總體標準差

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總體標準差(population standard deviation )

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總體標準差的概述

  總體標準差是反映研究總體內個體之間差異程度的一種統計指標,用σ表示。

  總體方差是一組資料中各數值與其算術平均數離差平方和的平均數。總體標準差則是總體方差的平方根。

  標準差是最常用和最重要的變異性測量。標準差以分佈的平均數作為參照點,用考慮每個數據和平均 數之間的距離來測量變異性。它由數據是否接近或遠離平均數來決定。也就是說,它考慮數據是聚集還是離散的?簡單來說,標準差與數據到平均數的平均距離近似。

總體標準差的計算公式

  方差被定義為平方差的平均數。這個平均數為總和除以N,因此,總體方差的公式為:

  方差=\frac{SS}{N}

  標準差是方差的平方根,因此,總體標準差的公式為:

  標準差=\sqrt{\frac{SS}{N}}

  與平均數(μ)一樣,方差和標準差是總體的參數,將用希臘字母表示。我們用σ表示總體標準差。為了強調標準差和方差之間的關係,我們用σ2表示總體方差。所以:

  總體標準差=\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{SS}{N}}

  總體方差=\sigma^2=\frac{SS}{N}

總體標準差及方差的估計

  總體參數中除了均值和比例的估計之外,還經常要對差異的情況作出估計,例如:一架飛機的電纜如果發生斷裂,飛機就會市區控制,因而嚴格控制其質量非常必要。但只知道電纜的平均強度是否達到標準是不夠的,因為如果電纜差異太大,電纜強度太強,都容易發生斷裂,後果不堪設想。所以對於電纜強度質量不僅應知道均值,而且還應知道方差,即需要要對電纜的方差進行估計。

  對方差進行估計要用到Excel中的卡方分佈反函數CHIINV。若已知總體方差σ2(總體方差未知時用樣本方差S2代替總體方差)和樣本數,對於給定的顯著性水平σ,利用CHINV函數可以求出臨界值X_\frac{\sigma}{2}^2X_{1-\frac{\sigma}{2}}^2(n-1),則總體方差σd的置信度為1 − σ的置信區間為

\frac{(n-1)S^2}{X_\frac{\sigma}{2}^2(n-1)},\frac{(n-1)S^2}{X_{1-\frac{\sigma}{2}}^2(n-1)})。

其中,{X_\frac{\sigma}{2}^2(n-1)}{X_{1-\frac{\sigma}{2}}^2(n-1)}

分別是自由度為n − 1X2分佈的\frac{\sigma}{2}1\frac{\sigma}{2}}的水平的分位数。

总体标准差与方差的例题分析 [1]

  假设上市公司预计的每股收益率服从正态分布,现有8个公司组成一个简单随机样本,2007年的有关数据如表12-1所示,试建立总体标准差的95%的置信区间。

总体标准差

  设随机变量X表示预计的每股收益率,则由已知条件知X~N(μ,σ2),且σ2未知。具体操作步骤如下:

  (1)打开“《大学计算机应用高级教程》教学资源\第3篇Excel数据分析与处理\第12章 参数估计与分析\第12章 参数估计与分析.xls”工作簿,选定“例12-10方程估计”工作表。

  (2)将表12-1中的数据输入“方差估计工作表的相关单元格中,输入后的工作表如图12-20所示”

方差估计工作表

  (3)在D2单元格中输入样本容量的值8:在D3单元格计算样本方差得值2.618971。

  (4)在D4单元格中输入置信度95%。

  (5)在G2单元格中输入右侧置信度0.025:在G3但与昂输入左侧置信度0.975。

  说明:通常卡方分布函数所给出的是由右侧向左侧累加的概率。若置信度为95%,则右侧临界值的右侧面积称为右侧置信度,为0.025,左侧临界值的右侧面积为左侧置信度,它等于中心面积加上右侧置信度,即左侧置信度=0.95+0.025=03975。

  (6)选定G4单元格,依次选择“插入”→“函数”命令,打开“插入函数”对话框。

  (7)在“函数分类”列表中选择“统计”选项,在“函数名”列表中选择CHIINV选项,单击“确定”按钮,打开“函数参数”对话框,如图所示。

函数CHIINV对话框

  (8)在Probability文本框中输入右侧置信度0.025或G2,在Deg_freedom文本框中输入自由度7或“=D2-1”,单击“确定”按钮,计算结果为16.01276。

  (9)在G4单元格重复上面的步骤,在“函数对数”对话框中的Probability文本框中输入右侧置信度0.975或E3,自由度不变,单击“确定”按钮,计算结果为1.689869。

  (10)在D7单元格中输入公式“=((D2-1)*D3)/G4”,得方差下限为1.145。

  (11)在D8单元格中输入公司“=((D2-1)*D3)/G5”,得方差上限为10.849。

  (12)在D9和D10单元格中分别对D7和D8单元格开平方,即在D9单元格中输入公式“=SQRT(D7)”,按Enter键得1.070,在D10单元格输入公式“=SQRT(D8)”,按Enter键得3.294。结果如图所示。

结果

  故总体方差的95%的置信区间为(1.145,10.849),总体标准差的95%的置信区间为(1.070,3.294)。

  由此我们有95%的把握认为这些上市公司整体每股收益率的浮动范围在1.070~3.294之间。

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参考文献

  1. 陈尹立,陈国君主编.大学计算机应用高级教程.清华大学出版社,2008.12.
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