不動點定理

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不動點定理（Fixed point theorem）

　　在數學中，不動點定理是指一個結果表示函數F在某種特定情況下，至少有一個不動點存在，即至少有一個點x能令函數F(x) = x。

　　在數學中有很多定理能保證函數在一定的條件下必定有一個或更多的不動點，而在這些最基本的定性結果當中存在不動點及其定理被應用的結果具有非常普遍的價值。

　　在巴拿赫不動點定理中給出了一般準則：如果滿足該準則，保證迭代函數程式可以產生一個固定點。

　　布勞爾不動點定理的結果說：任何封閉單位球的連續函數在n維歐幾里德空間本身必須有一個不動點，但它並沒有說明如何找到不動點。

　　例如，餘弦函數在[−1, 1]區間連續和畫入[−1, 1]區間，故須一個不動點。描繪餘弦函數圖時這是清楚的；該不動點發生在餘弦曲線 y = cos(x) 與直線 y = x 交點上。在數值上，不動點是x = 0.73908513321516。

　　代數拓撲的萊夫謝茨不動點定理（和尼爾森不動點定理）值得註意，它在某種意義上給出了一種計算不動點的方法。存在對博拉奇空間的概括和一般化，適用於偏微分方程理論。見：無限維空間的不動點定理。

　　分形壓縮的拼貼定理證明，對許多圖像存在一個相對較小函數的描述，當迭代適用於任何起始分形可迅速收斂在理想分形上。

　　克納斯特－塔斯基定理某種程度上從分析移除，而且不涉及連續函數。它指出在完全格上的任何單調函數都有一個不動點，甚至是一個最小不動點。見布爾巴基－維特定理。

　　λ演算的共同主題是找到給出λ表達式的不動點。每個λ表達式都有一個不動點，不動點組合子是一個“函數”，即輸入一個λ表達式並輸出該表達式的一個不動點。一個重要的不動點組合是Y組合子，它使用遞歸定義。

　　在程式語言的指稱語義，一個克納斯特－塔斯基定理的特例用於建立遞歸定義的語義。不動點定理雖然適用於“相同”函數（從邏輯的角度來看），但其理論發展完全不同。

　　遞歸函數的相同定義可用克萊尼遞歸定理在可計算性理論中給出。這些結果並不是等價的定理，克拉斯特爾－塔斯基定理是個比那用於指稱語義的更強的結果。^[1]然而，它卻與丘奇－圖靈論題的直觀含義相同：一個遞歸函數可描述為特定泛函的最小不動點，將函數映射至函數。

　　迭代函數找不動點的技術還可用在集理論；正常函數的定點引理指出任何嚴格遞增的函數從序數有一個（甚至有許多）不動點。

　　在偏序集上的每個閉包運算元都有許多不動點；存在關於閉包運算元的“封閉要素”，它們是閉包運算元首先被定義的主要理由。