卡方分佈

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卡方分佈(Chi-square Distribution)

目錄

什麼是卡方分佈

  卡方分佈 (χ2分佈)是概率論統計學中常用的一種概率分佈。k 個獨立的標準正態分佈變數的平方和服從自由度為k 的卡方分佈。卡方分佈常用於假設檢驗置信區間的計算。

卡方分佈的數學定義

  若k 個隨機變數Z1、……、Zk 相互獨立,且數學期望為0、方差為 1(即服從標準正態分佈),則隨機變數X

X=\sum_{n=1}^k Z_n^2

被稱為服從自由度為 k 的卡方分佈,記作

X\ \sim\ \chi^2(k)

卡方分佈的特征

  卡方分佈的概率密度函數為:

f_k(x)= \frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}

其中x≥0, 當x≤0時fk(x) = 0。這裡Γ代表Gamma 函數。


  卡方分佈的累積分佈函數為:

F_k(x)=\frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}

其中γ(k,z)為不完全Gamma函數

在大多數涉及卡方分佈的書中都會提供它的累積分佈函數的對照表。此外許多表格計算軟體如OpenOffice.org Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分佈函數。

卡方分佈可以用來測試隨機變數之間是否相互獨立,也可用來檢測統計模型是否符合實際要求。

自由度為 k 的卡方變數的平均值是 k,方差是 2k。 卡方分佈是伽瑪分佈的一個特例,它的熵為:

H = \int_{-\infty}^\infty f(x)\ln(f(x)) dx = \frac{k}{2} + \ln \left( 2 \Gamma \left( \frac{k}{2} \right) \right) + \left(1 - \frac{k}{2}\right) \psi(k/2)

其中ψ(x) 是 Digamma function。

卡方變數與 Gamma變數的關係

  當Gamma變數頻率(λ)為1/2 時,α 的2倍為卡方變數之自由度(Degree of freedom)

即: r.v. Y = \chi^2 \left(U\right) = \Gamma \left( \frac{U}{2} , \frac{1}{2}\right)

E \left( \chi^2 \left(U\right) \right) = E \left( Y \right) = \frac{\alpha}{\lambda} = \frac{\frac{U}{2}}{\frac{1}{2}} = U

Var \left( \chi^2 \left(U\right) \right) = Var \left( Y \right) = \frac{\alpha}{\lambda^2} = \frac{\frac{U}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = 2U

卡方變數之期望值=自由度卡方變數之方差=兩倍自由度

  卡方分佈

參數k > 0, 自由度
值域x \in [0; +\infty),
概率密度函數\frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2},
累積分佈函數(cdf)\frac{\gamma(k/2,x/2)} {\Gamma(k/2)},
期望值k,
中位數大約k − 2 / 3,
眾數k-2, ifk\geq 2,
方差2,k,
偏態\sqrt{8/k},
峰態12/k,
熵值\frac{k}{2}\!+\!\ln(2\Gamma(k/2))\!+\! (1\!-\!k/2)\psi(k/2)
動差生成函數(mgf)(1-2\,t)^{-k/2},2t<1,
特征函數(1-2\,i\,t)^{-k/2},
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Zxe,Yixi.

評論(共22條)

提示:評論內容為網友針對條目"卡方分佈"展開的討論,與本站觀點立場無關。
123.181.179.* 在 2013年12月23日 14:20 發表

對於一些非學術類的詞條,評論的人很多,而對於這種真正核心學術的東西,竟然看不到多少人的評論,其實這沒太大意義。想學的自然上網去學,其餘的都是嘩眾取寵,都是烏合之眾,雖然寫著學到了多少東西,還評論說得對,其實根本都是口是心非,或許他們根本不知道這個詞條的真正含義。要真是個學術網站,沒必要做的像個科普網站一樣,這種網站應該是定向的,對專業人士的,而不是對大眾開放,毫無意義,比如這個卡方分佈,有幾個閑人明白?學術百科可不是百科全書,學術就是學術好吧?

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202.119.40.* 在 2014年7月5日 15:52 發表

123.181.179.* 在 2013年12月23日 14:20 發表

對於一些非學術類的詞條,評論的人很多,而對於這種真正核心學術的東西,竟然看不到多少人的評論,其實這沒太大意義。想學的自然上網去學,其餘的都是嘩眾取寵,都是烏合之眾,雖然寫著學到了多少東西,還評論說得對,其實根本都是口是心非,或許他們根本不知道這個詞條的真正含義。要真是個學術網站,沒必要做的像個科普網站一樣,這種網站應該是定向的,對專業人士的,而不是對大眾開放,毫無意義,比如這個卡方分佈,有幾個閑人明白?學術百科可不是百科全書,學術就是學術好吧?

