有效資產組合

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有效資產組合（Efficient portfolio）

什麼是有效資產組合

　　有效資產組合是指在一定的收益水平上承擔最小的風險或在一定的風險水平上獲得最大收益的資產組合.在幾何分析法中,有效資產組合集是由一系列臨界線導出來的。

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有效資產組合選擇的幾何分析^[1]

圖（1）有效資產組合選擇的幾何分析

　　如圖(1)所示：橫坐標表示資產組合收益率的標準差 $δ p$ ,縱坐標表示資產組合的收益率 $\overline{r}_p$ ;設無風險利率為 $r f$ ,則根據文獻[2]可知:任何投資者的有效資產組合集為從點 $(O, r f)$ 出發通過點M的一條射線.其中點M即為給定無風險利率 $r f$ 下風險資產有效組合,所以無論投資者的收益-風險特征如何,他們所選擇的有效資產組合肯定是落在這條射線上:即由無風險資產和風險資產有效組合構成.至於不同投資者會選擇射線上的不同組合完全取決於其收益-風險偏好.投資者的收益-風險偏好可以用其無差異曲線表示.根據文獻[3]的描述可知無差異曲線是凸向橫軸!如圖(1)中的曲線I此時根據均值方差理論從投資者的不滿足性和風險厭惡性出發,可知投資者肯定會選擇其無差異曲線與線性有效集的切點,如圖(1)中的P點.並且可以判斷P點沿著射線離點 $(O, r f)$ 越遠,表明投資者的越是風險愛好型的；反之,表明投資者的越是風險厭惡型的.

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有效資產組合的數學描述^[1]

　　根據第一部分的定性分析,資者有效資產組合的選擇分三個步驟:

　　第一步尋求有效資產組合集;

　　第二步確定投資者的無差異曲線及其方程;

　　第三步根據投資者的不滿足性和風險厭惡性選擇有效資產組合,確定投資方案.

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有效資產組合集的形成

　　尋求有效資產組合集的實質即為從點 $(O, r f$ )出發的射線中與風險資產組合有效集相切的切點合集M的風險資產構成.根據圖(1)可知使得該射線與橫軸的夾角(設為 $δ$ )達到最大,所以此問題可歸結為(1)式表示的數學規劃問題.設市場上有N 種風險資產,此時無風險利率為 $r f, r i$ (i=1,2,3…N)表示第1種風險資產的收益率， $δ i$ (i=1,2,3…N)表示第1種風險資產的收益率的標準差， $δ i j$ (i,j=1,2,3…N. $i \ne j$ ) 表示任兩種風險資產的收益率的協方差.由這N種風險資產構成的組合P的期望收益率 $\overline{r}_p=\sum_{i=1}^N X_i R_i$ ,其標準差 $\delta_p=(\sum_{i=1}^N X_i ^2\delta_i ^2 +\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N X_i X_j\delta_ij)^{1/2}$ , $i \ne j$ ,若滿足（1）式條件，則組合P為風險資產組合M,並求 $X i$ ,確定風險資產構成.

　　 $\begin{cases}\theta=\frac{\overline{r}_p - r_f}{\delta_p}\\ \sum_{i=1}^N X_i =1 \end{cases}$ .(1)

　　(1)式為約束極值問題，因為 $r_f=1r_f=\sum_{i=1}^N X_i r_f$ ,將其帶入目標函數消去約束方程，則（1）式變成無約束極值問題，如（2）式.

　　 $\theta=\frac{\sum_{i=1}^N X_i(\overline{r}_i-r_f)}{(\sum_{i=1}^N X_i ^2\delta_i ^2 +\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N X_i X_j\delta_ij)^{1/2}}$ , $i\ne j$ . (2)

　　對於（2）式，為使 $θ$ 最大，即要求

　　 $\frac{\alpha\theta}{\alpha X_i}=0$ (i=1,2,…，N),若設 $X_i=\frac{Z_i}{\sum_{i=1}^N Z_i}$ ,則參照文獻[2] ^[2]給出的推導，整理並簡化得如下方程組（3）：

　　 $\overline{r}_i - r_f=Z_{1\delta 1 i}+Z_{2\delta 2 i}+...+Z_{n\delta 1 i }$ (i=1,2,3...,N) . (3)

　　方程組（3）有N個方程，N個未知數 $Z i$ (1,2,3...,N).因為 $r f,δ N i$ 已知， $Z i$ (1,2,3...,N)的解是確定的，從而 $X i$ 的解也是確定的，所以風險資產有效組合M隨之確定.此時，可求出\overline{r}_M,\delta_M，確定有效資產組合集，其為從點（O, $r f$ ）出發斜率為 $\frac{\overline{r}_M -r_f}{\delta_f}$ 的射線,該射線即為資本市場線,其方程為: