OC曲線

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　　當用一個確定的抽檢方案對產品批進行檢查時，產品批被接收的概率是隨產品批的批不合格品率p變化而變化的，它們之間的關係可以用一條曲線來表示，這條曲線稱為抽樣特性曲線，簡稱為OC曲線。

　　（1） 抽樣特性曲線和抽樣方案是一一對應關係，也就是說有一個抽樣方案就有對應的一條OC曲線；相反，有一條抽樣特性曲線，就有與之對應的一個抽檢方案。

　　（2） OC曲線是一條通過（0，1）和（1，0）兩點的連續曲線。

　　（3） OC曲線是一條嚴格單調下降的函數曲線，即對於p1L（p2）。

　　由於OC曲線與抽樣方案是一一對應的，故改變方案中的參數必導致OC曲線發生變化。但如何變化呢？它們之間的變化有什麼關係呢？下麵分三種情況進行討論。

　　（1） 保持n固定不變，令c變化，則如果c增大，則曲線向上變化，方案放寬；如果c減小，則曲線向下變形，方案加嚴。

　　（2） 保持c不變，令n變化，則如果n增大，則曲線向下變形，方案加嚴；反之n減小，則曲線向上變形，方案放寬。

　　（3） n，c同時發生變化，則如果n增大而c減小時，方案加嚴；若n減小而c增大時，則方案放寬；若n和c 同時增大或減小時，對OC曲線的影響比較複雜，要看n和c的變化幅度各有多大，不能一概而論。如果n和c儘量減少時，則方案加嚴；對於n和c不同量變化的情況，只要適當選取它們各自的變化幅度，就能使方案在（0，pt）和（pt，1）這兩個區間的一個區間上加嚴，而另一個區間上放寬，這一點對我們是很有用的。

　　我國不少企業在抽樣檢查時仍沿用百分比抽檢法，所謂百分比抽檢法，就是不論產品的批量大小，都規定相同的判定數，而樣本也是按照相同的比例從產品批中抽取。即如果仍用c表示判定數，用k表示抽樣比例繫數，則抽樣方案隨交檢批的批量變化而變化，可以表示為（kN|c）。通過OC曲線與抽樣方案變化的關係很容易弄清楚百分比抽檢的不合理性。因為，對一種產品進行質量檢查，不論交檢產品批的批量大小，都應採取寬嚴程度基本相同的方案。但是採用百分比抽檢時，不改變判定數c，只根據批量不同改變樣本容量n，因而對批量不同的產品批採用的方案的寬嚴程度明顯不同，批量大則嚴，批量小則寬，故很不合理。百分比抽檢實際是一種直覺的經驗做法，沒有科學依據，因此應註意糾正這種不合理的做法。

　　既然改變參數，方案對應的OC曲線就隨之改變，其檢查效果也就不同，那麼什麼樣的方案檢查效果好，其OC曲線應具有什麼形狀呢？下麵就來討論這一問題。

（1）理想方案的特性曲線

　　在進行產品質量檢查時，總是首先對產品批不合格品率規定一個值p0來作為判斷標準，即當批不合格品率p≤p0時，產品批為合格，而當p>p0時，產品批為不合格。因此，理想的抽樣方案應當滿足：當p≤p0時，接收概率L（p）=1，當p>p0時，L（p）=0。其抽樣特性曲線為兩段水平線，如下圖所示：

理想方案實際是不存在的，因為，只有進行全數檢查且準確無誤才能達到這種境界，但檢查難以做到沒有錯檢或漏檢的，所以，理想方案只是理論上存在的。

（2）線性抽檢方案的OC曲線

　　所謂線性方案就是（1|0）方案，因為OC曲線是一條直線而得名的，如下圖所示，

　　由上圖可見，線性抽檢方案是從產品批中隨機地抽取1個產品進行檢查，若這個產品不合格，則判產品為批不合格品，若這個產品不合格，則判產品批不合格。這個方案的抽樣特性函數為：