看不懂你要說什麼……可不可以補充一個正態分佈推導卡方分佈的證明啊

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李志云 (討論 | 貢獻) 在 2014年7月17日 11:26 發表

202.119.40.* 在 2014年7月5日 15:52 發表

看不懂你要說什麼……可不可以補充一個正態分佈推導卡方分佈的證明啊

高級統計學里都有的,關於正態分佈推導卡方分佈的過程、t分佈、f分佈等等。

回複評論
70.160.113.* 在 2015年4月7日 03:01 發表

123.181.179.* 在 2013年12月23日 14:20 發表

對於一些非學術類的詞條,評論的人很多,而對於這種真正核心學術的東西,竟然看不到多少人的評論,其實這沒太大意義。想學的自然上網去學,其餘的都是嘩眾取寵,都是烏合之眾,雖然寫著學到了多少東西,還評論說得對,其實根本都是口是心非,或許他們根本不知道這個詞條的真正含義。要真是個學術網站,沒必要做的像個科普網站一樣,這種網站應該是定向的,對專業人士的,而不是對大眾開放,毫無意義,比如這個卡方分佈,有幾個閑人明白?學術百科可不是百科全書,學術就是學術好吧?

以上的邏輯和斷句,不僅“學術”,而且“專業”,真是讓人心服口服。

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202.100.19.* 在 2015年6月4日 17:13 發表

李志云 (討論 | 貢獻) 在 2014年7月17日 11:26 發表

高級統計學里都有的,關於正態分佈推導卡方分佈的過程、t分佈、f分佈等等。

您能推薦幾本高級統計學的書籍嗎?

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124.191.17.* 在 2015年11月9日 14:47 發表

123.181.179.* 在 2013年12月23日 14:20 發表

對於一些非學術類的詞條,評論的人很多,而對於這種真正核心學術的東西,竟然看不到多少人的評論,其實這沒太大意義。想學的自然上網去學,其餘的都是嘩眾取寵,都是烏合之眾,雖然寫著學到了多少東西,還評論說得對,其實根本都是口是心非,或許他們根本不知道這個詞條的真正含義。要真是個學術網站,沒必要做的像個科普網站一樣,這種網站應該是定向的,對專業人士的,而不是對大眾開放,毫無意義,比如這個卡方分佈,有幾個閑人明白?學術百科可不是百科全書,學術就是學術好吧?

學術的最終目的是什麼? 開口閉口學術透著一股濃濃的優越感,真是嚇死寶寶了。 專業人士,不對大眾開放,瞧瞧這自詡精英階級的嘴臉。 嚇得我還以為先生您生下來就戴著眼鏡開始學術研究了呢。

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117.136.4.* 在 2015年12月23日 20:41 發表

123.181.179.* 在 2013年12月23日 14:20 發表

對於一些非學術類的詞條,評論的人很多,而對於這種真正核心學術的東西,竟然看不到多少人的評論,其實這沒太大意義。想學的自然上網去學,其餘的都是嘩眾取寵,都是烏合之眾,雖然寫著學到了多少東西,還評論說得對,其實根本都是口是心非,或許他們根本不知道這個詞條的真正含義。要真是個學術網站,沒必要做的像個科普網站一樣,這種網站應該是定向的,對專業人士的,而不是對大眾開放,毫無意義,比如這個卡方分佈,有幾個閑人明白?學術百科可不是百科全書,學術就是學術好吧?

大學普通課程,謝謝。

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117.136.9.* 在 2016年2月15日 15:25 發表

李志云 (討論 | 貢獻) 在 2014年7月17日 11:26 發表

高級統計學里都有的,關於正態分佈推導卡方分佈的過程、t分佈、f分佈等等。

可否推薦一本高級統計學的書?謝謝

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49.214.18.* 在 2016年3月5日 00:08 發表

不完全學術性質,這是基礎統計學導論常識而已

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117.136.61.* 在 2016年11月21日 15:15 發表

嚇死寶寶了

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202.120.57.* 在 2016年12月5日 14:12 發表

這不是統計學基礎嗎。。

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46.101.252.* 在 2016年12月19日 11:02 發表

只要是個大學生差不多都知道吧。。。。關學術什麼事

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49.52.46.* 在 2017年1月4日 14:34 發表

123.181.179.* 在 2013年12月23日 14:20 發表

對於一些非學術類的詞條,評論的人很多,而對於這種真正核心學術的東西,竟然看不到多少人的評論,其實這沒太大意義。想學的自然上網去學,其餘的都是嘩眾取寵,都是烏合之眾,雖然寫著學到了多少東西,還評論說得對,其實根本都是口是心非,或許他們根本不知道這個詞條的真正含義。要真是個學術網站,沒必要做的像個科普網站一樣,這種網站應該是定向的,對專業人士的,而不是對大眾開放,毫無意義,比如這個卡方分佈,有幾個閑人明白?學術百科可不是百科全書,學術就是學術好吧?

