離散型隨機變數

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離散型隨機變數(Discrete Type Random Variable)

　　設X是一個隨機變數，如果它全部可能的取值只有有限個或可數無窮個，則稱X為一個離散型隨機變數。

　　設X₁，X₂，…是隨機變數X的所有可能取值，對每個取值X_i，X = x_i是其樣本空間S上的一個事件，為描述隨機變數X，還需知道這些事件發生的可能性(概率)。

　　定義1 設離散型隨機變數X的所有可能取值為x_i(i=1，2，…)，

　　P(X = x_i) = P_i,i = 1,2,...

　　稱為X的概率分佈或分佈律，也稱概率函數。

　　常用表格形式來表示X的概率分佈：

　　由概率的定義，P_i(i = 1,2,...)必然滿足：

　　(1)，i=1, 2, …；

　　【例1】 某籃球運動員投中籃圈的概率是0.9，求他兩次獨立投籃投中次數X的概率分佈．^[2]

　　解 X可取0，1，2為值，記A_i={第i次投中籃圈}，i=1，2，則P(A₁) = P(A₂) = 0.9

　　，

　　，

　　且 PX = 0 + PX = 1 + Px = 2 = 1

於是，X的概率分佈可表示為

　　關於分佈律的說明

　　若已知一個離散型隨機變數X的概率分佈：

　　則可以求得X所生成的任何事件的概率，特別地，

　　，

　　例如，設X的概率分佈由例1給出，則

　　P{x<2}=P{x=0}+P{X=l}=0.0l+0.18=0.19

　　P{}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1

　　(1)兩點分佈(0-1分佈)

　　若隨機變數X只可能取0和1兩個值，且它的分佈列為P{X=1}=p，PX = 0 = l − P(0 < P < 1)，則稱X服從參數為p的兩點分佈，記作X~B(1, p)。其分佈函數為

　　(2)二項分佈

　　若隨機變數X的分佈律為(k=0, 1, 2, ..., n) 且0<P<1，則稱X服從參數為n，P的二項分佈，記作x~B(n，P)。

　　(3)泊松(Poisson)分佈

　　若隨機變數X所有可能取值為0，1，2，…，它取各個值的概率為

　　，(k=0,1,2，…)

　　式中：λ > 0是常數，則稱X服從參數為 λ 的泊松分佈，記為X ~ Π(λ)。