因為它和理想方案的差距太大，所以，這種方案的檢查效果是很差的。

　　理想方案雖然不存在，但這並不妨礙把它作為評價抽檢方案優劣的依據，一個抽檢方案的OC曲線和理想方案的OC曲線接近程度就是評價方案檢查效果的準則。為了衡量這種接近程度，通常是首先規定兩個參數p0和p1（p0<p1），p0是接收上限，即希望對p≤p0的產品批以儘可能高的概率接收；p1是拒收下限，即希望對 p≥p1的產品批以儘可能高的概率拒收。若記α=1-L（p0），β=L（p1），則可以通過這四個參數反映一個抽檢方案和理想方案的接近程度，當固定 p0，p1時，α、β越小的方案就越好；同理若對固定的α、β值，則p0和p1越接近越好；當α和β→0，p0→p1時，則抽檢方案就趨於理想方案。

　　抽樣檢驗是質量管理的工作之一，也是檢驗產品質量的一種十分重要、經濟的手段。在對某型產品進行裝箱檢驗時感到檢驗規範中的抽樣方案一樣本量過大，檢驗成本過高，經與顧客代表協商，增大AQL值，減少樣本量，採用抽樣方案二，降低了檢驗成本。產品批量N=125，方案一為(n=20|A_c = 0,R_e = 1),方案二為(n=5|A_c = 0,R_e = 1),下麵oc曲線對兩方案進行比較和評價。

　　一、接收概率與OC曲線

　　(1)接收概率

　　抽樣方案是實施抽樣檢驗的主要依據，計數抽樣方案包括樣本量力和判定數組A_c和R_e，A_c是樣本中發現的不合格品數的上限值，R_e是下限值。設採用一次抽樣方案(n|A_c,R_e)進行抽樣檢驗，從批中抽取包含力個單位產品的樣本，在這個樣本中包含的不合格品數實際上是一個隨機變數，用』表示這個隨機變數。由於“X=1”、“X=2”、…直到“X = A_c”都可以判斷出接收，而這些事件是互不相容的。用P_a(P)表示當批不合格品率為p時抽樣方案的接收概率，則有：

　　　　(1)

　　根據概率論知識可知，樣本中不合格品數唯一服從超幾何分佈，接收概率可由下式給出：

　　　　(2)

　　式中：N_p——批中總的不合格品數。

　　公式(2)計算起來較複雜，常採用二項分佈和泊松分佈近似計演算法以簡化運算。實際上當Ⅳ相對於力較大(如N≥10n)時，這三種公式的計算結果比較接近。國家標準GB／T 2828.1-2003《技術抽樣檢驗程式第1部分：按接受質量限(AQL)檢索的逐批檢驗抽樣計劃》標準中對方案接收概率的計算，均採用泊松分佈或二項分佈計算公式計算。當AQL>10.O時，按泊松分佈計算，適用於每百單位產品不合格數的檢驗，其公式為：

　　　　(3)

　　當AQL≤10.0時，按二項分佈計算，適用於不合格品百分數檢驗，其公式為：

　　　　(4)

　　(2)OC曲線

　　通常稱式(1)所給定的函數P_a(P)為抽樣方案(n|A_c,R_e))的抽檢特性函數，簡稱Oc函數。如果以p為橫坐標，以P_a(P)為縱坐標，則P和P_a(P)構成的一系列點所連成的曲線就是抽樣檢驗特性曲線(The Operating Characteristic Curve)，簡稱OC曲線。每個抽樣方案，都有它特定的OC曲線，在實際檢驗中，提交批的質量水平是不知道的，0C曲線形象地顯示了在任一假定的質量水平(即不合格品百分數)下批被接收的概率。OC曲線對於正確選取、使用抽樣方案及評價抽樣方案都有很重要的作用。

　　二、OC曲線影響因素分析

　　根據(2)式，一次抽樣方案的OC曲線與參數N、n、A_c有關，這些參數的不同組合，就得到不同形狀的OC曲線。下麵分析N、n、A_c對OC曲線的影響。

　　(1)批量N對OC曲線的影響

　　從上圖中A、B、C三種抽樣方案的OC曲線可以看出，N的變化對OC曲線的影響很小。當Ⅳ相對力很大時(n/N≤0.1)時，不考慮N的影響所以，通常把一次抽樣檢驗方案只寫出(n,A_c)就可以了。

