羅素悖論

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羅素悖論（Russell's paradox）

　　羅素悖論：設性質P(x)表示“”，現假設由性質P確定了一個類A——也就是說“”。那麼現在的問題是：是否成立？首先，若，則A是A的元素，那麼A具有性質P，由性質P知；其次，若，也就是說A具有性質P，而A是由所有具有性質P的類組成的，所以。

　　羅素悖論還有一些更為通俗的描述，如理髮師悖論、書目悖論。

　　羅素悖論在類的理論中通過內涵公理而得到解決。

　　世界文學名著《唐·吉訶德》中有這樣一個故事：

　　唐·吉訶德的僕人桑喬·潘薩跑到一個小島上，成了這個島的國王。他頒佈了一條奇怪的法律：每一個到達這個島的人都必須回答一個問題：“你到這裡來做什麼？”如果回答對了，就允許他在島上游玩，而如果答錯了，就要把他絞死。對於每一個到島上來的人，或者是盡興地玩，或者是被吊上絞架。有多少人敢冒死到這島上去玩呢？一天，有一個膽大包天的人來了，他照例被問了這個問題，而這個人的回答是：“我到這裡來是要被絞死的。”請問桑喬·潘薩是讓他在島上玩，還是把他絞死呢？如果應該讓他在島上游玩，那就與他說“要被絞死”的話不相符合，這就是說，他說“要被絞死”是錯話。既然他說錯了，就應該被處絞刑。但如果桑喬·潘薩要把他絞死呢？這時他說的“要被絞死”就與事實相符，從而就是對的，既然他答對了，就不該被絞死，而應該讓他在島上玩。小島的國王發現，他的法律無法執行，因為不管怎麼執行，都使法律受到破壞。他思索再三，最後讓衛兵把他放了，並且宣佈這條法律作廢。這又是一條悖論。

　　由著名數學家伯特蘭·羅素（Russel，1872—1970）提出的悖論與之相似：

　　在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理髮技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理髮師從鏡子里看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬於“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。

　　理髮師悖論與羅素悖論是等價的：

　　因為，如果把每個人看成一個集合，這個集合的元素被定義成這個人刮臉的對象。那麼，理髮師宣稱，他的元素，都是城裡不屬於自身的那些集合，並且城裡所有不屬於自身的集合都屬於他。那麼他是否屬於他自己？這樣就由理髮師悖論得到了羅素悖論。反過來的變換也是成立的。

　　 　　十九世紀下半葉，康托爾創立了著名的集合論，在集合論剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創性成果就為廣大數學家所接受了，並且獲得廣泛而高度的贊譽。數學家們發現，從自然數與康托爾集合論出發可建立起整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石。“一切數學成果可建立在集合論基礎上”這一發現使數學家們為之陶醉。1900年，國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：“………藉助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了……”

　　可是，好景不長。1903年，一個震驚數學界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。羅素的這條悖論使集合理論產生了危機。它非常淺顯易懂，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所以，羅素悖論一提出就在當時的數學界與邏輯學界內引起了極大震動。德國的著名邏輯學家弗里茲在他的關於集合的基礎理論完稿付印時，收到了羅素關於這一悖論的信。他立刻發現，自己忙了很久得出的一系列結果卻被這條悖論攪得一團糟。他只能在自己著作的末尾寫道：“一個科學家所碰到的最倒霉的事，莫過於是在他的工作即將完成時卻發現所乾的工作的基礎崩潰了。”

　　1874年，德國數學家康托爾創立了集合論，很快滲透到大部分數學分支，成為它們的基礎。到 19世紀末，全部數學幾乎都建立在集合論的基礎之上了。就在這時，集合論中接連出現了一些自相矛盾的結果，特別是1902年羅素提出的理髮師故事反映的悖論，它極為簡單、明確、通俗。於是，數學的基礎被動搖了，這就是所謂的第三次“數學危機”。

　　羅素的悖論發表之後，接著又發現一系列悖論（後來歸入所謂語義悖論）：

• 1、理查德悖論

• 2、培里悖論

• 3．格瑞林和納爾遜悖論。

　　羅素悖論提出，危機產生後，數學家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。“這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價值的內容得以保存下來。”解決這一悖論在本質上存在兩種選擇，the Zermelo-Fraenkel alternative 和 the von Neumann-Bernays alternative。

