克萊因瓶

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克萊因瓶（Klein bottle）

　　在數學領域中，克萊因瓶（Klein bottle）是指一種無定向性的平面，比如二維平面，就沒有“內部”和“外部”之分。在拓撲學中，克萊因瓶（Klein Bottle）是一個不可定向的拓撲空間。克萊因瓶最初由德國幾何學大家菲立克斯·克萊因 (Felix Klein) 提出。在1882年，著名數學家菲立克斯·克萊因 (Felix Klein) 發現了後來以他的名字命名的著名“瓶子”。克萊因瓶的結構可表述為：一個瓶子底部有一個洞，現在延長瓶子的頸部，並且扭曲地進入瓶子內部，然後和底部的洞相連接。和我們平時用來喝水的杯子不一樣，這個物體沒有“邊”，它的錶面不會終結。它和球面不同 ，一隻蒼蠅可以從瓶子的內部直接飛到外部而不用穿過錶面，即它沒有內外之分。

　　“克萊因瓶”這個名字的翻譯其實是有些錯誤的，因為最初用德語命名時候名字中“Kleinsche Fläche”是“克萊因平面”的意思。因為翻譯問題寫成了Flasche，這個詞才是瓶子的意思。不過不要緊，“瓶子”這個詞用起來也非常合適。

　　在1882年，著名數學家菲利克斯·克萊因（Felix Klein）發現了後來以他的名字命名的著名“瓶子”。這是一個像球面那樣封閉的（也就是說沒有邊）曲面，但是它卻只有一個面。在圖片上我們看到，克萊因瓶的確就像是一個瓶子。但是它沒有瓶底，它的瓶頸被拉長，然後似乎是穿過了瓶壁，最後瓶頸和瓶底圈連在了一起。如果瓶頸不穿過瓶壁而從另一邊和瓶底圈相連的話，我們就會得到一個輪胎面（即環面）。

　　克萊因瓶是一個不可定向的二維緊流形，而球面或輪胎面是可定向的二維緊流形。如果觀察克萊因瓶，有一點似乎令人困惑－－克萊因瓶的瓶頸和瓶身是相交的，換句話說，瓶頸上的某些點和瓶壁上的某些點占據了三維空間中的同一個位置。

　　我們可以把克萊因瓶放在四維空間中理解：克萊因瓶是一個在四維空間中才可能真正表現出來的曲面。如果我們一定要把它表現在我們生活的三維空間中，我們只好將就點，把它表現得似乎是自己和自己相交一樣。克萊因瓶的瓶頸是穿過了第四維空間再和瓶底圈連起來的，並不穿過瓶壁。用扭結來打比方，如果把它看作平面上的曲線的話，那麼它似乎自身相交，再一看似乎又斷成了三截。但其實很容易明白，這個圖形其實是三維空間中的曲線。它並不和自己相交，而是連續不斷的一條曲線。在平面上一條曲線自然做不到這樣，但是如果有第三維的話，它就可以穿過第三維來避開和自己相交。只是因為我們要把它畫在二維平面上時，只好將就一點，把它畫成相交或者斷裂了的樣子。克萊因瓶也一樣，我們可以把它理解成處於四維空間中的曲面。在我們這個三維空間中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交的模樣；就好像最高明的畫家，在紙上畫扭結的時候也不得不把它們畫成自身相交的模樣。有趣的是，如果把克萊因瓶沿著它的對稱線切下去，竟會得到兩個莫比烏斯環。

　　如果莫比烏斯帶能夠完美的展現一個“二維空間中一維可無限擴展之空間模型”的話，克萊因瓶只能作為展現一個“三維空間中二維可無限擴展之空間模型”的參考。因為在製作莫比烏斯帶的過程中，我們要對紙帶進行180°翻轉再首尾相連，這就是一個三維空間下的操作。理想的“三維空間中二維可無限擴展之空間模型”應該是在二維面中，朝任意方向前進都可以回到原點的模型，而克萊因瓶雖然在二維面上可以向任意方向無限前進。但是只有在兩個特定的方向上才會回到原點，並且只有在其中一個方向上，回到原點之前會經過一個“逆向原點”，真正理想的“三維空間中二維可無限擴展之空間模型”也應該是在二維面上朝任何方向前進，都會先經過一次“逆向原點”，再回到原點。而製作這個模型，則需要在四維空間上對三維模型進行扭曲。數學中有一個重要分支叫“拓撲學”，主要是研究幾何圖形連續改變形狀時的一些特征和規律的，克萊因瓶和莫比烏斯帶變成了拓撲學中最有趣的問題之一。莫比烏斯帶的概念被廣泛地應用到了建築，藝術，工業生產中。

　　克萊因瓶定義為正方形區域 [0,1]×[0,1] 模掉等價關係(0,y)~(1,y), 0≤y≤1 和 (x,0)~(1-x,1), 0≤x≤1。類似於 Mobius Band, 克萊因瓶不可定向。但 Mobius 帶可嵌入，而克萊因瓶只能嵌入四維（或更高維）空間。

• 莫比烏斯帶
• 彭羅斯樓梯