二項分佈

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二項分佈（Binomial distribution）

　　二項分佈是一種具有廣泛用途的離散型隨機變數的概率分佈，它是由貝努里始創的，所以又叫貝努里分佈。

　　二項分佈是指統計變數中只有性質不同的兩項群體的概率分佈。所謂兩項群體是按兩種不同性質劃分的統計變數，是二項試驗的結果。即各個變數都可歸為兩個不同性質中的一個，兩個觀測值是對立的。因而兩項分佈又可說是兩個對立事件的概率分佈。

　　二項分佈用符號b(x．n．p)，表示在n次試驗中有x次成功，成功的概率為p。

　　二項分佈的概率函數可寫作：

　　b(x．n．p)=

　　式中x＝0、1、2、3．．．．．n為正整數

　　兩項分佈中含有兩個參數n與p，當它們的值已知時，便可計算出分佈列中各概率的值。

　　例1 擲硬幣試驗。有10個硬幣擲一次，或1個硬幣擲十次。問五次正面向上的概率是多少?

　　解：根據題意n＝10，p＝q＝1/2，x＝5

　　b(5、l0、1/2) =

　　=

　　=

　　= 0．24609

　　所以五次正面向上的概率為0．24609

　　此題若問五次及五次以上正面向上的概率是多少?

　　解：此題要求出五次及五次以上正面向上的概率之和。正面有五次、六次、七次、八次、九次、十次。依公式5—10應為：

　　= 252/1024+210/1024+120/1024+45/1024+10/1024+1/1024

　　= 638/1024

　　= 0．623

　　五次及五次以上正面向上的概率為0．623

　　此題各項展開式的繫數，若用楊輝三角計算也十分方便。讀者：前面的楊輝三角寫到(p + q)¹0。試比較五次及五次以—LK面向；的各項繫數是否為252、210、120、45、10、1。

　　(一)二項分佈是離散型分佈，概率直方圖是躍階式的。因為x為不連續變數，用概率條圖表示更合適，用直方圖表示只是為了更形象些。

　　1．當p＝q時圖形是對稱的

　　例2 (p + q)⁶，p=q＝1/2，各項的概率可寫作：

　　p⁶ + 6p⁵q + 15p⁴q² + 20p³q³ + 15p²q⁴ + 6p^lq⁵ + q⁶

　　= 1/64+6/64+15/64+20/64+15/64+6/64+1/64

　　= 1

　　2．當p≠q時，直方圖呈偏態，p<q與p>q的偏斜方向相反。如果n很大，即使p≠q，偏態逐漸降低，最終成正態分佈，二項分佈的極限分佈為正態分佈。故當n很大時，二項分佈的概率可用正態分佈的概率作為近似值。何謂n很大呢?一般規定：當p<q且np≥5，或p>q且nq≥5，這時的n就被認為很大，可以用正態分佈的概率作為近似值了。

　　(二)二項分佈的平均數與標準差

　　如果二項分佈滿足p<q，np≥5，(或p>q，np≥5)時，二項分佈接近正態分佈。這時，也僅僅在這時，二項分佈的x變數(即成功的次數)具有如下性質：

　　μ = np (5—10a)

　　 (5—10b)

　　即x變數具有μ = np , 的正態分佈。

　　式中n為獨立試驗的次數，

　　p為成功事件的概率，q＝1- p。 由於n很大時二項分佈逼近正態分佈，其平均數，標準差是根據理論推導而來的，故用μ和σ而不用X和S表示。它們的含意是指在二項試驗中，成功的次數的平均數μ = np ，成功次數的分散程 。例如一個擲10枚硬幣的試驗，出現正面向上的平均次數為5次(μ= np＝)，正面向上的散佈程度為10×（1/2）×（1/2）＝ 1．58(次)，這是根據理論的計算，而在實際試驗中，有的人可得10個正面向上，有人得9個、8個……，人數越多，正面向上的平均數越接近5，分散程度越接近1．58。

　　1．各觀察單位只能具有相互對立的一種結果，如陽性或陰性，生存或死亡等，屬於兩分類資料。

　　2．已知發生某一結果（陽性）的概率為π，其對立結果的概率為1-π，實際工作中要求π是從大量觀察中獲得比較穩定的數值。

　　3．n次試驗在相同條件下進行，且各個觀察單位的觀察結果相互獨立，即每個觀察單位的觀察結果不會影響到其他觀察單位的結果。如要求疾病無傳染性、無家族性等。

　　項分佈在心理與教育研究中，主要用於解決含有機遇性質的問題。所謂機遇問題，即指在實驗或調查中，實驗結果可能是由 ?猜測而造成的。比如，選擇題目的回答，劃對劃錯，可能完全由猜測造成。凡此類問題，欲區分由猜測而造成的結果與真實的結果之間的界限，就要應用二項分佈來解決。

　　例3有正誤題10題，問答題者答對幾題才能認為他是真會，或者說答對幾題，才能認為不是出於猜測因素?

　　此題p＝q=1/2，即猜對猜錯的概率各為0．5。np≥5，故此二項分佈接近正態分佈：

　　＝5

　　根據正態分佈概率，當Z=1.645時，該點以下包含了全體的95％。如果用原分數表示，則為

　　=7.6≈8

　　它的意義是，完全憑猜測，10題中猜對8題以下的可能性為95％，猜對8、9、10題的概率只5％。因此可以推論說，答對8題以上者不是憑猜測，而是會答。但應該明確：作此結論，也仍然有犯錯誤的可能，即那些完全靠猜測的人也有5％的可能性答對8、9、10道題。

　　此題的概率值，還可用二項分佈函數直接計算，亦得與正態分佈近似的結果：

　　b(8 10 0.5)＝C₁0²p⁸q² ＝ ＝ 45/1024

　　b(9 10 0.5)＝C₁0¹p⁹q¹ ＝ ＝ 10/1024

　　b(10 10 0.5) ＝C₁0⁰p¹0＝ 1/1024

　　根據概率加法，答對8題及其以上的總概率為：45/1024+10/1024+1/1024＝56/1024 = 0．0547 同理，可計算8題以下的概率為 95％。(近似)．

　　例4有10道多重選擇題，每題有5個答案，其中只有一個是正確的。問答對幾題才能說不是猜的結果?

　　此題n＝10，p＝1/5 = 0．2，q = 0．8，np<5，故此題不接近正態分佈，不能用正態分佈計算概率，而應直接用二項分佈函數計算猜時各題數的概率：

　　b(10、10、0.2)＝＝＝0.000000102

　　b(9、10、0.2)=＝＝0.000004096

　　b(8、10、0.2)= ＝＝0.000073728

　　b(7、10、0.2)＝＝＝0.000786432

　　b(6、10、0.2)＝＝＝0.00550524

　　b(5、10、0.2)＝＝＝0.026424115

　　b(4、10、0.2)＝＝＝0.088080384

　　根據以上所計算的猜對各題數的概率，可用概率加法求得猜對5題及5題以上的概率為0．03279，不足5％，故可推論說答對5題以上者可算真會，作此結論仍有3．3％犯錯誤的可能。

　　若上例中題數增加到30題，則np>5，就可用正態分佈的概率計算：

　　解：＝6

　　 =2.191

　　X＝μ+1.645×σ=6 +1.645×2.191＝9.6

　　因此可得結論，答對10題或10題以上，才能被認為是真會。作此結論犯錯誤的概率為5％。

　　如果想使推論犯錯誤的概率降為1％，則根據正態分佈可求得此時的z＝2.33，使用相同的計算方法，只將2.33代替1.645，可求得臨界的分數(或答對的題數)。