　　1908年，策梅羅（Ernst Zermelo)在自己這一原則基礎上提出第一個公理化集合論體系，後來這一公理化集合系統很大程度上彌補了康托爾朴素集合論的缺陷。這一公理系統在通過 Abraham Fraenkel的該進後被稱為Zermelo-Fraenkel(ZF) axioms。在該公理系統中，由於限制公理（The Axion Schema of Comprehension或Subset Axioms)：P(x)是x的一個性質，對任意已知集合A，存在一個集合B使得對所有元素x∈B當且僅當x∈A且P(x)；因此{x∣x是一個集合}並不能在該系統中寫成一個集合，由於它並不是任何已知集合的子集；並且通過該公理，存在集合A={x∣x是一個集合}在ZF系統中能被證明是矛盾的。因此羅素悖論在該系統中被避免了。

　　除ZF系統外，集合論的公理系統還有多種，如諾伊曼（von Neumann)等人提出的NBG系統等。在the von Neumann-Bernays alternative中，所有包含集合的collection都能被稱為類(class)，因此某些集合也能被稱為class，但是某些 collection太大了（比如一個collection包含所有集合）以至於不能是一個集合，因此僅僅是個class。這同樣也避免了羅素悖論。

　　公理化集合系統的建立，成功排除了集合論中出現的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數學危機。但在另一方面，羅素悖論對數學而言有著更為深刻的影響。它使得數學基礎問題第一次以最迫切的需要的姿態擺到數學家面前，導致了數學家對數學基礎的研究。而這方面的進一步發展又極其深刻地影響了整個數學。如圍繞著數學基礎之爭，形成了現代數學史上著名的三大數學流派，而各派的工作又都促進了數學的大發展等等。

　　以上簡單介紹了數學史上由於悖論而導致的三次數學危機與度過，從中我們不難看到悖論在推動數學發展中的巨大作用。有人說：“提出問題就是解決問題的一半”，而悖論提出的正是讓數學家無法迴避的問題。它對數學家說：“解決我，不然我將吞掉你的體系！”正如希爾伯特在《論無限》一文中所指出的那樣：“必須承認，在這些悖論面前，我們目前所處的情況是不能長期忍受下去的。人們試想：在數學這個號稱可靠性和真理性的模範里，每一個人所學的、教的和應用的那些概念結構和推理方法竟會導致不合理的結果。如果甚至於數學思考也失靈的話，那麼應該到哪裡去尋找可靠性和真理性呢？”悖論的出現逼迫數學家投入最大的熱情去解決它。而在解決悖論的過程中，各種理論應運而生了：第一次數學危機促成了公理幾何與邏輯的誕生；第二次數學危機促成了分析基礎理論的完善與集合論的創立；第三次數學危機促成了數理邏輯的發展與一批現代數學的產生。數學由此獲得了蓬勃發展，這或許就是數學悖論重要意義之所在吧，而羅素悖論在其中起到了重要的作用。

　　理性不能回答關於其自身的問題，這個問題在康德時期就發現了。邏輯存在無法彌補的漏洞，卻是人瞭解世界的唯一途徑。到頭來你會發現，不是否定理性就是否定信仰。因為所謂唯心唯物之爭都是建立在這樣不完備的邏輯體繫上的純粹理性科學。既然理性無法對其自身做出判斷，那麼選擇立場就不能以理性為依據，從而變成一種實質上的迷信。當然如果你堅持要說自己的立場是合乎所謂的科學或實踐的，那麼其實你既不屬於唯物也不屬於唯心，本質上只是一種泛經驗主義或者泛邏輯主義罷了。當然，這裡的邏輯主義當然不是羅素的那個，只是一個形象點的稱呼而已。

　　異己詞悖論和羅素悖論還有其它的不同嗎？

　　思考這個問題的動機原是這樣：是否所有能導致兩難推理的悖論（包括一些所謂的語義學悖論）都有相同結構？如果不是，能不能把它們按照邏輯結構來分類？從而能夠更加清晰地看清每一類悖論產生的根源。比如羅素悖論，用符號表示出來，就可看出，它用了這樣一個定義模式：x是S的，如果x不是x的。(稍微嚴格一點寫成這樣：xRS,如果非xRx.R為一個二元謂詞。)而在定義S時，S本身又可以用它自己的定義來判定，即可以把定義中的x換成S，導致這樣一個語句：S是S的，如果S不是S 的。註意在定義中的兩個語句互為充要條件，所以原來的定義中就蘊含了一個“P等價於非P”的結論，從而導致兩難推理。這種定義模式本身是邏輯中的漏洞，康托的朴素集合論正因為沒有防範的機制而陷入了這個邏輯漏洞，才導致了集合論形式的羅素悖論。

　　羅素悖論已被消除，包含自己的集合是不可能存在的！