拓扑学

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拓扑学（Topology）

　　拓扑学是19世纪发展起来的一个重要的几何分支。早在欧拉或更早的时代，就已有拓扑学的萌芽。著名的“哥尼斯七桥问题”以及“麦比乌斯丁的《拓扑学初步》。里斯丁是高斯的学生，1834年以后是哥根大学教授。他本想称这个学科为”位置几何学“，但这个名称陶特用来指射影几何。于是改用”topology”这个名字。“topology"直译的意思是地志学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。1956年，统一的《数学名词》把它确定成拓扑学。

　　拓扑学是近代发展起来的一个数学分支，用来研究各种“空间”在连续性的变化下不变的性质。在20世纪，拓扑学发展成为数学中一个非常重要的领域。

　　拓扑学研究的是几何形体在连续形变，精确地说，双方一一而且双方连续的变换（称为同胚）之下保持不变的性质。简言之些，拓扑学是研究数学中连续性现象的学科。最典型拓扑学研究对象便是DNA的双螺旋结构。

拓扑学的分支学科包括：

　　点集拓扑学（point-set topology）又称为一般拓扑学（General topology）

　　代数拓扑学（Algebraic topology）

　　微分拓扑学（Differential topology）

　　几何拓扑学（Geometric topology）

　　1、七桥问题 Seven Bridges Problem

　　18世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如左图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。

　　有关图论研究的热点问题。18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来。有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点。后来大数学家欧拉把它转化成一个几何问题——一笔画问题。他不仅解决了此问题，且给出了连通图可以一笔画的充要条件是：奇点的数目不是0个就是2个（连到一点的数目如是奇数条，就称为奇点，如果是偶数条就称为偶点，要想一笔画成，必须中间点均是偶点，也就是有来路必有另一条去路，奇点只可能在两端，因此任何图能一笔画成，奇点要么没有要么在两端）

　　2、欧拉定理

　　在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。

　　根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。

　　3、四色问题

　　著名的“四色问题”也是与拓扑学发展有关的问题，又称四色猜想。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时发现：每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。

　　1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，做了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。

　　1679年莱布尼茨发表《几何特性》一文，试图阐述几何图形的基本几何性质，采用特别的符号来表示它们，并对它们进行运算来产生新的性质。他把他的研究叫做位置分析或位置几何学，并另外宣称应建立一门能直接表示位置的真正几何的学问，这是组合拓扑学的先声。

　　1736年欧拉解决了著名的柯尼斯堡七桥问题。这原来是一个智力游戏题，问能否在散步中连续地经过柯尼斯堡城内一条河上的七座桥且每座桥只走一次。欧拉解决问题的方式却具有拓扑意义。他简化了这一问题的表示法，用点代表陆地，用线段或弧代表桥，将问题改变成：能否一笔画出这个图。欧拉证明了这一图形是不能一笔画出的，并作了推广，给出任何一组给定的点和线（弧）能否一笔画出的判别法则，成为组合拓扑学的先声。1750年欧拉又得到了以他的名字命名的凸多面体定理：面数＋顶角数－棱数＝2，第二年给出一种简单的归纳证明，1752年发表出来。后人发现笛卡儿约在1635年就已在手稿中表述过这一公式，但他的结果直到1860年才被整理发表出来。欧拉多面体定理表述了几何图形的一个基本组合性质，其目的是利用这一关系将多面体进行分类，这类问题成为19世纪后半叶拓扑学研究的主要问题。长期以来，讲述欧拉多面体定理的证明一般采用柯西于1811年给出方法，即去掉一个面的内部，将剩下的图形铺在一个平面上，把图形分割为三角形，然后在一个个地抹掉三角形时计算这个数的改变，得到所需的结论。该证明假设了任一闭的凸多面体同胚于球面，有不足之处。只因其简单直观而被广泛引用。另一个较简单的证明利用的是球心投影法，据说是法国数学家勒让德最先给出的。1833年高斯在电动力学中用线积分定义了空间中两条封闭曲线的环绕数，为拓扑学研究又提供了一个实例。

　　1851年以后黎曼在复变函数的研究中提出了黎曼曲面的几何概念，并强调要研究函数和积分，这就需要位置分析学的定理。他解决了可定向闭曲面的同胚分类问题，开始了拓扑学的系统研究。1858年德国数学家麦比乌斯和利斯廷各自独立发现了单侧曲面，即将一长纸条的短边扭转1800，然后与对边粘合而成的曲面，后人称之为麦比乌斯带。1852年英国数学教授格思里提出地图着色的四色问题，1878年由数学家凯莱重新提出后引起广泛注意。1882年C．F．克莱因引进“克莱因瓶”这一曲面，它无边，无内外，是亏格为1的单侧曲面。这些工作促进了拓扑学的深入探讨。