　　(2)接收判定數A_c對OC曲線的影響

　　從上圖可以看出，當抽樣方案中的Ⅳ和刀確定，A_c由大變小時，0C曲線由右向左移動，而且傾斜度變大，說明方案的檢驗特性也在變化。當處於同樣的P值時，A_c值減少使接收概率P_a(p)降低，這就意味著方案變嚴。反之若A_c值增加，接收概率P_a(p)也在增加，則抽樣檢驗方案放寬。

　　另外，曲線由右向左移動並非是平行移動，曲線越向左移就變得更陡，使接收概率的變化率增大，也就使靈敏度增加。

　　(3)樣本量n對OC曲線的影響

　　從上圖可以看出，當方案的N和A_c確定，n增加使OC曲線由右向左移動，意味著方案變嚴。反之n減小，則曲線向上變形，方案放寬。

　　(4)樣本量力和接收數A，同時發生變化時對OC曲線的影響。

　　N、A_c，同時發生變化，則如果n增大而A_c。減小時，方案加嚴；若n減小而A_c，增大時，則方案放寬；若n和A_c，同時增大或減小時，對OC曲線的影響比較複雜，要看n和A_c的變化幅度各有多大，不能一概而論。如果n和A_c，儘量減少時，則方案加嚴；對於n和A_c不同量變化的情況，只要適當選取它們各自的變化幅度，就能使方案在(0,P_t)和(P_t,1)這兩個區間的一個區間上加嚴，而另一個區問上放寬，這一點對我們是很有用的。

　　三、抽樣方案優劣的判別

　　既然改變參數，方案對應的OC曲線就隨之改變，其檢查效果也就不同，那麼什麼樣的方案檢查效果好，其OC曲線應具有什麼形狀呢?下麵就來討論這一問題。

　　(1)理想方案的OC曲線

　　在進行產品質量檢查時，總是首先對產品批不合格品率規定一個值P₀(即AQL)來作為判斷標準，即當批不合格品率p≤P₀時，產品批為合格，而當p>P_0時，產品批為不合格。因此，理想的抽樣方案應當滿足：當p≤P₀時，接收概率P_a(p) = 1，當p > P₀時，P_a(p) = 0。其抽樣特性曲線為兩段水平線，見下圖。

　　理想方案實際是不存在的，因為，只有進行全數檢查且準確無誤才能達到這種境界，但檢查難以做到沒有錯檢或漏檢的，所以，理想方案只是理論上存在的。

　　(2)抽樣方案的辨別率

　　我們希望實際的OC曲線應儘可能接近於理想的OC曲線，才具有相當好的辨別力，使質量好的批能以高概率接收，對質量差的批應以高概率拒收。一個抽檢方案的OC曲線和理想方案的OC曲線接近程度就是評價方案檢查效果的準則。為了衡量這種接近程度，通常是首先規定兩個參數P₀和P₁(P₀ < P₁)，P₀是接收上限，即希望對p≤P_0的產品批以儘可能高的概率(一般認為大於95％)接收；P₁是拒收下限，即希望對p≥P₀的產品批以儘可能低的概率(一般認為小於10％)接收。常用辨別率伽定量地衡量某個抽樣方案的即抽樣方案區分好批與壞批的綜合能力，p足值越小，方案的鑒別力越高，說明不合格品率一旦增高，接收概率將迅速降低。OR表達式如下：

　　　　(5)

　　式中：P_0.10——接收概率為0.10時對應的質量水平；

　　P_0.95——接收概率為0.95時對應的質量水平。

　　(3)抽樣檢驗的兩類風險

　　抽樣檢驗是一個通過部分(樣本)去判斷總體(批)的統計推斷過程，因此就可能出現兩類錯誤判斷，即可能把合格的產品批錯判為不合格的產品批，這種錯判稱為第一類錯誤；還有可能把不合格的產品批判為合格品，後一類錯誤稱為第二類錯誤。

