拓撲學

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拓撲學（Topology）

　　拓撲學是19世紀發展起來的一個重要的幾何分支。早在歐拉或更早的時代，就已有拓撲學的萌芽。著名的“哥尼斯七橋問題”以及“麥比烏斯丁的《拓撲學初步》。裡斯丁是高斯的學生，1834年以後是哥根大學教授。他本想稱這個學科為”位置幾何學“，但這個名稱陶特用來指射影幾何。於是改用”topology”這個名字。“topology"直譯的意思是地誌學，也就是和研究地形、地貌相類似的有關學科。1956年，統一的《數學名詞》把它確定成拓撲學。

　　拓撲學是近代發展起來的一個數學分支，用來研究各種“空間”在連續性的變化下不變的性質。在20世紀，拓撲學發展成為數學中一個非常重要的領域。

　　拓撲學研究的是幾何形體在連續形變，精確地說，雙方一一而且雙方連續的變換（稱為同胚）之下保持不變的性質。簡言之些，拓撲學是研究數學中連續性現象的學科。最典型拓撲學研究對象便是DNA的雙螺旋結構。

拓撲學的分支學科包括：

　　點集拓撲學（point-set topology）又稱為一般拓撲學（General topology）

　　代數拓撲學（Algebraic topology）

　　微分拓撲學（Differential topology）

　　幾何拓撲學（Geometric topology）

　　1、七橋問題 Seven Bridges Problem

　　18世紀著名古典數學問題之一。在哥尼斯堡的一個公園裡，有七座橋將普雷格爾河中兩個島及島與河岸連接起來(如圖)。問是否可能從這四塊陸地中任一塊出發，恰好通過每座橋一次，再回到起點？歐拉於1736年研究並解決了此問題，他把問題歸結為如左圖的“一筆畫”問題，證明上述走法是不可能的。

　　有關圖論研究的熱點問題。18世紀初普魯士的哥尼斯堡，有一條河穿過，河上有兩個小島，有七座橋把兩個島與河岸聯繫起來。有個人提出一個問題：一個步行者怎樣才能不重覆、不遺漏地一次走完七座橋，最後回到出發點。後來大數學家歐拉把它轉化成一個幾何問題——一筆畫問題。他不僅解決了此問題，且給出了連通圖可以一筆畫的充要條件是：奇點的數目不是0個就是2個（連到一點的數目如是奇數條，就稱為奇點，如果是偶數條就稱為偶點，要想一筆畫成，必須中間點均是偶點，也就是有來路必有另一條去路，奇點只可能在兩端，因此任何圖能一筆畫成，奇點要麼沒有要麼在兩端）

　　2、歐拉定理

　　在拓撲學的發展歷史中，還有一個著名而且重要的關於多面體的定理也和歐拉有關。這個定理內容是：如果一個凸多面體的頂點數是v、棱數是e、面數是f，那麼它們總有這樣的關係：f+v-e=2。

　　根據多面體的歐拉定理，可以得出這樣一個有趣的事實：只存在五種正多面體。它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。

　　3、四色問題

　　著名的“四色問題”也是與拓撲學發展有關的問題，又稱四色猜想。1852年，畢業於倫敦大學的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時發現：每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家都被著上不同的顏色。

　　1872年，英國當時最著名的數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題，於是四色猜想成了世界數學界關註的問題。1976年，美國數學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩台不同的電子電腦上，用了1200個小時，做了100億判斷，終於完成了四色定理的證明。不過不少數學家並不滿足於電腦取得的成就，他們認為應該有一種簡捷明快的書面證明方法。

　　1679年萊布尼茨發表《幾何特性》一文，試圖闡述幾何圖形的基本幾何性質，採用特別的符號來表示它們，並對它們進行運算來產生新的性質。他把他的研究叫做位置分析或位置幾何學，並另外宣稱應建立一門能直接表示位置的真正幾何的學問，這是組合拓撲學的先聲。

