欧拉定理

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欧拉定理(Euler Theorem),也称费马-欧拉定理欧拉{\varphi}函数定理

目录

什么是欧拉定理

  欧拉定理指出:如果产品市场和要素市场都是完全竞争的,而且厂商生产的规模报酬不变,那么在市场均衡的条件下,所有生产要素实际所取得的报酬总量正好等于社会所生产的总产品。该定理又叫做边际生产力分配理论,还被称为产品分配净尽定理。如上所述,要素的价格是由于要素的市场供给和市场需求共同决定。在完全竞争的条件下,厂商和消费者都被动地接受市场形成的价格。现在的问题是:要素所有者按照市场形成的要素价格获得收入,全部要素收入是否等于社会总产品

  在完全竞争的条件下,厂商使用要素的原则是:要素的边际产品价值等于要素价格。即:

  P \cdot M P_l=W (9.9)

  P \cdot M P_k=r (9.10)

  由式9.9和9.10可得:

  M P_l={W\over P}(9.11)

  M P_k={r\over P}(9.12)

  P为产品的价格,W/P和r/P分别表示了劳动和资本的实际报酬。因此在完全竞争的条件下,单位劳动、单位资本的实际报酬分别等于劳动、资本的边际产量。假定整个社会的劳动总量和资本总量为L和K,而社会总产品为Q,那么就有:

  Q=L \cdot M P_l+K  \cdot M P_k (9.13)

  式9.13称为欧拉分配定理。它是由于该定理的证明使用了数学上的欧拉定理而得名。

欧拉定理的证明

  假设生产函数为:Q=f(L.K)

  由于规模报酬不变,所以生产函数为齐次方程,因此有:

  {Q \over L}=f({L \over L},{K \over L})=f(1,k)=\varphi(k)     (k={K\over L})

  k为人均资本,Q/L为人均产量,人均产量是人均资本k的函数。

  {\partial Q \over \partial L} = {{\partial [ L \cdot \varphi (k) ] } \over \partial L}  = \varphi (k) + L \cdot {{d \varphi (k) } \over dk} \cdot {dk \over dL}   = \varphi (k) + L \cdot \varphi ^\prime (k) \cdot {dk \over dL}   = \varphi (k) + L \cdot \varphi ^\prime (k) \cdot \left( {{-K } \over {L^2} } \right)  = \varphi (k) - k \cdot \varphi ^\prime (k)

  {\partial Q \over \partial K} = {{\partial [ L \cdot \varphi (k) ] } \over \partial K}  = L \cdot {{\partial \varphi (k)} \over \partial k }  = L \cdot {{d \varphi (k) } \over dk} \cdot {{\partial k} \over {\partial K}}  = L \cdot \varphi ^\prime (k) \cdot {1 \over L } = \varphi ^\prime (k)

  由上面两式,即可证明欧拉定理:

  L \cdot {\partial Q \over {\partial L}} + K \cdot {{\partial Q } \over {\partial K}}  = L \cdot [\varphi (k) - k \varphi ^\prime (k)] + K \cdot \varphi ^\prime (k)  = L \cdot \varphi (k) - K \cdot \varphi ^\prime (k) + K \cdot \varphi ^\prime (k) = L \cdot \varphi (k) = Q

  在规模报酬递增情况下,如果按照边际生产力分配,则产品不够分配给各个生产要素,即:

  L \cdot {{\partial Q } \over {\partial L}} + K \cdot {{\partial Q} \over {\partial K}} > Q(9.14)

  在规模报酬递减情况下,如果按边际生产力进行分配,则产品在分配给各个生产要素之后还有剩余,即:

  L \cdot {{\partial Q } \over {\partial L}} + K \cdot {{\partial Q} \over {\partial K}} < Q(9.15)

  证明如下:

  如果生产函数 Q=f(L,K)为r齐次,则有:

  Q=L^r \cdot \varphi (k)

  因此有:

  {{\partial Q }\over {\partial K}} = L^{r-1}\varphi ^\prime (k)


  {{\partial Q }\over {\partial L}}=r L^{r-1} \varphi (k) - L^{r-1}k\varphi ^\prime (k)


  L \cdot {{\partial Q}\over {\partial L}}+K\cdot {{\partial Q} \over {\partial K}} = rL^r \varphi (k) =rQ

  显然在规模报酬递增时,r>1,所以有:


  L \cdot {{\partial Q}\over {\partial L}}+K\cdot {{\partial Q}\over{\partial K}} > Q

  在规模报酬递减时, ,所以有:

  L \cdot {{\partial Q}\over {\partial L}}+K\cdot {{\partial Q}\over{\partial K}}  < Q

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评论(共16条)

提示:评论内容为网友针对条目"欧拉定理"展开的讨论,与本站观点立场无关。
60.241.201.* 在 2010年6月9日 20:51 发表

This is very good explanation. Thanks

回复评论
61.183.129.* 在 2011年3月24日 20:40 发表

恩,不错,很有帮助!

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113.108.166.* 在 2011年4月5日 20:14 发表

详细!好!

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121.14.162.* 在 2011年4月20日 20:00 发表

刚刚考试宏观,多亏了这一天,十分感谢!

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121.249.212.* 在 2011年4月25日 13:49 发表

很好

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220.178.150.* 在 2011年7月12日 15:48 发表

很好,找了好多资料总算找到了

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202.116.24.* 在 2011年8月2日 19:04 发表

thx

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113.140.84.* 在 2011年10月30日 18:19 发表

谢谢~~

回复评论
142.151.148.* 在 2011年12月6日 04:27 发表

很有用 感谢!

回复评论
61.50.138.* 在 2012年5月19日 20:40 发表

很详细 谢谢

回复评论
183.41.43.* 在 2012年6月17日 15:12 发表

非常好!很详细,很有帮助。谢谢!

回复评论
114.229.162.* 在 2014年7月31日 23:06 发表

不好

回复评论
218.25.35.* 在 2014年8月25日 18:39 发表

挺详细的

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119.109.71.* 在 2015年9月28日 09:45 发表

真不错

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1.180.215.* 在 2017年2月20日 21:32 发表

太好啦

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37.140.189.* 在 2017年11月26日 06:41 发表

真好

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