三門問題
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三門問題——亦稱為蒙提霍爾問題、蒙特霍問題或蒙提霍爾悖論（Monty Hall problem）
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三門問題（Monty Hall problem），是一個源自博弈論的數學游戲問題，大致出自美國的電視游戲節目Let's Make a Deal。問題的名字來自該節目的主持人蒙提·霍爾（Monty Hall）。
這個游戲的玩法是：參賽者會看見三扇關閉了的門，其中一扇的後面有一輛汽車，選中後面有車的那扇門就可以贏得該汽車，而另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊。當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節目主持人會開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。問題是：換另一扇門會否增加參賽者贏得汽車的機會率？如果嚴格按照上述的條件的話，答案是會—換門的話，贏得汽車的機會率是 2/3。
這條問題亦被叫做蒙提霍爾悖論：雖然該問題的答案在邏輯上並不自相矛盾，但十分違反直覺。這問題曾引起一陣熱烈的討論。
問題
以下是蒙提霍爾問題的一個著名的敘述，來自 Craig F. Whitaker 於1990年寄給《展示雜誌》（Parade Magazine）瑪麗蓮·沃斯·莎凡特（Marilyn vos Savant）專欄的信件：
假設你正在參加一個游戲節目，你被要求在三扇門中選擇一扇：其中一扇後面有一輛車；其餘兩扇後面則是山羊。你選擇了一道門，假設是一號門，然後知道門後面有什麼的主持人，開啟了另一扇後面有山羊的門，假設是三號門。他然後問你：“你想選擇二號門嗎？”轉換你的選擇對你來說是一種優勢嗎？
以上敘述是對 Steve Selvin 於1975年2月寄給 American Statistician 雜誌的敘述的改編版本。如上文所述，蒙提霍爾問題是游戲節目環節的一個引申；蒙提·霍爾在節目中的確會開啟一扇錯誤的門，以增加刺激感，但不會容許玩者更改他們的選擇。如蒙提·霍爾寄給 Selvin 的信中所寫：
如果你上過我的節目的話，你會覺得游戲很快—選定以後就沒有交換的機會。 —(letsmakeadeal.com)
Selvin 在隨後寄給 American Statistician 的信件中(1975年8月) 首次使用了“蒙提霍爾問題”這個名稱。
一個實質上完全相同的問題於1959年以“三囚犯問題”（three prisoners problem）的形式出現在馬丁·加德納的《數學游戲》專欄中。葛登能版本的選擇過程敘述得十分明確，避免了《展示雜誌》版本里隱含的前提條件。
這條問題的首次出現，可能是在1889年約瑟夫·貝特朗所著的 Calcul des probabilités 一書中。 在這本書中，這條問題被稱為“貝特朗箱子悖論”（Bertrand's Box Paradox）。
Mueser 和 Granberg 透過在主持人的行為身上加上明確的限制條件，提出了對這個問題的一種不含糊的陳述：
- 參賽者在三扇門中挑選一扇。他並不知道內里有什麼。
- 主持人知道每扇門後面有什麼。
- 主持人必須開啟剩下的其中一扇門，並且必須提供換門的機會。
- 主持人永遠都會挑一扇有山羊的門。
- 如果參賽者挑了一扇有山羊的門，主持人必須挑另一扇有山羊的門。
- 如果參賽者挑了一扇有汽車的門，主持人隨機在另外兩扇門中挑一扇有山羊的門。
- 參賽者會被問是否保持他的原來選擇，還是轉而選擇剩下的那一道門。
解答
顯然的，在最初的決定下選中汽車的概率是1／3，因為要在三個門中隨機地選擇一個。
同樣顯然的，在最初的選擇下選出山羊的概率是2／3。當這種情況發生(即最初選中的是山羊)時，在生產線上的兩扇門背後將只有一個是山羊，另一扇後面是汽車。瞭解情況的主持人別無選擇，他只有一個選擇，即打開背後是山羊的門。於是，剩下的兩扇中未被主持人打開的那扇門背後一定是汽車。因此，改變最初的決定，就一定可以獲得汽車。我們已經知道，這種情況發生的概率是2／3，所以如果改變最初的決定，成功的概率能增加一倍，由1／3變成2／3。
上面的論證可簡化為：假定你的原始選擇是正確的，然後主持人打開一個有山羊的門，此時你改變選擇你虧了；假定你的原始選擇是錯誤的，然後主持人打開一個有山羊的門，此時由於主持人只能從剩下的兩個門中選擇背後有山羊的那個，而他沒有打開的一定背後是汽車，此時你改變選擇你將一定可獲得汽車。想一下，你一開始的選擇正確與錯誤的可能性分別是多少?
原始選擇正確的可能性只有1/3, 而錯誤的是2/3， 而只要原始選擇是錯誤的就可以獲得汽車。
如果覺得這種簡短的解釋力度不夠的話，下麵我們對這個問題再詳細討論一下。
3個門中，1個門後面有汽車，其他2個門後面有山羊，共有3處等可能的情況。如果堅持選擇門1不換，如下表所示，只有第一種情況下可以獲得汽車，而第二種與第三種情況下都得到山羊。因此，得到汽車的概率是1／3。
| 門1 | 門2 | 門3 | 堅持選擇門1的結果 |
| 汽車 | 山羊 | 山羊 | 得到汽車 |
| 山羊 | 汽車 | 山羊 | 得到山羊 |
| 山羊 | 山羊 | 汽車 | 得到山羊 |
如果獲勝者選擇門1，當主持人打開門2或門3中有山羊的一扇門後，他在剩下的門中選擇一個，就會出現下表所示的結果。
| 門1 | 門2 | 門3 | 獲勝者的選擇 | 重新選擇的結果 |
| 汽車 | 山羊 | 山羊 | 門1換為門2或門3 | 得到山羊 |
| 山羊 | 汽車 | 山羊 | 門1換為門2 | 得到汽車 |
| 山羊 | 山羊 | 汽車 | 門1換為門3 | 得到汽車 |
可以看到，重新選擇另一扇門，得到汽車的概率將會變成2／3。因此，重新選擇更有利。
如果這種解釋仍然不能令你信服，我們可以換角度繼續說明一下。比如，現在擺在我們面前的有100扇門，只有其中一扇門後是汽車，而其他的99扇門後都是山羊。好了，你選擇其中一扇門。自然，你選取汽車的概率只有1／100。
然後，知道汽車存放處的主持人一口氣打開了99扇門中的98扇，其後面都是山羊。此時你可以堅持最初的選擇，也可以改變選擇。你是否應當改變選擇?你是否還認為在你最初選擇的門與其他99扇門中唯一沒有打開的那扇門背後有汽車的概率是相同的?
事實是，如果你拒絕改變，你只有在一開始就選擇了正確的門的情況下才能獲取汽車，這個概率只有1％。在另外99％的情況下，你最初選擇的是一個後面是山羊的門，而另外的98扇已經打開，你這時改變最初的選擇就可以成功。所以，在99％的概率下，改變選擇是正確的。如果你能接受這個例子，為什麼你不能接受最初的例子呢?
可見，三門問題是一個理性選擇和機遇博弈問題，是關於不完全信息博弈中如何正確理解概率的含義和概率變化的問題。
選擇的認知分析[1]
儘管在三門問題上，人們遇到了許多困難，但仍然有少數人憑直覺找出了正確的解決方案。這自然導致兩個問題：這些成功地解決難題的少數人使用了哪種推理方法?倘若我們瞭解這種機制，我們如何才能用合適的方法來表示和說明認知難題，比如如何消除那種改變決定的阻力?
這裡至少涉及兩個問題。
第一，在這個博弈或者推理的過程中，應當使用作為“頻率”的客觀概率，還是使用作為信念的主觀概率。我們知道，要找出解決三門問題的正確方案，就要進行推理，這種推理的一個特點是它依據頻率而不是概率來推理。Gigerenzer和Hoffrage(1995)已經用實驗證明瞭用自然頻率描述或然性信息，幫助參與者解決推理問題比用作為信念的主觀概率來解決推理問題更為恰當。
例如，他們向參與者出示一個40歲婦女的乳房X光片，並要求參與者估計她患乳腺癌的概率。一種方式是，有關的信息用概率來描述(例如，“一個婦女在40歲時得乳腺癌的概率是0.01”)；另一種方式是，相同的信息用頻率來描述(每1000個40歲的婦女中，會有10個患乳腺癌)。Gigerenzer和Hoffrage(1995)主張將單獨事件的概率(如，考慮一個婦女的病例)轉變成自然頻率(如，考慮整個樣本中的所有婦女)有助於正確地進行博弈或推理。Aron和Spivey(1998)給不同組的參與者介紹三門問題的概率和頻率。在他們的實驗中，給定概率表達方式的參與者中只有12％的人給出了正確的回答，而給定頻率表達方式的參與者中有29％給出了正確的回答。而且運用概率的運算方法看起來相當煩瑣。在他們看來，用頻率進行推理的優於用概率進行推理。
不同的概率解釋適用於不同的場合或情景。每一種解釋都有它自己的適用範圍。概率解釋應該是多元的，不是一元的。一般說來，頻率解釋適用於信息相對掌握較多的場合，適用於可以多次重覆博弈的場合；(主觀)概率解釋適用於信息相對掌握較少的場合(在這裡局中人博弈靠的只能是信心)，往往適用於單一而非重覆博弈的場合。
第二，信息較少效果反而更好。實際上，在認知過程中，信息使用者和信息提供者都面臨的一個普遍的問題是：應當使用和提供的最理想的信息量是多少。Goldstein和Gigerenzer(1999)的實驗報告表明，有時“知道得越少反而更好”。他們在《啟髮式再認知》中提供了一個例子，挖掘了有助於人們做出推論的認識潛力。當要求人們根據一些標準判斷兩個對象哪一個有更高價值的情形時(例如，哪一個更快、更高、更強)，啟髮式認知可作如下規定：如果兩個對象中有一個認識而另一個不認識，則可推出不認識的對象反而有更高的價值。令作者驚訝的一個發現是，德國人能比美國人更好地判斷出兩個美國城市(例如，聖地亞哥和聖安尼奧)中哪一個城市的人口更多，為什麼呢?德國參與者中許多人沒聽說過聖安尼奧，因而使用了啟髮式認知方法(例如，他們推斷聖地亞哥比聖安尼奧的人口多，因為他們知道前者而不知道後者)。事實上在缺乏知識的情況下，啟髮式認知方法才可以有效地使用。這項研究顯示，在不確定情況下，一種違反直覺的“較不好的效果”的出現，即知識的缺乏實際上有利於推論。
