序貫分析

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序貫分析(sequential analysis)

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什麼是序貫分析

  序貫分析數理統計學的一個分支。其源出於美國統計學家瓦爾德在1947年發表的一本同名著作。它研究的對象是所謂“序貫抽樣方案”,及如何用這種抽樣方案得到的樣本去作統計推斷

序貫分析的內容

  序貫抽樣方案是指在抽樣時,不事先規定總的抽樣個數(觀測或實驗次數),而是先抽少量樣本,根據其結果,再決定停止抽樣或繼續抽樣、抽多少,這樣下去,直至決定停止抽樣為止。反之,事先確定抽樣個數的那種抽樣方案,稱為固定抽樣方案。

  它研究的對象是所謂“序貫抽樣方案”,及如何用這種抽樣方案得到的樣本去作統計推斷。美國統計學家道奇和羅米格的二次抽樣方案是較早的一個序貫抽樣方案。1945年,施坦針對方差未知時估計和檢驗正態分佈的均值的問題,也提出了一個二次抽樣方案,據此序貫抽樣方案既可節省抽樣量,又可達到預定的推斷可靠程度及精確程度。

  第二次世界大戰時,為軍需驗收工作的需要,瓦爾德發展了一種一般性的序貫檢驗方法,叫做序貫概率比檢驗,此法在他的1947年的著作中有系統的介紹。瓦爾德的這種方法提供了根據各次觀測得到的樣本值接受原假設H0或接受備擇假設H1的臨界值的近似公式,也給出了這種檢驗法的平均抽樣次數和功效函數,併在1948年與美國統計學家沃爾福威茲一起,證明瞭在一切兩種錯誤概率分別不超過α和β的檢驗類中,上述序貫概率比檢驗所需平均抽樣次數最少。瓦爾德在其著作中也考慮了複合檢驗的問題,有許多統計學者研究了這種檢驗。瓦爾德的上述開創性工作引起了許多統計學者對序貫方法的註意,並繼續進行工作,從而使序貫分析形成為數理統計學的一個分支。除了檢驗問題以外,序貫方法在其他方面也有不少應用,如在一般的統計決策點估計區間估計等方面都有不少工作。

序貫分析的例子

  一個產品抽樣檢驗方案規定按批抽樣品20件,若其中不合格品件數不超過 3,則接收該批,否則拒收。在此,抽樣個數20是預定的,是固定抽樣。若方案規定為:第一批抽出3個,若全為不合格品,拒收該批,若其中不合格品件數為x1<3,則第二批再抽3-x1個,若全為不合格品,則拒收該批,若其中不合格品數為 x2<3-x1,則第三批再抽3-x1-x2個,這樣下去,直到抽滿20件或抽得 3個不合格品為止。這是一個序貫抽樣方案,其效果與前述固定抽樣方案相同,但抽樣個數平均講要節省些。此例中,抽樣個數是隨機的,但有一個不能超過的上限20。有的序貫抽樣方案,其可能抽樣個數無上限,例如,序貫概率比檢驗的抽樣個數就沒有上限。

  H.F.道奇和 H.G.羅米格的二次抽樣方案(見抽樣檢驗)是較早的一個序貫抽樣方案。1945年,C.施坦針對方差未知時估計和檢驗正態分佈的均值 μ(見數學期望)的問題,提出了一個二次抽樣方案。依此方案,在事先給定了l>0和0<α<1後,可作出均值μ的一個置信區間,其置信繫數(見區間估計)為1-α ,而長度不超過l。可以證明:當方差未知時,具有這種性質的置信區間在固定樣本的情況下不可能找到。

  由此可以看出序貫抽樣方案除了可節省抽樣量之外,還有一種作用,即為了達到預定的推斷可靠程度(這裡為置信繫數)及精確程度(這裡是以區間長度來刻畫),有時必須使用序貫抽樣。例如,估計一事件A的概率p(0<p<1),給定ε>0及0<α<1,要找到這樣的估計孨,使能以不小於1-α 的概率保證估計的相對誤差|(孨-p)/p|≤ε。可以證明,若用固定抽樣方案,事先指定自然數n,做n次試驗,每次觀察A是否發生,則不論n多麼大,具有上述性質的孨不存在。但用下述序貫抽樣方案可得到這樣的孨:作試驗,觀察A是否發生,設到A第一次發生時已作了n1次試驗,計算出,取其整數部分n2,再作n2次試驗,記n2次試驗中A出現的次數為m,令孨=m/n2,則有p(|孨-p|/p≤ε)≥1-α ,而估計孨具有所指定的性質。

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