離散型隨機變數

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離散型隨機變數(Discrete Type Random Variable)

目錄

什麼是離散型隨機變數[1]

  設X是一個隨機變數,如果它全部可能的取值只有有限個或可數無窮個,則稱X為一個離散型隨機變數。

  設X1X2,…是隨機變數X的所有可能取值,對每個取值XiX = xi是其樣本空間S上的一個事件,為描述隨機變數X,還需知道這些事件發生的可能性(概率)。

  定義1 設離散型隨機變數X的所有可能取值為xi(i=1,2,…),

  P(X = xi) = Pi,i = 1,2,...

  稱為X的概率分佈或分佈律,也稱概率函數。

  常用表格形式來表示X的概率分佈:

Xx1x2...xn...
Pip1p2...pn...

  由概率的定義,Pi(i = 1,2,...)必然滿足:

  (1)P_i \ge 0,i=1, 2, …;

  (2)
Pi = 1
i

  【例1】 某籃球運動員投中籃圈的概率是0.9,求他兩次獨立投籃投中次數X的概率分佈.[2]

  解 X可取0,1,2為值,記Ai={第i次投中籃圈},i=1,2,則P(A1) = P(A2) = 0.9

  P(X=0)=P(\overline{A_1} \overline{A_2}) = P(\overline{A_1})P(\overline{A_2})=0.1 \times 0.1=0.01

  P(X=1)=P(A_1 \overline{A_2} \cup \overline{A_1}A_2)

  =P(A_1 \overline{A_2})+P(\overline{A_1} A_2) = 0.9 \times 0.1 + 0.1 \times 0.9 = 0.18

  P(X=2)=P(A_1 A_2)=P(A_1)P(A_2)=0.9 \times 0.9=0.81

  且 PX = 0 + PX = 1 + Px = 2 = 1

於是,X的概率分佈可表示為

X012
P_i0.010.180.81

  關於分佈律的說明

  若已知一個離散型隨機變數X的概率分佈:

Xx_1x_2...x_n...
P_ip_1p_2...p_n...

  則可以求得X所生成的任何事件的概率,特別地,

  P{a \le X \le b}=P{ \bigcup_{a \le x_i \le b}{X=x_i}}= \sum_{a \le x_i \le b}p_i

  例如,設X的概率分佈由例1給出,則

  P{x<2}=P{x=0}+P{X=l}=0.0l+0.18=0.19

  P{-2 \le X \le 6}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1

常見的離散型隨機變數的分佈[3]

  (1)兩點分佈(0-1分佈)

  若隨機變數X只可能取0和1兩個值,且它的分佈列為P{X=1}=p,PX = 0 = lP(0 < P < 1),則稱X服從參數為p的兩點分佈,記作X~B(1, p)。其分佈函數為

F(X) = \begin{cases} 0, & x<0 \\ 1-p, & 0 \le x <1 \\ 1, & x \ge 1 \end{cases}

  (2)二項分佈

  若隨機變數X的分佈律為P{X=k}=C_n^k p^k (1-p)^{n-k}(k=0, 1, 2, ..., n) 且0<P<1,則稱X服從參數為n,P的二項分佈,記作x~B(n,P)。


  (3)泊松(Poisson)分佈

  若隨機變數X所有可能取值為0,1,2,…,它取各個值的概率為

  P{X=k}=\frac{\lambda ^k}{k!} e^{- \lambda},(k=0,1,2,…)

  式中:λ > 0是常數,則稱X服從參數為 λ泊松分佈,記為X ~ Π(λ)

參考文獻

  1. 徐建豪,陸健華.概率論與數理統計 第三版 簡明版.中國人民大學出版社,2009.08.
  2. [吳贛昌.概率論與數理統計 農林類.中國人民大學出版社,2009.06]
  3. 張景雄.第3章 數理統計基礎 空間信息的尺度、不確定性與融合.武漢大學出版社,2008.12.
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評論(共1條)

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M id 429188ae3d7316bdba06c273d2b05f79 (討論 | 貢獻) 在 2020年10月11日 22:50 發表

謝謝,例子舉得很明白

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