卡方分布

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卡方分布(Chi-square Distribution)

目录

什么是卡方分布

  卡方分布 (χ2分布)是概率论统计学中常用的一种概率分布。k 个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k 的卡方分布。卡方分布常用于假设检验置信区间的计算。

卡方分布的数学定义

  若k 个随机变量Z1、……、Zk 相互独立,且数学期望为0、方差为 1(即服从标准正态分布),则随机变量X

X=\sum_{n=1}^k Z_n^2

被称为服从自由度为 k 的卡方分布,记作

X\ \sim\ \chi^2(k)

卡方分布的特征

  卡方分布的概率密度函数为:

f_k(x)= \frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}

其中x≥0, 当x≤0时fk(x) = 0。这里Γ代表Gamma 函数。


  卡方分布的累积分布函数为:

F_k(x)=\frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}

其中γ(k,z)为不完全Gamma函数

在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。此外许多表格计算软件如OpenOffice.org Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。

卡方分布可以用来测试随机变量之间是否相互独立,也可用来检测统计模型是否符合实际要求。

自由度为 k 的卡方变量的平均值是 k,方差是 2k。 卡方分布是伽玛分布的一个特例,它的熵为:

H = \int_{-\infty}^\infty f(x)\ln(f(x)) dx = \frac{k}{2} + \ln \left( 2 \Gamma \left( \frac{k}{2} \right) \right) + \left(1 - \frac{k}{2}\right) \psi(k/2)

其中ψ(x) 是 Digamma function。

卡方变数与 Gamma变数的关系

  当Gamma变数频率(λ)为1/2 时,α 的2倍为卡方变数之自由度(Degree of freedom)

即: r.v. Y = \chi^2 \left(U\right) = \Gamma \left( \frac{U}{2} , \frac{1}{2}\right)

E \left( \chi^2 \left(U\right) \right) = E \left( Y \right) = \frac{\alpha}{\lambda} = \frac{\frac{U}{2}}{\frac{1}{2}} = U

Var \left( \chi^2 \left(U\right) \right) = Var \left( Y \right) = \frac{\alpha}{\lambda^2} = \frac{\frac{U}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = 2U

卡方变数之期望值=自由度卡方变数之方差=两倍自由度

  卡方分布

参数k > 0, 自由度
值域x \in [0; +\infty),
概率密度函数\frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2},
累积分布函数(cdf)\frac{\gamma(k/2,x/2)} {\Gamma(k/2)},
期望值k,
中位数大约k − 2 / 3,
众数k-2, ifk\geq 2,
方差2,k,
偏态\sqrt{8/k},
峰态12/k,
熵值\frac{k}{2}\!+\!\ln(2\Gamma(k/2))\!+\! (1\!-\!k/2)\psi(k/2)
动差生成函数(mgf)(1-2\,t)^{-k/2},2t<1,
特征函数(1-2\,i\,t)^{-k/2},
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评论(共21条)

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123.181.179.* 在 2013年12月23日 14:20 发表

对于一些非学术类的词条,评论的人很多,而对于这种真正核心学术的东西,竟然看不到多少人的评论,其实这没太大意义。想学的自然上网去学,其余的都是哗众取宠,都是乌合之众,虽然写着学到了多少东西,还评论说得对,其实根本都是口是心非,或许他们根本不知道这个词条的真正含义。要真是个学术网站,没必要做的像个科普网站一样,这种网站应该是定向的,对专业人士的,而不是对大众开放,毫无意义,比如这个卡方分布,有几个闲人明白?学术百科可不是百科全书,学术就是学术好吧?

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202.119.40.* 在 2014年7月5日 15:52 发表

123.181.179.* 在 2013年12月23日 14:20 发表

对于一些非学术类的词条,评论的人很多,而对于这种真正核心学术的东西,竟然看不到多少人的评论,其实这没太大意义。想学的自然上网去学,其余的都是哗众取宠,都是乌合之众,虽然写着学到了多少东西,还评论说得对,其实根本都是口是心非,或许他们根本不知道这个词条的真正含义。要真是个学术网站,没必要做的像个科普网站一样,这种网站应该是定向的,对专业人士的,而不是对大众开放,毫无意义,比如这个卡方分布,有几个闲人明白?学术百科可不是百科全书,学术就是学术好吧?

