悖論

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　　悖論是錶面上同一命題或推理中隱含著兩個對立的結論，而這兩個結論都能自圓其說。悖論的抽象公式就是：如果事件A發生，則推導出非A，非A發生則推導出A。悖論是命題或推理中隱含的思維的不同層次、意義（內容）和表達方式（形式）、主觀和客觀、主體和客體、事實和價值的混淆，是思維內容與思維形式、思維主體與思維客體、思維層次與思維對象的不對稱，是思維結構、邏輯結構的不對稱。悖論根源於知性認識、知性邏輯（傳統邏輯）、矛盾邏輯的局限性。產生悖論的根本原因是把傳統邏輯形式化、把傳統邏輯普適性絕對化。

　　悖論根源於知性認識、知性邏輯（傳統邏輯）、矛盾邏輯的局限性。產生悖論的根本原因是把傳統邏輯形式化、把傳統邏輯普適性絕對化。

　　同時假定兩個或更多不能同時成立的前提，是一切悖論問題的共同特征。

　　一般地說，由於悖論是一種形式矛盾，即是某些特殊的思想規定的產物，它們就不可能是事物辯證性質的直接反映；進而，我們也就不能把它們說成是“特殊的客觀真理”，而只能說它們是“歪曲了的真理”。

　　因此，悖論實質上是客觀實在的辯證性與主觀思維的形而上學性及形式邏輯化的方法的矛盾的集中表現。具體地說，作為客觀世界的一個部分或側面，認識或理論(數學理論、語義學理論)的研究對象在本質上往往是辯證的，也就是諸對立環節的統一體；然而，由於主觀思維方法上的形而上學或形式邏輯化的方法的限制，客觀對象的這種辯證性在認識過程中常常遭到了歪曲：對立統一的環節被絕對地割裂開來，並被片面地誇大，以致達到了絕對、僵化的程度，從而辯證的統一就變成了絕對的對立；而如果再把它們機械地重新聯結起來，對立環節的直接衝突就是不可避免的了，而這就是悖論。

　　悖論有三種主要形式。

　　1．一種論斷看起來好像肯定錯了，但實際上卻是對的（佯謬）。

　　2．一種論斷看起來好像肯定是對的，但實際上卻錯了（似是而非的理論）。

　　3．一系列推理看起來好像無法打破，可是卻導致邏輯上自相矛盾。

　　悖論主要有邏輯悖論、概率悖論、幾何悖論、統計悖論和時間悖論等。

　　羅素的悖論以其簡單明確震動了整個數學界，造成第三次數學危機。但是，羅素悖論並不是頭一個悖論。老的不說，在羅素之前不久，康托爾和布拉里·福蒂已經發現集合論中的矛盾。羅素悖論發表之後，更出現了一連串的邏輯悖論。這些悖論使人聯想到古代的說謊者悖論。即“我正在說謊”，“這句話是謊話”等。這些悖論合在一起，造成極大問題，促使大家都去關心如何解決這些悖論。

　　頭一個發表的悖論是布拉里·福蒂悖論，這個悖論是說，序數按照它們的自然順序形成一個良序集。這個良序集合根據定義也有一個序數Ω，這個序數Ω由定義應該屬於這個良序集。可是由序數的定義，序數序列中任何一段的序數要大於這段之內的任何序數，因此Ω應該比任何序數都大，從而又不屬於Ω。這是布拉里·福蒂1897年3月28日在巴洛摩數學會上宣讀的一篇文章里提出的。這是頭一個發表的近代悖論，它引起了數學界的興趣，並導致了以後許多年的熱烈討論。有幾十篇文章討論悖論問題，極大地推動了對集合論基礎的重新審查。

　　布拉里·福蒂本人認為這個矛盾證明瞭這個序數的自然順序只是一個偏序，這與康托爾在幾個月以前證明的結果序數集合是全序相矛盾，後來布拉里·福蒂在這方面並沒有做工作。

　　羅素在他的《數學的原理》中認為，序數集雖然是全序，但並非良序，不過這種說法靠不住，因為任何給定序數的初始一段都是良序的。法國邏輯學家茹爾丹找到—條出路，他區分了相容集和不相容集。這種區分實際上康托爾已經私下用了許多年了。不久之後，羅素在1905年一篇文章中對於序數集的存在性提出了疑問，策梅羅也有同樣的想法，後來的許多人在這個領域都持有同樣的想法。

　　只要運用對稱邏輯，沒有一個悖論無解。悖論是錶面上同一命題或推理中隱含著兩個對立的結論，而這兩個結論都能自圓其說。悖論的抽象公式就是：如果事件A發生，則推導出非A，非A發生則推導出A。悖論是命題或推理中隱含的思維的不同層次、意義（內容）和表達方式（形式）、主觀和客觀、主體和客體、事實和價值的混淆，是思維內容與思維形式、思維主體與思維客體、思維層次與思維對象的不對稱，是思維結構、邏輯結構的不對稱。悖論根源於知性認識、知性邏輯（傳統邏輯）、矛盾邏輯的局限性。產生悖論的根本原因是把傳統邏輯形式化、把傳統邏輯普適性絕對化。

　　用對稱邏輯思維層次法解“說謊者悖論”這個悖論即“我在說謊”這句話中所蘊含的悖論。這個悖論錶面上由“我在說謊”和“我說實話”這兩個對立的“命題”組成，實際上這兩個“命題”並不等價——前一個命題包含思維內容，後一個“命題”只是前一個命題的語言表達式，因此後一個“命題”不是嚴格意義上的命題。長期以來人們之所以把其看成悖論，是由於把兩個“命題”看成等價，即都是思維內容和語言表達式統一的命題。只要把思維的兩大層次：命題的思維內容和命題的語言表達式區別開來，“我在說謊”這個悖論即可化解。