不动点定理

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不动点定理(Fixed point theorem)

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什么是不动点定理

  在数学中,不动点定理是指一个结果表示函数F在某种特定情况下,至少有一个不动点存在,即至少有一个点x能令函数F(x) = x

  在数学中有很多定理能保证函数在一定的条件下必定有一个或更多的不动点,而在这些最基本的定性结果当中存在不动点及其定理被应用的结果具有非常普遍的价值

不动点定理的分析领域

  在巴拿赫不动点定理中给出了一般准则:如果满足该准则,保证迭代函数程序可以产生一个固定点。

  布劳尔不动点定理的结果说:任何封闭单位球的连续函数在n维欧几里德空间本身必须有一个不动点,但它并没有说明如何找到不动点。

  例如,余弦函数在[−1, 1]区间连续和画入[−1, 1]区间,故须一个不动点。描绘余弦函数图时这是清楚的;该不动点发生在余弦曲线 y = cos(x) 与直线 y = x 交点上。在数值上,不动点是x = 0.73908513321516

  代数拓扑的莱夫谢茨不动点定理(和尼尔森不动点定理)值得注意,它在某种意义上给出了一种计算不动点的方法。存在对博拉奇空间的概括和一般化,适用于偏微分方程理论。见:无限维空间的不动点定理。

  分形压缩的拼贴定理证明,对许多图像存在一个相对较小函数的描述,当迭代适用于任何起始分形可迅速收敛在理想分形上。

不动点定理在离散数学和理论计算机科学领域的使用

  克纳斯特-塔斯基定理某种程度上从分析移除,而且不涉及连续函数。它指出在完全格上的任何单调函数都有一个不动点,甚至是一个最小不动点。见布尔巴基-维特定理。

  λ演算的共同主题是找到给出λ表达式的不动点。每个λ表达式都有一个不动点,不动点组合子是一个“函数”,即输入一个λ表达式并输出该表达式的一个不动点。一个重要的不动点组合是Y组合子,它使用递归定义。

  在程序语言的指称语义,一个克纳斯特-塔斯基定理的特例用于建立递归定义的语义。不动点定理虽然适用于“相同”函数(从逻辑的角度来看),但其理论发展完全不同。

  递归函数的相同定义可用克莱尼递归定理在可计算性理论中给出。这些结果并不是等价的定理,克拉斯特尔-塔斯基定理是个比那用于指称语义的更强的结果。[1]然而,它却与丘奇-图灵论题的直观含义相同:一个递归函数可描述为特定泛函的最小不动点,将函数映射至函数。

  迭代函数找不动点的技术还可用在集理论;正常函数的定点引理指出任何严格递增的函数从序数有一个(甚至有许多)不动点。

  在偏序集上的每个闭包算子都有许多不动点;存在关于闭包算子的“封闭要素”,它们是闭包算子首先被定义的主要理由。

参考文献

  1. The foundations of program verification, 2nd edition, Jacques Loeckx and Kurt Sieber, John Wiley & Sons, ISBN 0-471-91282-4, Chapter 4; theorem 4.24, page 83, is what is used in denotational semantics, while Knaster–Tarski theorem is given to prove as exercise 4.3–5 on page 90.
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