有效资产组合

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有效资产组合(Efficient portfolio)

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什么是有效资产组合

  有效资产组合是指在一定的收益水平上承担最小的风险或在一定的风险水平上获得最大收益的资产组合.在几何分析法中,有效资产组合集是由一系列临界线导出来的。

有效资产组合选择的几何分析[1]

  
图(1) 有效资产组合选择的几何分析
图(1) 有效资产组合选择的几何分析

  如图(1)所示:横坐标表示资产组合收益率的标准差δp,纵坐标表示资产组合的收益率\overline{r}_p;设无风险利率为rf,则根据文献[2]可知:任何投资者的有效资产组合集为从点(O,rf)出发通过点M的一条射线.其中点M即为给定无风险利率rf下风险资产有效组合,所以无论投资者的收益-风险特征如何,他们所选择的有效资产组合肯定是落在这条射线上:即由无风险资产和风险资产有效组合构成.至于不同投资者会选择射线上的不同组合完全取决于其收益-风险偏好.投资者的收益-风险偏好可以用其无差异曲线表示.根据文献[3]的描述可知无差异曲线是凸向横轴!如图(1)中的曲线I此时根据均值方差理论从投资者的不满足性和风险厌恶性出发,可知投资者肯定会选择其无差异曲线与线性有效集的切点,如图(1)中的P点.并且可以判断P点沿着射线离点(O,rf)越远,表明投资者的越是风险爱好型的;反之,表明投资者的越是风险厌恶型的.

有效资产组合的数学描述[1]

  根据第一部分的定性分析,资者有效资产组合的选择分三个步骤:

  第一步寻求有效资产组合集;

  第二步确定投资者的无差异曲线及其方程;

  第三步根据投资者的不满足性和风险厌恶性选择有效资产组合,确定投资方案.

有效资产组合集的形成

  寻求有效资产组合集的实质即为从点(O,rf)出发的射线中与风险资产组合有效集相切的切点合集M的风险资产构成.根据图(1)可知使得该射线与横轴的夹角(设为δ)达到最大,所以此问题可归结为(1)式表示的数学规划问题.设市场上有N 种风险资产,此时无风险利率rf,ri(i=1,2,3…N)表示第1种风险资产的收益率,δi(i=1,2,3…N)表示第1种风险资产的收益率的标准差δij(i,j=1,2,3…N.i \ne j) 表示任两种风险资产收益率协方差.由这N种风险资产构成的组合P的期望收益率\overline{r}_p=\sum_{i=1}^N X_i R_i,其标准差 \delta_p=(\sum_{i=1}^N X_i ^2\delta_i ^2 +\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N X_i X_j\delta_ij)^{1/2},i \ne j,若满足(1)式条件,则组合P为风险资产组合M,并求Xi,确定风险资产构成.

  \begin{cases}\theta=\frac{\overline{r}_p - r_f}{\delta_p}\\ \sum_{i=1}^N X_i =1 \end{cases}.(1)

  (1)式为约束极值问题,因为r_f=1r_f=\sum_{i=1}^N X_i r_f,将其带入目标函数消去约束方程,则(1)式变成无约束极值问题,如(2)式.

  \theta=\frac{\sum_{i=1}^N X_i(\overline{r}_i-r_f)}{(\sum_{i=1}^N X_i ^2\delta_i ^2 +\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N X_i X_j\delta_ij)^{1/2}},i\ne j. (2)

  对于(2)式,为使θ最大,即要求

  \frac{\alpha\theta}{\alpha X_i}=0(i=1,2,…,N),若设X_i=\frac{Z_i}{\sum_{i=1}^N Z_i},则参照文献[2] [2]给出的推导,整理并简化得如下方程组(3):

  \overline{r}_i - r_f=Z_{1\delta 1 i}+Z_{2\delta 2 i}+...+Z_{n\delta 1 i }(i=1,2,3...,N) . (3)

  方程组(3)有N个方程,N个未知数Zi(1,2,3...,N).因为rfNi 已知,Zi(1,2,3...,N)的解是确定的,从而Xi 的解也是确定的,所以风险资产有效组合M随之确定.此时,可求出\overline{r}_M,\delta_M,确定有效资产组合集,其为从点(O,rf)出发斜率为\frac{\overline{r}_M -r_f}{\delta_f}的射线,该射线即为资本市场线,其方程为:

  r_P =r_f +\frac{\overline{r}_M -r_f}{\delta_f}\delta_P. (4)

无差异曲线的形成

  投资者的无差异曲线反映了投资者对收益-风险组合的同样满足程度参考文献[3][3]关于风险容忍度的讨论,设投资者的投资收益率和风险分别表示为r和δ2,则其无差异曲线方程可表示为

  r = a + bδ2. (5)

  其中a,b为已知常数,所以投资者的无差异曲线如图(1)所示的I.

有效资产组合的形成

  对于理性投资者,可以确定其资产组合肯定同时落在有效资产组合集和无差异曲线上,若设投资者资产组合的收益率r0,收益率的标准差为

  δo,则其满足(4)式和(5)式,即

  r_o =r_f +\frac{\overline{r}_M -r_f}{\delta_M}\delta_o. (6)

  r_o=a+b\delta_0^2. (7)

  根据投资者的不满足性和风险厌恶性特征,投资者的资产组合集O若为有效资产组合,则O点一定是(7)式表示的曲线与(6)式表示的射线唯一的相切点.根据切点含义,在O点处由(6)式和(7)式表示的曲线斜率相等,即

  \frac{\overline{r}_M -r_f}{\delta_M}\delta_M =2b\delta_o. (8)

  根据有效资产组合集的性质,投资者的有效资产组合O是由无风险资产和有效风险资产组合M构成,若设投资有效风险资产组合的资金比例为W,则投资无风险资产的比例为1-W,所以

  δO = WδM ,将其代入(8)式得

  W=\frac{\overline{r}_M -r_f}{2b\delta_M^2}. (9)

  由(9)式确定W,就可以确定该投资者有效资产组合的构成,即无风险资产资金比例为1-W,任一风险资产的资金比例WXi,(i=1,2,...,N),所以特定投资者就可以按上述投资比例确定其有效资产组合.

参考文献

  1. 1.0 1.1 何朝林.最佳证券组合的选择[J].价值工程,2001
  2. 邵宇.微观金融学及其数学基础[M].北京;清华大学出版社,2003
  3. 何朝林.风险容忍度的估算与求解[J].安徽工程科技学院学报,2004
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