　　1736年歐拉解決了著名的柯尼斯堡七橋問題。這原來是一個智力游戲題，問能否在散步中連續地經過柯尼斯堡城內一條河上的七座橋且每座橋只走一次。歐拉解決問題的方式卻具有拓撲意義。他簡化了這一問題的表示法，用點代表陸地，用線段或弧代表橋，將問題改變成：能否一筆畫出這個圖。歐拉證明瞭這一圖形是不能一筆畫出的，並作了推廣，給出任何一組給定的點和線（弧）能否一筆畫出的判別法則，成為組合拓撲學的先聲。1750年歐拉又得到了以他的名字命名的凸多面體定理：面數＋頂角數－棱數＝2，第二年給出一種簡單的歸納證明，1752年發表出來。後人發現笛卡兒約在1635年就已在手稿中表述過這一公式，但他的結果直到1860年才被整理髮表出來。歐拉多面體定理表述了幾何圖形的一個基本組合性質，其目的是利用這一關係將多面體進行分類，這類問題成為19世紀後半葉拓撲學研究的主要問題。長期以來，講述歐拉多面體定理的證明一般採用柯西於1811年給出方法，即去掉一個面的內部，將剩下的圖形鋪在一個平面上，把圖形分割為三角形，然後在一個個地抹掉三角形時計算這個數的改變，得到所需的結論。該證明假設了任一閉的凸多面體同胚於球面，有不足之處。只因其簡單直觀而被廣泛引用。另一個較簡單的證明利用的是球心投影法，據說是法國數學家勒讓德最先給出的。1833年高斯在電動力學中用線積分定義了空間中兩條封閉曲線的環繞數，為拓撲學研究又提供了一個實例。

　　1851年以後黎曼在複變函數的研究中提出了黎曼曲面的幾何概念，並強調要研究函數和積分，這就需要位置分析學的定理。他解決了可定向閉曲面的同胚分類問題，開始了拓撲學的系統研究。1858年德國數學家麥比烏斯和利斯廷各自獨立發現了單側曲面，即將一長紙條的短邊扭轉1800，然後與對邊粘合而成的曲面，後人稱之為麥比烏斯帶。1852年英國數學教授格思里提出地圖著色的四色問題，1878年由數學家凱萊重新提出後引起廣泛註意。1882年C．F．克萊因引進“克萊因瓶”這一曲面，它無邊，無內外，是虧格為1的單側曲面。這些工作促進了拓撲學的深入探討。

　　19世紀末拓撲學的研究分為兩個方向：點集拓撲學和組合拓撲學。點集拓撲學來源於分析學的嚴密化。德國數學家G．康托爾從19世紀70年代系統展開了歐氏空間中點集的研究，得到許多拓撲概念，如聚點、開集、閉集、稠密性、連通性等。在這種思想的影響下，義大利數學家阿斯科利和阿爾澤拉將點集論推廣到函數集合上，把函數看成空間的點，引進泛函數的觀念，並將函數集看成一種幾何對象，討論其中的極限。法國數學家弗雷歇提出抽象空間的第一個定義，建立了緊致性、完備性、可分離性等基本概念。德國數學家豪斯多夫提出一般度量空間和拓撲空間的集合理論，使用了鄰域概念，其著作《集論綱要》（1914）對拓撲學的發展有重要意義。20年代後波蘭數學家謝爾品斯基等人和原蘇聯數學家П．С．亞歷山德羅夫等人對拓撲空間的基本性質進行了系統的研究。20世紀30年代後由法國布爾巴基學派作了補充，使一般拓撲學趨於成熟。

