总体标准差

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总体标准差(population standard deviation )

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总体标准差的概述

  总体标准差是反映研究总体内个体之间差异程度的一种统计指标,用σ表示。

  总体方差是一组资料中各数值与其算术平均数离差平方和的平均数。总体标准差则是总体方差的平方根。

  标准差是最常用和最重要的变异性测量。标准差以分布的平均数作为参照点,用考虑每个数据和平均 数之间的距离来测量变异性。它由数据是否接近或远离平均数来决定。也就是说,它考虑数据是聚集还是离散的?简单来说,标准差与数据到平均数的平均距离近似。

总体标准差的计算公式

  方差被定义为平方差的平均数。这个平均数为总和除以N,因此,总体方差的公式为:

  方差=\frac{SS}{N}

  标准差是方差的平方根,因此,总体标准差的公式为:

  标准差=\sqrt{\frac{SS}{N}}

  与平均数(μ)一样,方差和标准差是总体的参数,将用希腊字母表示。我们用σ表示总体标准差。为了强调标准差和方差之间的关系,我们用σ2表示总体方差。所以:

  总体标准差=\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{SS}{N}}

  总体方差=\sigma^2=\frac{SS}{N}

总体标准差及方差的估计

  总体参数中除了均值和比例的估计之外,还经常要对差异的情况作出估计,例如:一架飞机的电缆如果发生断裂,飞机就会市区控制,因而严格控制其质量非常必要。但只知道电缆的平均强度是否达到标准是不够的,因为如果电缆差异太大,电缆强度太强,都容易发生断裂,后果不堪设想。所以对于电缆强度质量不仅应知道均值,而且还应知道方差,即需要要对电缆的方差进行估计。

  对方差进行估计要用到Excel中的卡方分布反函数CHIINV。若已知总体方差σ2(总体方差未知时用样本方差S2代替总体方差)和样本数,对于给定的显著性水平σ,利用CHINV函数可以求出临界值X_\frac{\sigma}{2}^2X_{1-\frac{\sigma}{2}}^2(n-1),则总体方差σd的置信度为1 − σ的置信区间为

\frac{(n-1)S^2}{X_\frac{\sigma}{2}^2(n-1)},\frac{(n-1)S^2}{X_{1-\frac{\sigma}{2}}^2(n-1)})。

其中,{X_\frac{\sigma}{2}^2(n-1)}{X_{1-\frac{\sigma}{2}}^2(n-1)}

分别是自由度为n − 1X2分布的\frac{\sigma}{2}1\frac{\sigma}{2}}的水平的分位数。

总体标准差与方差的例题分析 [1]

  假设上市公司预计的每股收益率服从正态分布,现有8个公司组成一个简单随机样本,2007年的有关数据如表12-1所示,试建立总体标准差的95%的置信区间。

总体标准差

  设随机变量X表示预计的每股收益率,则由已知条件知X~N(μ,σ2),且σ2未知。具体操作步骤如下:

  (1)打开“《大学计算机应用高级教程》教学资源\第3篇Excel数据分析与处理\第12章 参数估计与分析\第12章 参数估计与分析.xls”工作簿,选定“例12-10方程估计”工作表。

  (2)将表12-1中的数据输入“方差估计工作表的相关单元格中,输入后的工作表如图12-20所示”

方差估计工作表

  (3)在D2单元格中输入样本容量的值8:在D3单元格计算样本方差得值2.618971。

  (4)在D4单元格中输入置信度95%。

  (5)在G2单元格中输入右侧置信度0.025:在G3但与昂输入左侧置信度0.975。

  说明:通常卡方分布函数所给出的是由右侧向左侧累加的概率。若置信度为95%,则右侧临界值的右侧面积称为右侧置信度,为0.025,左侧临界值的右侧面积为左侧置信度,它等于中心面积加上右侧置信度,即左侧置信度=0.95+0.025=03975。

  (6)选定G4单元格,依次选择“插入”→“函数”命令,打开“插入函数”对话框。

  (7)在“函数分类”列表中选择“统计”选项,在“函数名”列表中选择CHIINV选项,单击“确定”按钮,打开“函数参数”对话框,如图所示。

函数CHIINV对话框

  (8)在Probability文本框中输入右侧置信度0.025或G2,在Deg_freedom文本框中输入自由度7或“=D2-1”,单击“确定”按钮,计算结果为16.01276。

  (9)在G4单元格重复上面的步骤,在“函数对数”对话框中的Probability文本框中输入右侧置信度0.975或E3,自由度不变,单击“确定”按钮,计算结果为1.689869。

  (10)在D7单元格中输入公式“=((D2-1)*D3)/G4”,得方差下限为1.145。

  (11)在D8单元格中输入公司“=((D2-1)*D3)/G5”,得方差上限为10.849。

  (12)在D9和D10单元格中分别对D7和D8单元格开平方,即在D9单元格中输入公式“=SQRT(D7)”,按Enter键得1.070,在D10单元格输入公式“=SQRT(D8)”,按Enter键得3.294。结果如图所示。

结果

  故总体方差的95%的置信区间为(1.145,10.849),总体标准差的95%的置信区间为(1.070,3.294)。

  由此我们有95%的把握认为这些上市公司整体每股收益率的浮动范围在1.070~3.294之间。

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参考文献

  1. 陈尹立,陈国君主编.大学计算机应用高级教程.清华大学出版社,2008.12.
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