克萊因瓶

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克萊因瓶(Klein bottle)

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什麼是克萊因瓶

  在數學領域中,克萊因瓶(Klein bottle)是指一種無定向性的平面,比如二維平面,就沒有“內部”和“外部”之分。在拓撲學中,克萊因瓶(Klein Bottle)是一個不可定向的拓撲空間。克萊因瓶最初由德國幾何學大家菲立克斯·克萊因 (Felix Klein) 提出。在1882年,著名數學家菲立克斯·克萊因 (Felix Klein) 發現了後來以他的名字命名的著名“瓶子”。克萊因瓶的結構可表述為:一個瓶子底部有一個洞,現在延長瓶子的頸部,並且扭曲地進入瓶子內部,然後和底部的洞相連接。和我們平時用來喝水的杯子不一樣,這個物體沒有“邊”,它的錶面不會終結。它和球面不同 ,一隻蒼蠅可以從瓶子的內部直接飛到外部而不用穿過錶面,即它沒有內外之分。

克萊因瓶的由來[1]

  “克萊因瓶”這個名字的翻譯其實是有些錯誤的,因為最初用德語命名時候名字中“Kleinsche Fläche”是“克萊因平面”的意思。因為翻譯問題寫成了Flasche,這個詞才是瓶子的意思。不過不要緊,“瓶子”這個詞用起來也非常合適。

  在1882年,著名數學家菲利克斯·克萊因(Felix Klein)發現了後來以他的名字命名的著名“瓶子”。這是一個像球面那樣封閉的(也就是說沒有邊)曲面,但是它卻只有一個面。在圖片上我們看到,克萊因瓶的確就像是一個瓶子。但是它沒有瓶底,它的瓶頸被拉長,然後似乎是穿過了瓶壁,最後瓶頸和瓶底圈連在了一起。如果瓶頸不穿過瓶壁而從另一邊和瓶底圈相連的話,我們就會得到一個輪胎面(即環面)。

克萊因瓶的原理

  克萊因瓶是一個不可定向的二維緊流形,而球面或輪胎面是可定向的二維緊流形。如果觀察克萊因瓶,有一點似乎令人困惑--克萊因瓶的瓶頸和瓶身是相交的,換句話說,瓶頸上的某些點和瓶壁上的某些點占據了三維空間中的同一個位置。

  我們可以把克萊因瓶放在四維空間中理解:克萊因瓶是一個在四維空間中才可能真正表現出來的曲面。如果我們一定要把它表現在我們生活的三維空間中,我們只好將就點,把它表現得似乎是自己和自己相交一樣。克萊因瓶的瓶頸是穿過了第四維空間再和瓶底圈連起來的,並不穿過瓶壁。用扭結來打比方,如果把它看作平面上的曲線的話,那麼它似乎自身相交,再一看似乎又斷成了三截。但其實很容易明白,這個圖形其實是三維空間中的曲線。它並不和自己相交,而是連續不斷的一條曲線。在平面上一條曲線自然做不到這樣,但是如果有第三維的話,它就可以穿過第三維來避開和自己相交。只是因為我們要把它畫在二維平面上時,只好將就一點,把它畫成相交或者斷裂了的樣子。克萊因瓶也一樣,我們可以把它理解成處於四維空間中的曲面。在我們這個三維空間中,即使是最高明的能工巧匠,也不得不把它做成自身相交的模樣;就好像最高明的畫家,在紙上畫扭結的時候也不得不把它們畫成自身相交的模樣。有趣的是,如果把克萊因瓶沿著它的對稱線切下去,竟會得到兩個莫比烏斯環。

  如果莫比烏斯帶能夠完美的展現一個“二維空間中一維可無限擴展之空間模型”的話,克萊因瓶只能作為展現一個“三維空間中二維可無限擴展之空間模型”的參考。因為在製作莫比烏斯帶的過程中,我們要對紙帶進行180°翻轉再首尾相連,這就是一個三維空間下的操作。理想的“三維空間中二維可無限擴展之空間模型”應該是在二維面中,朝任意方向前進都可以回到原點的模型,而克萊因瓶雖然在二維面上可以向任意方向無限前進。但是只有在兩個特定的方向上才會回到原點,並且只有在其中一個方向上,回到原點之前會經過一個“逆向原點”,真正理想的“三維空間中二維可無限擴展之空間模型”也應該是在二維面上朝任何方向前進,都會先經過一次“逆向原點”,再回到原點。而製作這個模型,則需要在四維空間上對三維模型進行扭曲。數學中有一個重要分支叫“拓撲學”,主要是研究幾何圖形連續改變形狀時的一些特征和規律的,克萊因瓶和莫比烏斯帶變成了拓撲學中最有趣的問題之一。莫比烏斯帶的概念被廣泛地應用到了建築,藝術,工業生產中。

  克萊因瓶定義為正方形區域 [0,1]×[0,1] 模掉等價關係(0,y)~(1,y), 0≤y≤1 和 (x,0)~(1-x,1), 0≤x≤1。類似於 Mobius Band, 克萊因瓶不可定向。但 Mobius 帶可嵌入\mathbb{R}^3,而克萊因瓶只能嵌入四維(或更高維)空間。

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參考文獻

  1. 劉振宇. 自然法理論歷史的克萊因瓶模型[J]. 自然辯證法研究,2017,33(06):93-98. [2017-10-06]. DOI:10.19484/j.cnki.1000-8934.2017.06.017
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