　　組合拓撲學的奠基人是法國數學家龐加萊，他從1894年開始發表一系列拓撲學方面的文章，創立了用剖分研究流形的基本方法，引入許多不變數，探討三維流形的拓撲分類問題，提出著名的“龐加萊猜想”，其思想和方法被後繼者沿用到20世紀30年代。1910－1912年荷蘭數學家布勞威爾提出用單純映射逼近連續映射的方法，證明瞭不同維的歐氏空間不同胚，引進了同維流形之間的映射的度以研究同倫分類，並開創不動點理論，使組合拓撲學達到概念精確、論證嚴密的標準。1922年美國數學家G．D．伯克霍夫和凱洛格共同將不動點定理推廣到無窮維函數空間。1925年德國數學家A．E．諾特提議把組合拓撲學建立在群論的基礎上，在她的影響下，霍普夫於1928年定義了同調群，從此組合拓撲學逐步演變成利用抽象代數的方法研究拓撲問題的代數拓撲學。霍普夫與П．С．亞歷山德羅夫於1935年合著的《拓撲學》一書流傳很廣。1945年美國數學家艾倫伯格與斯廷羅德開始以公理化的方式總結當時的同調論，1952年合著成《代數拓撲基礎》，對代數拓撲學的傳播、應用和進一步發展起了推動作用。1950年前後法國數學家塞爾和勒雷為研究纖維叢的同調論而發展起譜序列這個代數工具，在同倫群的計算上取得突破，為其後拓撲學的發展開闢了道路。20世紀50年代末在代數幾何學和微分拓撲學的影響下產生了K理論，解決了關於流形的一系列拓撲問題，出現了好幾種廣義同調論，成為代數拓撲學研究的新的工具。

　　除一般拓撲學和代數拓撲學蓬勃發展外，20世紀50年代初法國數學家托姆對高維流形的分類理論進行深入研究，1953年創立配邊理論（亦稱之為協邊理論），從而使微分拓撲學獲得長足進展。1956年美國數學家米爾諾發現7維球面上除了通常的微分結構外，還有不同尋常的微分結構，顯示出拓撲流形與微分流形等的巨大差別，從此微分拓撲學被公認為一個獨立的拓撲學分支。

　　此外，拓撲學與其他學科的結合產生了一系列新學科，如大範圍變分法、規範場理論、拓撲度理論等。拓撲學應用於其他學科更是取得大量成果。近幾十年來，拓撲學在經濟學、物理學、化學、生物學等領域也有直接和間接應用，它與各數學領域、各科學領域之間的邊緣性研究方興未艾。

　　拓撲學的主要應用是在分子生物學中。當談到脫氧核糖核酸的三級結構，就必然會談到所謂的「超螺旋結構」。這種超螺旋結構可以解釋為：發生螺旋纏繞的螺旋結構，換句話說，就是一個螺旋結構再一次進行螺旋纏繞。脫氧核糖核酸原本就是雙股螺旋，而這雙股螺旋又會再進一步進行螺旋纏繞，形成所謂的超螺旋結構。

　　拓撲學就是用來研究超螺旋結構的一種工具。拓撲學主要探討的是在連續性變化中（比如因為溫度改變而發生構型改變時，或因為與蛋白質作用而發生交互作用時）的變形現象。拓撲性質不包含非連續性變化時產生的變形作用（雙股螺旋被剪開時的狀況）。對於去氧核糖核酸而言，那些當沒有打斷股鏈時，不受變形現象而改變的性質就叫拓撲性質。拓撲性質的改變只受到打斷股鏈或將股鏈粘合的影響。

　　連續性與離散性這對矛盾在自然現象與社會現象中普遍存在著，數學也可以粗略地分為連續性的與離散性的兩大門類。拓撲學對於連續性數學自然是帶有根本意義的，對於離散性數學也起著巨大的推進作用。例如，拓撲學的基本內容已經成為現代數學工作者的常識。拓撲學的重要性，體現在它與其他數學分支、其他學科的相互作用。拓撲學在泛函分析、實分析、群論、微分幾何、微分方程其他許多數學分支中都有廣泛的應用。