看不懂你要说什么……可不可以补充一个正态分布推导卡方分布的证明啊

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李志云 (Talk | 贡献) 在 2014年7月17日 11:26 发表

202.119.40.* 在 2014年7月5日 15:52 发表

看不懂你要说什么……可不可以补充一个正态分布推导卡方分布的证明啊

高级统计学里都有的,关于正态分布推导卡方分布的过程、t分布、f分布等等。

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70.160.113.* 在 2015年4月7日 03:01 发表

123.181.179.* 在 2013年12月23日 14:20 发表

对于一些非学术类的词条,评论的人很多,而对于这种真正核心学术的东西,竟然看不到多少人的评论,其实这没太大意义。想学的自然上网去学,其余的都是哗众取宠,都是乌合之众,虽然写着学到了多少东西,还评论说得对,其实根本都是口是心非,或许他们根本不知道这个词条的真正含义。要真是个学术网站,没必要做的像个科普网站一样,这种网站应该是定向的,对专业人士的,而不是对大众开放,毫无意义,比如这个卡方分布,有几个闲人明白?学术百科可不是百科全书,学术就是学术好吧?

以上的逻辑和断句,不仅“学术”,而且“专业”,真是让人心服口服。

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202.100.19.* 在 2015年6月4日 17:13 发表

李志云 (Talk | 贡献) 在 2014年7月17日 11:26 发表

高级统计学里都有的,关于正态分布推导卡方分布的过程、t分布、f分布等等。

您能推荐几本高级统计学的书籍吗?

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124.191.17.* 在 2015年11月9日 14:47 发表

123.181.179.* 在 2013年12月23日 14:20 发表

对于一些非学术类的词条,评论的人很多,而对于这种真正核心学术的东西,竟然看不到多少人的评论,其实这没太大意义。想学的自然上网去学,其余的都是哗众取宠,都是乌合之众,虽然写着学到了多少东西,还评论说得对,其实根本都是口是心非,或许他们根本不知道这个词条的真正含义。要真是个学术网站,没必要做的像个科普网站一样,这种网站应该是定向的,对专业人士的,而不是对大众开放,毫无意义,比如这个卡方分布,有几个闲人明白?学术百科可不是百科全书,学术就是学术好吧?

学术的最终目的是什么? 开口闭口学术透着一股浓浓的优越感,真是吓死宝宝了。 专业人士,不对大众开放,瞧瞧这自诩精英阶级的嘴脸。 吓得我还以为先生您生下来就戴着眼镜开始学术研究了呢。

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117.136.4.* 在 2015年12月23日 20:41 发表

123.181.179.* 在 2013年12月23日 14:20 发表

对于一些非学术类的词条,评论的人很多,而对于这种真正核心学术的东西,竟然看不到多少人的评论,其实这没太大意义。想学的自然上网去学,其余的都是哗众取宠,都是乌合之众,虽然写着学到了多少东西,还评论说得对,其实根本都是口是心非,或许他们根本不知道这个词条的真正含义。要真是个学术网站,没必要做的像个科普网站一样,这种网站应该是定向的,对专业人士的,而不是对大众开放,毫无意义,比如这个卡方分布,有几个闲人明白?学术百科可不是百科全书,学术就是学术好吧?

大学普通课程,谢谢。

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117.136.9.* 在 2016年2月15日 15:25 发表

李志云 (Talk | 贡献) 在 2014年7月17日 11:26 发表

高级统计学里都有的,关于正态分布推导卡方分布的过程、t分布、f分布等等。

可否推荐一本高级统计学的书?谢谢

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49.214.18.* 在 2016年3月5日 00:08 发表

不完全學術性質,這是基礎統計學導論常識而已

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117.136.61.* 在 2016年11月21日 15:15 发表

吓死宝宝了

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202.120.57.* 在 2016年12月5日 14:12 发表

这不是统计学基础吗。。

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46.101.252.* 在 2016年12月19日 11:02 发表

只要是个大学生差不多都知道吧。。。。关学术什么事

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49.52.46.* 在 2017年1月4日 14:34 发表

123.181.179.* 在 2013年12月23日 14:20 发表

对于一些非学术类的词条,评论的人很多,而对于这种真正核心学术的东西,竟然看不到多少人的评论,其实这没太大意义。想学的自然上网去学,其余的都是哗众取宠,都是乌合之众,虽然写着学到了多少东西,还评论说得对,其实根本都是口是心非,或许他们根本不知道这个词条的真正含义。要真是个学术网站,没必要做的像个科普网站一样,这种网站应该是定向的,对专业人士的,而不是对大众开放,毫无意义,比如这个卡方分布,有几个闲人明白?学术百科可不是百科全书,学术就是学术好吧?

