欧拉定理
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欧拉定理（Euler Theorem），也称费马-欧拉定理或欧拉
函数定理
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欧拉定理指出：如果产品市场和要素市场都是完全竞争的，而且厂商生产的规模报酬不变，那么在市场均衡的条件下，所有生产要素实际所取得的报酬总量正好等于社会所生产的总产品。该定理又叫做边际生产力分配理论，还被称为产品分配净尽定理。如上所述，要素的价格是由于要素的市场供给和市场需求共同决定。在完全竞争的条件下，厂商和消费者都被动地接受市场形成的价格。现在的问题是：要素所有者按照市场形成的要素价格获得收入，全部要素收入是否等于社会总产品？
在完全竞争的条件下，厂商使用要素的原则是：要素的边际产品价值等于要素价格。即：
（9.9）
（9.10）
由式9.9和9.10可得：
（9.11）
（9.12）
P为产品的价格，W/P和r/P分别表示了劳动和资本的实际报酬。因此在完全竞争的条件下，单位劳动、单位资本的实际报酬分别等于劳动、资本的边际产量。假定整个社会的劳动总量和资本总量为L和K，而社会总产品为Q，那么就有：
（9.13）
式9.13称为欧拉分配定理。它是由于该定理的证明使用了数学上的欧拉定理而得名。
假设生产函数为：Q=f(L.K)
由于规模报酬不变，所以生产函数为齐次方程，因此有：
k为人均资本，Q/L为人均产量，人均产量是人均资本k的函数。
![{\partial Q \over \partial L} = {{\partial [ L \cdot \varphi (k) ] } \over \partial L} = \varphi (k) + L \cdot {{d \varphi (k) } \over dk} \cdot {dk \over dL} = \varphi (k) + L \cdot \varphi ^\prime (k) \cdot {dk \over dL} = \varphi (k) + L \cdot \varphi ^\prime (k) \cdot \left( {{-K } \over {L^2} } \right) = \varphi (k) - k \cdot \varphi ^\prime (k)](/w/images/math/5/4/5/5453ffc74dc127601ad904d2a7571fdc.png)
![{\partial Q \over \partial K} = {{\partial [ L \cdot \varphi (k) ] } \over \partial K} = L \cdot {{\partial \varphi (k)} \over \partial k } = L \cdot {{d \varphi (k) } \over dk} \cdot {{\partial k} \over {\partial K}} = L \cdot \varphi ^\prime (k) \cdot {1 \over L } = \varphi ^\prime (k)](/w/images/math/c/5/3/c5381d83bb27cd19a34ae238d7a63815.png)
由上面两式，即可证明欧拉定理：
![L \cdot {\partial Q \over {\partial L}} + K \cdot {{\partial Q } \over {\partial K}} = L \cdot [\varphi (k) - k \varphi ^\prime (k)] + K \cdot \varphi ^\prime (k) = L \cdot \varphi (k) - K \cdot \varphi ^\prime (k) + K \cdot \varphi ^\prime (k) = L \cdot \varphi (k) = Q](/w/images/math/9/f/5/9f51c0106d39d924e4fb560b1c218437.png)
在规模报酬递增情况下，如果按照边际生产力分配，则产品不够分配给各个生产要素，即：
（9.14）
在规模报酬递减情况下，如果按边际生产力进行分配，则产品在分配给各个生产要素之后还有剩余，即：
（9.15）
证明如下：
如果生产函数 Q=f(L,K)为r齐次，则有：
因此有：
显然在规模报酬递增时，r>1，所以有：
在规模报酬递减时， ，所以有：
This is very good explanation. Thanks