　　1、微分幾何

　　拓撲學與微分幾何學有著血緣關係，它們在不同的層次上研究流形的性質。為了研究黎曼流形上的測地線，H.M.摩爾斯在20世紀20年代建立了非退化臨界點理論（摩爾斯理論），把流形上光滑函數的臨界點的指數與流形本身的貝蒂數聯繫起來，併發展成大範圍變分法。莫爾斯理論後來又用於拓撲學中，證明瞭典型群的同倫群的博特周期性定理，並啟示了處理微分流形的剜補術。微分流形、纖維叢、示性類給E·嘉當的整體微分幾何學提供了合適的理論框架，也從中獲取了強大的動力和豐富的課題。陳省身在40年代引進了“陳示性類”，就不但對微分幾何學影響深遠，對拓撲學也十分重要。纖維叢理論和聯絡論一起為理論物理學中楊－米爾斯規範場理論提供了現成的數學框架，猶如20世紀初黎曼幾何學對於A.愛因斯坦廣義相對論的作用。規範場的研究又促進了四維的微分拓撲學出人意料的進展。

　　2、分析學

　　拓撲學對於分析學的現代發展起了極大的推動作用。隨著科學技術的發展，需要研究各式各樣的非線性現象，分析學更多地求助於拓撲學。要問一個結能否解開（即能否變形成平放的圓圈），30年代J.勒雷和J.P.紹德爾把L.E.J.布勞威爾的不動點定理和映射度理論推廣到巴拿赫空間形成了拓撲度理論。後者以及前述的臨界點理論，都已成為研究非線性偏微分方程的標準的工具。微分拓撲學的進步，促進了分析學向流形上的分析學(又稱大範圍分析學)發展。在托姆的影響下，然後隨意扭曲，微分映射的結構穩定性理論和奇點理論已發展成為重要的分支學科。S.斯梅爾在60年代初開始的微分動力系統的理論。就是流形上的常微分方程論。M.F.阿蒂亞等人60年代初創立了微分流形上的橢圓型運算元理論。著名的阿蒂亞-辛格指標定理把運算元的解析指標與流形的示性類聯繫起來，是分析學與拓撲學結合的範例。現代泛函分析的運算元代數已與K理論、指標理論、葉狀結構密切相關。在多複變函數論方面，來自代數拓撲的層論已經成為基本工具。

　　3、抽象代數

　　拓撲學的需要大大刺激了抽象代數學的發展，並且形成了兩個新的代數學分支：同調代數與代數K理論。代數幾何學從50年代以來已經完全改觀。托姆的配邊理論直接促使代數簇的黎曼－羅赫定理的產生，後者又促使拓撲K理論的產生。現代代數幾何學已完全使用上同調的語言，代數數論與代數群也在此基礎上取得許多重大成果，例如有關不定方程整數解數目估計的韋伊猜想和莫德爾猜想的證明。範疇與函子的觀念，是在概括代數拓撲的方法論時形成的。範疇論已深入數學基礎、代數幾何學等分支，對拓撲學本身也有影響。如拓撲斯的觀念大大拓廣了經典的拓撲空間觀念。

　　4、經濟學

　　在經濟學方面，馮·諾伊曼首先把不動點定理用來證明均衡的存在性。在現代數理經濟學中，對於經濟的數學模型，均衡的存在性、性質、計算等根本問題都離不開代數拓撲學、微分拓撲學、大範圍分析的工具。在系統理論、對策論、規劃論、網路論中拓撲學也都有重要應用。

　　5、其他學科

　　托姆以微分拓撲學中微分映射的奇點理論為基礎創立了突變理論，為從量變到質變的轉化提供各種數學模式。在物理學、化學、生物學、語言學等方面已有不少應用。除了通過各數學分支的間接的影響外，拓撲學的概念和方法對物理學(如液晶結構缺陷的分類)、化學（如分子的拓撲構形）、生物學(如DNA的環繞、拓撲異構酶)都有直接的應用。

　　1736年，有人帶著這個問題找到了當時的大數學家歐拉，歐拉經過一番思考，很快就用一種獨特的方法給出瞭解答。歐拉把這個問題首先簡化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個點，而把七座橋看作這四個點之間的連線。那麼這個問題就簡化成，能不能用一筆就把這個圖形畫出來。經過進一步的分析，歐拉得出結論——不可能每座橋都走一遍，最後回到原來的位置。並且給出了所有能夠一筆畫出來的圖形所應具有的條件。這是拓撲學的“先聲”。