}a_{ij}\times X_j\ge b_t(b=h+1,h+2,\cdots,m)$

　　 $X_j\ge 0(j=1,2,\cdots,h)$

　　 $d^-_j,d^+_j\ge 0,d^-_i,d^+_i=0(i=1,2,\cdots,h)$

　　式中： $X j$ ——決策變數； $d^-_j$ 、 $d^+_j$ ——正負偏差變數； $C i j$ ——第i項目約束條件中 $X j$ 的繫數； $a i j$ ——第t項資源約束條件中 $X j$ 的繫數；一般為各項資源的單位消耗定額； $g i$ ——第i項目標的既定值； $b t$ ——第t項資源約束條件的限制值； $P k$ ——目標的優先順序別； $w_{ki}d^-_i$ 、 $w_{ki}d^+_i$ ——第k級優先順序目標中 $d^{-}_i$ 、 $d^{+}_i$ 的加權繫數。