　　若規定p≤P₀的產品批為質量好的產品批，p≥P_1的產品批為質量很差的產品批。由於存在著兩類錯判，所以p≤P₀的產品批不能排除拒收的可能性，這一可能性的大小用α = 1 − P_a(P₀)來表示，稱為第一類錯判率，因這類錯判會給生產方帶來損失，口又稱為生產方風險。同樣p≥P_1的產品批不能排除接收的可能性，這種可能性的大小用β = 1 − P_a(P₁)表示，稱為第二類錯判率，由於第二類錯判率表示給使用方帶來的損失的大小，β又稱為使用方風險。兩種誤判的可能性可以從抽查特性曲線上看出來，如下圖所示。

　　P₀、P₁、α和β都是抽樣檢查的重要參數，對一個確定方案，可以通過這幾個參數去進行分析評價。若記α = 1 − P_a(P₀),β = 1 − P_a(P₁)，則可以通過這四個參數反映一個抽檢方案和理想方案的接近程度，當固定P₀、P₁時，α、β越小的方案就越好；同理若對固定的α、β值，則P₀和P₁越接近越好，即P₁ / P₀越小越好；當α和,，則抽檢方案就趨於理想方案。

　　四、用0C曲線對兩抽樣方案的評價

　　(1)OC曲線的比較

　　某型產品包裝檢驗兩抽樣方案中產品批量N=125，檢驗水平為S-3，方案一AQL=0.65，方案二AQL=2.5。利用公式(4)的OC函數，分別繪製兩方案的OC曲線，見下圖。

　　方案一：n=20；A_c = O，R_e = l。

　　方案二：n=5；A_c = O，R_e = 1。

　　從圖6兩條曲線可以看出，在同一質量水平p值下，方案一對應的接收概率要小於方案二對應的接收概率，可以說方案一比方案二嚴格。這與前面提到的樣本量對OC曲線的影響分析是一致的，即接收數A_c不變，樣本量力增加，曲線變陡，方案變嚴格。這裡所說的嚴是對生產方而言，但對使用方是有利的。

　　(2)辨別力的比較從OC曲線上還可以求得接收概率為0．1和0.95時，分別對應的質量水平P_0.10和P_0.95,根據公式(5)計算出兩方案的OR值，結果如下:

　　由於OR₁ > OR₂,因此可以說方案二的鑒別力高於方案一。

　　(3)兩種風險的比較設P₀ = 0.0l，P₁ = 0.1，兩方案的雙方風險分別見表l。

　　兩方案α與β的比較

　　從理論上講，當固定P₀、P₁時，α、β越小的方案就越好。但從數理統計角度看，β很小時，樣本量n將非常大。因此，使用方不能強求α=β或β≤α。使用方承擔的真實風險完全依賴於提供產品的質量，當有足夠理由證明產品質量很好時，使用方承擔的風險是很小的。因此，使用方應把註意力放在生產方的質量管理體系的功能上，以減小使用方風險。

　　對於逐批連續生產，是在生產方已具備了成批生產合格產品的情況下投產的，所以制定抽樣方案時優先考慮保護生產方^[3]。

　　根據以上原則，α₂ < α₁，因此，應選擇方案二。

• 通過對某型產品包裝檢驗兩種抽樣方案OC曲線的對比，可以看出方案一比方案二嚴格，對生產方不利；

• 通過對兩方案鑒別力的計算，方案二的鑒別力高於方案一；

• 從保護生產方的角度出發，我們應該選取α小的方案，即方案二；

• OC曲線是建立在概率論與數理統計基礎之上的抽樣檢驗特性曲線，利用它可以較好地確定合格質量水平(AQL)、生產方風險、消費方風險、檢驗水平；

• 抽樣方案的選擇實際上是買賣雙方質量損失和經濟性的平衡。根據OC曲線的特性，各單位可以根據自身產品的質量水平，確定合理的抽樣方案，使得產品批能以高概率被接收，從而降低生產方風險，提高生產效益；同時根據使用方提出的抽樣方案，加強對產品質量的監督和檢驗，調整生產，從而達到生產方和使用方雙贏的目的。

• 接收概率