彭羅斯樓梯

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彭羅斯階梯(Penrose stairs)

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什麼是彭羅斯樓梯

  彭羅斯階梯是一個有名的幾何學悖論,指的是一個始終向上或向下但卻無限迴圈的階梯,可以被視為彭羅斯三角形的一個變體,在此階梯上永遠無法找到最高的一點或者最低的一點。彭羅斯階梯由英國數學家羅傑·彭羅斯及其父親遺傳學家列昂尼德·彭羅斯於1958年提出。

  彭羅斯階梯不可能在三維空間記憶體在,但只要放入更高階的空間,彭羅斯階梯就可以很容易的實現。如同莫比烏斯環克萊因瓶

彭羅斯階梯的來源[1]

  羅傑·彭羅斯(Roger Penrose)是英國當代很有影響力的數學家和物理學家,曾因一場與霍金的精彩爭辯而被媒體強烈曝光,並以《皇帝的新腦》一書躋身科普大師之列,其聰明有趣程度一點也不亞於對手霍金。他父親萊納昂·彭羅斯(Lionel Penrose)也是相當有名氣的科學家,以在唐氏綜合症等遺傳病方面的研究貢獻而著稱。羅傑有一次回答美國《發現》雜誌的採訪時回憶起童年時父親對自己的言傳身教,他常會給自己的孩子和孫子出謎題和做玩具,啟發他們的動手能力,還修建了一間小木工棚,在裡面鋸木頭做木工。有一次,父親做了12塊不同的木楔,然後給出了組合規則,讓羅傑和兄弟們用各種複雜的方式把這些形狀各異的木楔組合起來。這種訓練很大程度上啟發了他成年以後對空間幾何的思考。

  “彭羅斯樓梯”其實是父子倆一次雙劍合璧的創造成果。1958年左右,羅傑在劍橋讀研究生,期間去阿姆斯特丹參加國際數學家大會,從一個演講者那裡看到了荷蘭畫家埃舍爾(M.C.Escher)的畫,被那些不可能出現於現實的詭異畫面所深深吸引,後來特地去看了埃舍爾的展覽。回到英國之後,他自己也嘗試著畫出了一些奇怪荒誕的幾何結構,與此同時老彭羅斯也被打動,和兒子一起創造了一批不可能存在的建築物與其他圖形,他們聯手將這些圖形發表在一本心理學刊物上,並鳴謝埃舍爾。有意思的是,埃舍爾後來也根據彭羅斯父子的東西作出了版畫《瀑布》。至於出自老彭之手的那座不可能的樓梯,則被用到了《上與下》,在那幅畫里僧侶們繞著樓梯一圈一圈地轉,也是《盜夢空間》中兩個場景的靈感來源。羅傑與這位畫家有過一面之緣,在短暫的相見中他教埃舍爾如何拼一個以簡單圖案組裝的拼塊,啟發了後者生平最後一件作品《幽靈》,也是一段佳話。

  早在這次“蜚聲”電影界之前,彭羅斯已經是建築界響噹噹的名字,因為他發明的兩種瓷磚改變了裝潢藝術,被稱為風箏和飛鏢,如下圖所示,風箏和飛鏢必須角與角連接在一起,它們能以無規律性可言的方式在平面上反覆拼接,各個片區的圖案也許毫不相同,產生出不可思議的變幻,這是讓人最為驚異的一點。“彭羅斯瓷磚”最初的價值更多體現於實用美學,但後來人們終於發覺,這種鑲嵌的三維形式正是物質的新形態基元,現代晶體學所熱衷於探討的“準晶體”便需要助於“彭羅斯點陣”的思想方法來構造。

彭羅斯樓梯的原理

  彭羅斯階梯實際上就是一個非常有名的幾何學悖論,它所代表的意思是始終向上又或者是向下,但是卻出現無限迴圈的階梯,這個也可以看作是彭羅斯三角形的一個變體。我們可以發現在這個階梯上是絕對找不到最高的一點,又或者是最低的一點。這個彭羅斯階梯的發現人物是英國數學家羅傑·彭羅斯,還有他的父親遺傳學家列昂尼德·彭羅斯在1958年提出的。

  彭羅斯臺階可以說是著名數學悖論,他的神奇之處就在於人一直在往臺階上走,沿著一個方向但是永遠走不出去。更加神奇的就是這個人所處的平面是一個水平面。對於這個看似不可能的事情,卻出現在了我們的面前。那麼它的原理到底是什麼呢?

  實際上這個就是從基點再回到基點的一個過程,說白了就是一個上下過程。開始的時候你感覺是向上的行走,因為每階樓梯的高度差一般都是大於底座坡度所引起的高度增長。當人到達中間的時候,你再上樓梯的時候,實際上就是每階樓梯的高度差小於底座坡度所引起的高度增長。因此原本你覺得是在上樓,但是其實你的高度在逐漸的下降。

  彭羅斯階梯不可能在三維空間記憶體在,但只要放入更高階的空間彭羅斯階梯就可以很容易的實現。

參考文獻

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