有效资产组合

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有效资产组合（Efficient portfolio）

什么是有效资产组合

　　有效资产组合是指在一定的收益水平上承担最小的风险或在一定的风险水平上获得最大收益的资产组合.在几何分析法中,有效资产组合集是由一系列临界线导出来的。

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有效资产组合选择的几何分析^[1]

图（1）有效资产组合选择的几何分析

　　如图(1)所示：横坐标表示资产组合收益率的标准差 $δ p$ ,纵坐标表示资产组合的收益率 $\overline{r}_p$ ;设无风险利率为 $r f$ ,则根据文献[2]可知:任何投资者的有效资产组合集为从点 $(O, r f)$ 出发通过点M的一条射线.其中点M即为给定无风险利率 $r f$ 下风险资产有效组合,所以无论投资者的收益-风险特征如何,他们所选择的有效资产组合肯定是落在这条射线上:即由无风险资产和风险资产有效组合构成.至于不同投资者会选择射线上的不同组合完全取决于其收益-风险偏好.投资者的收益-风险偏好可以用其无差异曲线表示.根据文献[3]的描述可知无差异曲线是凸向横轴!如图(1)中的曲线I此时根据均值方差理论从投资者的不满足性和风险厌恶性出发,可知投资者肯定会选择其无差异曲线与线性有效集的切点,如图(1)中的P点.并且可以判断P点沿着射线离点 $(O, r f)$ 越远,表明投资者的越是风险爱好型的；反之,表明投资者的越是风险厌恶型的.

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有效资产组合的数学描述^[1]

　　根据第一部分的定性分析,资者有效资产组合的选择分三个步骤:

　　第一步寻求有效资产组合集;

　　第二步确定投资者的无差异曲线及其方程;

　　第三步根据投资者的不满足性和风险厌恶性选择有效资产组合,确定投资方案.

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有效资产组合集的形成

　　寻求有效资产组合集的实质即为从点 $(O, r f$ )出发的射线中与风险资产组合有效集相切的切点合集M的风险资产构成.根据图(1)可知使得该射线与横轴的夹角(设为 $δ$ )达到最大,所以此问题可归结为(1)式表示的数学规划问题.设市场上有N 种风险资产,此时无风险利率为 $r f, r i$ (i=1,2,3…N)表示第1种风险资产的收益率， $δ i$ (i=1,2,3…N)表示第1种风险资产的收益率的标准差， $δ i j$ (i,j=1,2,3…N. $i \ne j$ ) 表示任两种风险资产的收益率的协方差.由这N种风险资产构成的组合P的期望收益率 $\overline{r}_p=\sum_{i=1}^N X_i R_i$ ,其标准差 $\delta_p=(\sum_{i=1}^N X_i ^2\delta_i ^2 +\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N X_i X_j\delta_ij)^{1/2}$ , $i \ne j$ ,若满足（1）式条件，则组合P为风险资产组合M,并求 $X i$ ,确定风险资产构成.

　　 $\begin{cases}\theta=\frac{\overline{r}_p - r_f}{\delta_p}\\ \sum_{i=1}^N X_i =1 \end{cases}$ .(1)

　　(1)式为约束极值问题，因为 $r_f=1r_f=\sum_{i=1}^N X_i r_f$ ,将其带入目标函数消去约束方程，则（1）式变成无约束极值问题，如（2）式.

　　 $\theta=\frac{\sum_{i=1}^N X_i(\overline{r}_i-r_f)}{(\sum_{i=1}^N X_i ^2\delta_i ^2 +\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N X_i X_j\delta_ij)^{1/2}}$ , $i\ne j$ . (2)

　　对于（2）式，为使 $θ$ 最大，即要求

　　 $\frac{\alpha\theta}{\alpha X_i}=0$ (i=1,2,…，N),若设 $X_i=\frac{Z_i}{\sum_{i=1}^N Z_i}$ ,则参照文献[2] ^[2]给出的推导，整理并简化得如下方程组（3）：

　　 $\overline{r}_i - r_f=Z_{1\delta 1 i}+Z_{2\delta 2 i}+...+Z_{n\delta 1 i }$ (i=1,2,3...,N) . (3)

　　方程组（3）有N个方程，N个未知数 $Z i$ (1,2,3...,N).因为 $r f,δ N i$ 已知， $Z i$ (1,2,3...,N)的解是确定的，从而 $X i$ 的解也是确定的，所以风险资产有效组合M随之确定.此时，可求出\overline{r}_M,\delta_M，确定有效资产组合集，其为从点（O, $r f$ ）出发斜率为 $\frac{\overline{r}_M -r_f}{\delta_f}$ 的射线,该射线即为资本市场线,其方程为: