數理統計

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數理統計(Mathematics Statistics)

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什麼是數理統計

  數理統計是以概率論為基礎,研究社會和自然界中大量隨機現象數量變化基本規律的一種方法。其主要內容有參數估計假設檢驗相關分析試驗設計非參數統計過程統計等。

數理統計的特點

  它以隨機現象的觀察試驗取得資料作為出發點,以概率論為理論基礎來研究隨機現象.根據資料為隨機現象選擇數學模型,且利用數學資料來驗證數學模型是否合適,在合適的基礎上再研究它的特點,性質和規律性.

  例如燈泡廠生產燈泡,將某天的產品中抽出幾個進行試驗.試驗前不知道該天燈泡的壽命有多長,概率和其分佈情況.試驗後得到這幾個燈泡的壽命作為資料,從中推測整批生產燈泡的使用壽命.合格率等.為了研究它的分佈,利用概率論提供的數學模型進行指數分佈,求出 值,再利用幾天的抽樣試驗來確定指數分佈的合適性.

數理統計的起源與發展

  數理統計是伴隨著概率論的發展而發展起來的一個數學分支,研究如何有效的由集、整理和分析受隨機因素影響的數據,並對所考慮的問題作出推斷或預測,為採取某種決策和行動提供依據或建議.

  數理統計起源於人口統計社會調查等各種描述性統計活動.公元前2250年,大禹治水,根據山川土質,人力和物力的多寡,分全國為九州;殷周時代實行井田制,按人口分地,進行了土地與戶口的統計;春秋時代常以兵車多寡論諸侯實力,可見已進行了軍事調查和比較;漢代全國戶口與年齡的統計數字有據可查;明初編製了黃冊與魚鱗冊,黃冊乃全國戶口名冊,魚鱗冊系全國土地圖籍,繪有地形,完全具有現代統計圖表的性質.可見,我國曆代對統計工作非常重視,只是缺少系統研究,未形成專門的著作.

  在西方各國,統計工作開始於公元前3050年,埃及建造金字塔,為征收建築費用,對全國人口進行普查和統計.到了亞里土多德時代,統計工作開始往理性演變.這時,統計在衛生、保險、國內外貿易、軍事和行政管理方面的應用,都有詳細的記載.統計一詞,就是從義大利一詞逐步演變而成的.

  數理統計的發展大致可分為古典時期、近代時期和現代時期三個階段.

  古典時期(19世紀以前).

  這是描述性的統計學形成和發展階段,是數理統計的萌芽時期.在這一時期里,瑞土數學家貝努里(1654-1795年)較早地系統論證了大數定律.1763年,英國數學家貝葉斯提出了一種歸納推理的理論,後被髮展為一種統計推斷方法――貝葉斯方法,開創了數理統計的先河.法國數學家棣莫佛(1667-1754)於1733年首次發現了正態分佈的密度函數.並計算出該曲線在各種不同區間內的概率,為整個大樣本理

  論奠定了基礎.1809年,德國數學家高斯(1777-1855)和法國數學家勒讓德(1752-1833)各自獨立地發現了最小二乘法,並應用於觀測數據的誤差分析.在數理統計的理論與應用方面都作出了重要貢獻,他不僅將數理統計應用到生物學,而且還應用到教育學和心理學的研究.並且詳細地論證了數理統計應用的廣泛性,他曾預言:"統計方法,可應用於各種學科的各個部門."

  近代時期(19世紀末至1845年)

  數理統計的主要分支建立,是數理統計的形成時期.上一世紀初,由於概率論的發展從理論上接近完備,加之工農業生產迫切需要,推動著這門學科的蓬勃發展.

  1889年,英國數學家皮爾遜(1857-1936)提出了矩估計法,次年又提出了頻率曲線的理論.並於1900年在德國數學家赫爾梅特在發現 c 2分佈的基礎上提出了c 2 檢驗,這是數理統計發展史上出現的第一個小樣本分佈.

  1908年,英國的統計學家戈塞特(1876-1937)創立了小樣本檢驗代替了大樣本檢驗的理論和方法(即t分佈和t檢驗法),這為數理統計的另一分支――多元分析奠定理論基礎.

  1912年,英國統計學家費歇(1890-1962)推廣了t檢驗法,同時發展了顯著性檢驗及估計和方差分析等數理統計新分支.

  這樣,數理統計的一些重要分支如假設檢驗回歸分析、方差分析、正交設計等有了其決定其面貌的內容和理論.數理統計成為應用廣泛、方法獨特的一門數學學科.

  現代時期(1945年以後)

  美籍羅馬尼亞數理統計學家瓦你德(1902-1950)致力於用數學方法使統計學精確化、嚴密化,取得了很多重要成果.他發展了決策理論,提出了一般的判別問題.創立了序貫分析理論,提出著名的序貫概率比檢法.瓦爾德的兩本著作《序貫分析》和《統計決策函數論》,被認為是數理髮展史上的經典之作.

  由於電腦的應用,推動了數理統計在理論研究和應用方面不斷地向縱深發展,並產生一些新的分支和邊緣性的新學科,如最優設計和非參數統計推斷等.

  當前,數理統計的應用範圍愈來愈廣泛,已滲透到許多科學領域,應用到國民經濟各個部門,成為科學研究不可缺少的工具.

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