　　19世纪末拓扑学的研究分为两个方向：点集拓扑学和组合拓扑学。点集拓扑学来源于分析学的严密化。德国数学家G．康托尔从19世纪70年代系统展开了欧氏空间中点集的研究，得到许多拓扑概念，如聚点、开集、闭集、稠密性、连通性等。在这种思想的影响下，意大利数学家阿斯科利和阿尔泽拉将点集论推广到函数集合上，把函数看成空间的点，引进泛函数的观念，并将函数集看成一种几何对象，讨论其中的极限。法国数学家弗雷歇提出抽象空间的第一个定义，建立了紧致性、完备性、可分离性等基本概念。德国数学家豪斯多夫提出一般度量空间和拓扑空间的集合理论，使用了邻域概念，其著作《集论纲要》（1914）对拓扑学的发展有重要意义。20年代后波兰数学家谢尔品斯基等人和原苏联数学家П．С．亚历山德罗夫等人对拓扑空间的基本性质进行了系统的研究。20世纪30年代后由法国布尔巴基学派作了补充，使一般拓扑学趋于成熟。

　　组合拓扑学的奠基人是法国数学家庞加莱，他从1894年开始发表一系列拓扑学方面的文章，创立了用剖分研究流形的基本方法，引入许多不变量，探讨三维流形的拓扑分类问题，提出著名的“庞加莱猜想”，其思想和方法被后继者沿用到20世纪30年代。1910－1912年荷兰数学家布劳威尔提出用单纯映射逼近连续映射的方法，证明了不同维的欧氏空间不同胚，引进了同维流形之间的映射的度以研究同伦分类，并开创不动点理论，使组合拓扑学达到概念精确、论证严密的标准。1922年美国数学家G．D．伯克霍夫和凯洛格共同将不动点定理推广到无穷维函数空间。1925年德国数学家A．E．诺特提议把组合拓扑学建立在群论的基础上，在她的影响下，霍普夫于1928年定义了同调群，从此组合拓扑学逐步演变成利用抽象代数的方法研究拓扑问题的代数拓扑学。霍普夫与П．С．亚历山德罗夫于1935年合著的《拓扑学》一书流传很广。1945年美国数学家艾伦伯格与斯廷罗德开始以公理化的方式总结当时的同调论，1952年合著成《代数拓扑基础》，对代数拓扑学的传播、应用和进一步发展起了推动作用。1950年前后法国数学家塞尔和勒雷为研究纤维丛的同调论而发展起谱序列这个代数工具，在同伦群的计算上取得突破，为其后拓扑学的发展开辟了道路。20世纪50年代末在代数几何学和微分拓扑学的影响下产生了K理论，解决了关于流形的一系列拓扑问题，出现了好几种广义同调论，成为代数拓扑学研究的新的工具。

　　除一般拓扑学和代数拓扑学蓬勃发展外，20世纪50年代初法国数学家托姆对高维流形的分类理论进行深入研究，1953年创立配边理论（亦称之为协边理论），从而使微分拓扑学获得长足进展。1956年美国数学家米尔诺发现7维球面上除了通常的微分结构外，还有不同寻常的微分结构，显示出拓扑流形与微分流形等的巨大差别，从此微分拓扑学被公认为一个独立的拓扑学分支。

　　此外，拓扑学与其他学科的结合产生了一系列新学科，如大范围变分法、规范场理论、拓扑度理论等。拓扑学应用于其他学科更是取得大量成果。近几十年来，拓扑学在经济学、物理学、化学、生物学等领域也有直接和间接应用，它与各数学领域、各科学领域之间的边缘性研究方兴未艾。

　　拓扑学的主要应用是在分子生物学中。当谈到脱氧核糖核酸的三级结构，就必然会谈到所谓的「超螺旋结构」。这种超螺旋结构可以解释为：发生螺旋缠绕的螺旋结构，换句话说，就是一个螺旋结构再一次进行螺旋缠绕。脱氧核糖核酸原本就是双股螺旋，而这双股螺旋又会再进一步进行螺旋缠绕，形成所谓的超螺旋结构。

　　拓扑学就是用来研究超螺旋结构的一种工具。拓扑学主要探讨的是在连续性变化中（比如因为温度改变而发生构型改变时，或因为与蛋白质作用而发生交互作用时）的变形现象。拓扑性质不包含非连续性变化时产生的变形作用（双股螺旋被剪开时的状况）。对于去氧核糖核酸而言，那些当没有打断股链时，不受变形现象而改变的性质就叫拓扑性质。拓扑性质的改变只受到打断股链或将股链粘合的影响。