什么算闲人啊 看来你是真闲才写这么一大段和卡方分布一点关系都没的评论 你问问现在的大学生谁不知道卡方分布啊

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1.30.161.* 在 2017年2月13日 15:50 发表

123.181.179.* 在 2013年12月23日 14:20 发表

对于一些非学术类的词条,评论的人很多,而对于这种真正核心学术的东西,竟然看不到多少人的评论,其实这没太大意义。想学的自然上网去学,其余的都是哗众取宠,都是乌合之众,虽然写着学到了多少东西,还评论说得对,其实根本都是口是心非,或许他们根本不知道这个词条的真正含义。要真是个学术网站,没必要做的像个科普网站一样,这种网站应该是定向的,对专业人士的,而不是对大众开放,毫无意义,比如这个卡方分布,有几个闲人明白?学术百科可不是百科全书,学术就是学术好吧?

也许,大一,数理统计必修

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101.226.61.* 在 2017年4月19日 15:11 发表

一个个装个逼,我想看一下这个卡方分布,

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123.150.182.* 在 2017年10月31日 21:46 发表

202.120.57.* 在 2016年12月5日 14:12 发表

这不是统计学基础吗。。

概率统计那本书里的卡方分布只是卡方分布的一个特殊情况,即上面所说的,一般大学生也就知道这个特殊的,除非学过高级统计吧,我看的心理统计中的概念就比这个广泛多了,如果想了解一下,可以简单的看张厚粲的《现代心理与教育统计学》第四版P187-189

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117.136.2.* 在 2018年6月23日 10:40 发表

不就是个统计的基础吗?基本上不是专业性特别强的专业(医学)其他都有学到吧?什么学术不学术的?

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112.90.75.* 在 2018年8月20日 20:15 发表

123.181.179.* 在 2013年12月23日 14:20 发表

对于一些非学术类的词条,评论的人很多,而对于这种真正核心学术的东西,竟然看不到多少人的评论,其实这没太大意义。想学的自然上网去学,其余的都是哗众取宠,都是乌合之众,虽然写着学到了多少东西,还评论说得对,其实根本都是口是心非,或许他们根本不知道这个词条的真正含义。要真是个学术网站,没必要做的像个科普网站一样,这种网站应该是定向的,对专业人士的,而不是对大众开放,毫无意义,比如这个卡方分布,有几个闲人明白?学术百科可不是百科全书,学术就是学术好吧?

有理,本人学生,总想快速找到精准的琐碎知识,希望有权威的学术问答

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183.3.255.* 在 2018年8月20日 20:15 发表

123.181.179.* 在 2013年12月23日 14:20 发表

对于一些非学术类的词条,评论的人很多,而对于这种真正核心学术的东西,竟然看不到多少人的评论,其实这没太大意义。想学的自然上网去学,其余的都是哗众取宠,都是乌合之众,虽然写着学到了多少东西,还评论说得对,其实根本都是口是心非,或许他们根本不知道这个词条的真正含义。要真是个学术网站,没必要做的像个科普网站一样,这种网站应该是定向的,对专业人士的,而不是对大众开放,毫无意义,比如这个卡方分布,有几个闲人明白?学术百科可不是百科全书,学术就是学术好吧?

有理,本人学生,总想快速找到精准的琐碎知识,希望有权威的学术问答

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87.92.214.* 在 2020年11月29日 01:26 发表

不是高级统计啊 我们社会统计学都有...

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223.104.150.* 在 2021年3月24日 10:05 发表

额,我就想问一下有谁知道卡方分布累积分布函数公式里那个不完全伽马函数是上不完全还是下不完全啊?

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