离散型随机变量

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离散型随机变量(Discrete Type Random Variable)

　　设X是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X为一个离散型随机变量。

　　设X₁，X₂，…是随机变量X的所有可能取值，对每个取值X_i，X = x_i是其样本空间S上的一个事件，为描述随机变量X，还需知道这些事件发生的可能性(概率)。

　　定义1 设离散型随机变量X的所有可能取值为x_i(i=1，2，…)，

　　P(X = x_i) = P_i,i = 1,2,...

　　称为X的概率分布或分布律，也称概率函数。

　　常用表格形式来表示X的概率分布：

　　由概率的定义，P_i(i = 1,2,...)必然满足：

　　(1)，i=1, 2, …；

　　【例1】 某篮球运动员投中篮圈的概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布．^[2]

　　解 X可取0，1，2为值，记A_i={第i次投中篮圈}，i=1，2，则P(A₁) = P(A₂) = 0.9

　　，

　　，

　　且 PX = 0 + PX = 1 + Px = 2 = 1

于是，X的概率分布可表示为

　　关于分布律的说明

　　若已知一个离散型随机变量X的概率分布：

　　则可以求得X所生成的任何事件的概率，特别地，

　　，

　　例如，设X的概率分布由例1给出，则

　　P{x<2}=P{x=0}+P{X=l}=0.0l+0.18=0.19

　　P{}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1

　　(1)两点分布(0-1分布)

　　若随机变量X只可能取0和1两个值，且它的分布列为P{X=1}=p，PX = 0 = l − P(0 < P < 1)，则称X服从参数为p的两点分布，记作X~B(1, p)。其分布函数为

　　(2)二项分布

　　若随机变量X的分布律为(k=0, 1, 2, ..., n) 且0<P<1，则称X服从参数为n，P的二项分布，记作x~B(n，P)。

　　(3)泊松(Poisson)分布

　　若随机变量X所有可能取值为0，1，2，…，它取各个值的概率为

　　，(k=0,1,2，…)

　　式中：λ > 0是常数，则称X服从参数为 λ 的泊松分布，记为X ~ Π(λ)。