　　连续性与离散性这对矛盾在自然现象与社会现象中普遍存在着，数学也可以粗略地分为连续性的与离散性的两大门类。拓扑学对于连续性数学自然是带有根本意义的，对于离散性数学也起着巨大的推进作用。例如，拓扑学的基本内容已经成为现代数学工作者的常识。拓扑学的重要性，体现在它与其他数学分支、其他学科的相互作用。拓扑学在泛函分析、实分析、群论、微分几何、微分方程其他许多数学分支中都有广泛的应用。

　　1、微分几何

　　拓扑学与微分几何学有着血缘关系，它们在不同的层次上研究流形的性质。为了研究黎曼流形上的测地线，H.M.摩尔斯在20世纪20年代建立了非退化临界点理论（摩尔斯理论），把流形上光滑函数的临界点的指数与流形本身的贝蒂数联系起来，并发展成大范围变分法。莫尔斯理论后来又用于拓扑学中，证明了典型群的同伦群的博特周期性定理，并启示了处理微分流形的剜补术。微分流形、纤维丛、示性类给E·嘉当的整体微分几何学提供了合适的理论框架，也从中获取了强大的动力和丰富的课题。陈省身在40年代引进了“陈示性类”，就不但对微分几何学影响深远，对拓扑学也十分重要。纤维丛理论和联络论一起为理论物理学中杨－米尔斯规范场理论提供了现成的数学框架，犹如20世纪初黎曼几何学对于A.爱因斯坦广义相对论的作用。规范场的研究又促进了四维的微分拓扑学出人意料的进展。

　　2、分析学

　　拓扑学对于分析学的现代发展起了极大的推动作用。随着科学技术的发展，需要研究各式各样的非线性现象，分析学更多地求助于拓扑学。要问一个结能否解开（即能否变形成平放的圆圈），30年代J.勒雷和J.P.绍德尔把L.E.J.布劳威尔的不动点定理和映射度理论推广到巴拿赫空间形成了拓扑度理论。后者以及前述的临界点理论，都已成为研究非线性偏微分方程的标准的工具。微分拓扑学的进步，促进了分析学向流形上的分析学(又称大范围分析学)发展。在托姆的影响下，然后随意扭曲，微分映射的结构稳定性理论和奇点理论已发展成为重要的分支学科。S.斯梅尔在60年代初开始的微分动力系统的理论。就是流形上的常微分方程论。M.F.阿蒂亚等人60年代初创立了微分流形上的椭圆型算子理论。著名的阿蒂亚-辛格指标定理把算子的解析指标与流形的示性类联系起来，是分析学与拓扑学结合的范例。现代泛函分析的算子代数已与K理论、指标理论、叶状结构密切相关。在多复变函数论方面，来自代数拓扑的层论已经成为基本工具。

　　3、抽象代数

　　拓扑学的需要大大刺激了抽象代数学的发展，并且形成了两个新的代数学分支：同调代数与代数K理论。代数几何学从50年代以来已经完全改观。托姆的配边理论直接促使代数簇的黎曼－罗赫定理的产生，后者又促使拓扑K理论的产生。现代代数几何学已完全使用上同调的语言，代数数论与代数群也在此基础上取得许多重大成果，例如有关不定方程整数解数目估计的韦伊猜想和莫德尔猜想的证明。范畴与函子的观念，是在概括代数拓扑的方法论时形成的。范畴论已深入数学基础、代数几何学等分支，对拓扑学本身也有影响。如拓扑斯的观念大大拓广了经典的拓扑空间观念。

　　4、经济学

　　在经济学方面，冯·诺伊曼首先把不动点定理用来证明均衡的存在性。在现代数理经济学中，对于经济的数学模型，均衡的存在性、性质、计算等根本问题都离不开代数拓扑学、微分拓扑学、大范围分析的工具。在系统理论、对策论、规划论、网络论中拓扑学也都有重要应用。

　　5、其他学科

　　托姆以微分拓扑学中微分映射的奇点理论为基础创立了突变理论，为从量变到质变的转化提供各种数学模式。在物理学、化学、生物学、语言学等方面已有不少应用。除了通过各数学分支的间接的影响外，拓扑学的概念和方法对物理学(如液晶结构缺陷的分类)、化学（如分子的拓扑构形）、生物学(如DNA的环绕、拓扑异构酶)都有直接的应用。

　　1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。欧拉把这个问题首先简化，他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。经过进一步的分析，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。这是拓扑学的“先声”。