什麼算閑人啊 看來你是真閑才寫這麼一大段和卡方分佈一點關係都沒的評論 你問問現在的大學生誰不知道卡方分佈啊

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1.30.161.* 在 2017年2月13日 15:50 發表

123.181.179.* 在 2013年12月23日 14:20 發表

對於一些非學術類的詞條,評論的人很多,而對於這種真正核心學術的東西,竟然看不到多少人的評論,其實這沒太大意義。想學的自然上網去學,其餘的都是嘩眾取寵,都是烏合之眾,雖然寫著學到了多少東西,還評論說得對,其實根本都是口是心非,或許他們根本不知道這個詞條的真正含義。要真是個學術網站,沒必要做的像個科普網站一樣,這種網站應該是定向的,對專業人士的,而不是對大眾開放,毫無意義,比如這個卡方分佈,有幾個閑人明白?學術百科可不是百科全書,學術就是學術好吧?

也許,大一,數理統計必修

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101.226.61.* 在 2017年4月19日 15:11 發表

一個個裝個逼,我想看一下這個卡方分佈,

回複評論
123.150.182.* 在 2017年10月31日 21:46 發表

202.120.57.* 在 2016年12月5日 14:12 發表

這不是統計學基礎嗎。。

概率統計那本書里的卡方分佈只是卡方分佈的一個特殊情況,即上面所說的,一般大學生也就知道這個特殊的,除非學過高級統計吧,我看的心理統計中的概念就比這個廣泛多了,如果想瞭解一下,可以簡單的看張厚粲的《現代心理與教育統計學》第四版P187-189

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117.136.2.* 在 2018年6月23日 10:40 發表

不就是個統計的基礎嗎?基本上不是專業性特別強的專業(醫學)其他都有學到吧?什麼學術不學術的?

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112.90.75.* 在 2018年8月20日 20:15 發表

123.181.179.* 在 2013年12月23日 14:20 發表

對於一些非學術類的詞條,評論的人很多,而對於這種真正核心學術的東西,竟然看不到多少人的評論,其實這沒太大意義。想學的自然上網去學,其餘的都是嘩眾取寵,都是烏合之眾,雖然寫著學到了多少東西,還評論說得對,其實根本都是口是心非,或許他們根本不知道這個詞條的真正含義。要真是個學術網站,沒必要做的像個科普網站一樣,這種網站應該是定向的,對專業人士的,而不是對大眾開放,毫無意義,比如這個卡方分佈,有幾個閑人明白?學術百科可不是百科全書,學術就是學術好吧?

有理,本人學生,總想快速找到精準的瑣碎知識,希望有權威的學術問答

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183.3.255.* 在 2018年8月20日 20:15 發表

123.181.179.* 在 2013年12月23日 14:20 發表

對於一些非學術類的詞條,評論的人很多,而對於這種真正核心學術的東西,竟然看不到多少人的評論,其實這沒太大意義。想學的自然上網去學,其餘的都是嘩眾取寵,都是烏合之眾,雖然寫著學到了多少東西,還評論說得對,其實根本都是口是心非,或許他們根本不知道這個詞條的真正含義。要真是個學術網站,沒必要做的像個科普網站一樣,這種網站應該是定向的,對專業人士的,而不是對大眾開放,毫無意義,比如這個卡方分佈,有幾個閑人明白?學術百科可不是百科全書,學術就是學術好吧?

有理,本人學生,總想快速找到精準的瑣碎知識,希望有權威的學術問答

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87.92.214.* 在 2020年11月29日 01:26 發表

不是高級統計啊 我們社會統計學都有...

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223.104.150.* 在 2021年3月24日 10:05 發表

額,我就想問一下有誰知道卡方分佈累積分佈函數公式里那個不完全伽馬函數是上不完全還是下不完全啊?

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114.214.247.* 在 2022年7月27日 16:37 發表

123.181.179.* 在 2013年12月23日 14:20 發表

對於一些非學術類的詞條,評論的人很多,而對於這種真正核心學術的東西,竟然看不到多少人的評論,其實這沒太大意義。想學的自然上網去學,其餘的都是嘩眾取寵,都是烏合之眾,雖然寫著學到了多少東西,還評論說得對,其實根本都是口是心非,或許他們根本不知道這個詞條的真正含義。要真是個學術網站,沒必要做的像個科普網站一樣,這種網站應該是定向的,對專業人士的,而不是對大眾開放,毫無意義,比如這個卡方分佈,有幾個閑人明白?學術百科可不是百科全書,學術就是學術好吧?

這不是基礎課程?

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