有趣的是，博弈論中有一個斯塔克博格模型，雖然它描述的是所謂的先行者優勢，但在其中，卻也反映了這種“信息多者反而失敗”的現象。我們不妨舉個例子來說明這一模型。在寬體客機的國際市場上，波音公司和空中客車公司是兩大“巨無霸”。為了市場優勢，兩家公司都需要決定是否開發一種新型飛機。由於寬體客機製造成本很高，只有當銷量較大具有規模效應時，新機型的研發才是有利可圖的。由於市場只能容納一家公司，誰率先製造新飛機誰就獨占壟斷利潤。若兩家同時製造新飛機，則兩敗俱傷。因此，誰搶先行動誰就具有“先行優勢”。
由於波音公司得知一個額外的信息：歐盟會給空中客車公司補貼，於是自己行動遲緩，失去了先行者優勢。在動態博弈中，先行動者決策時看不到追隨者的選擇，擁有的信息較少；後行動者知道領先者的實際選擇，擁有的信息較多，反而會猶豫不決，錯失良機。在這種信息不對稱的情況下，信息較多者不一定得益較多。
類似的案例是遲到十年的求婚者。據說古希臘有位博學多才、氣質高雅的哲學家，追隨他的“粉絲”足足有一個加強排。他本來是婚姻市場上的“績優股”，但是他這山望著那山高，猶豫不決。等到他決定結婚時，那些他曾經中意的“粉絲”都成了幾個孩子的媽媽。所以，關於婚姻對象的信息瞭解越多，越容易失去先行者優勢。最後只能失去良機，追悔奠及。
關於三門問題的討論還在繼續。但是三門問題的提出給了我們重要的啟示。
第一，三門問題實際上是一個關於決策和博弈的認知問題。在這個擁有信息相對較多的博弈和推理過程中，用頻率進行推理優於用概率進行推理。在重覆博弈的場合，採用符合直觀的、自然的頻率來推理比採用概率來進行推理更為恰當，更適用；
第二，作為一個“認知錯覺”或“心理隧道”的最富有表現力的例子，三門問題提醒我們，必須重視歸納邏輯的認知方面的研究。從歸納邏輯的視角研究三門問題認知過程，分析三門問題的困難原因，探討問題解決的推理過程等，有助於深化歸納邏輯研究。三門問題的認知過程分析給我們的啟發是，我們不僅要用現代邏輯的方法來拓展歸納邏輯的研究，而且要借鑒認知科學的研究成果，深入探討歸納邏輯的認知基礎，推動歸納邏輯研究向新的深度和廣度拓展。
【1】Bapeswara Rao, V. V. and Rao, M. Bhaskara (1992). "A three-door game show and some of its variants". The Mathematical Scientist 17, no. 2, pp. 89–94
【2】Bohl, Alan H.; Liberatore, Matthew J.; and Nydick, Robert L. (1995). "A Tale of Two Goats ... and a Car, or The Importance of Assumptions in Problem Solutions". Journal of Recreational Mathematics 1995, pp. 1–9.
【3】Gardner, Martin (1959). "Mathematical Games" column, Scientific American, October 1959, pp. 180–182.
【4】Mueser, Peter R. and Granberg, Donald (1999), "The Monty Hall Dilemma Revisited: Understanding the Interaction of Problem Definition and Decision Making" (University of Missouri Working Paper 99-06). http://econwpa.wustl.edu:80/eps/exp/papers/9906/9906001.html (retrieved July 5, 2005).
【5】Nahin, Paul J. Duelling idiots and other probability puzzlers. Princeton University Press, Princeton,pp. 192-193.
【6】Selvin, Steve (1975a). "A problem in probability" (letter to the editor). American Statistician 29(1):67 (February 1975).
【7】Selvin, Steve (1975b). "On the Monty Hall problem" (letter to the editor). American Statistician 29(3):134 (August 1975).
【8】Tierney, John (1991). "Behind Monty Hall's Doors: Puzzle, Debate and Answer?", The New York Times July 21, 1991, Sunday, Section 1; Part 1; Page 1; Column 5
【9】vos Savant, Marilyn (1990). "Ask Marilyn" column, Parade Magazine p. 12 (Feb. 17, 1990). [cited in Bohl et al., 1995]
【10】Tijms, Henk (2004), Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life , Cambridge University Press, New York, pp. 213-215.
評論(共78條)
因為只有一輛汽車，而有兩隻山羊，所以，參賽者選中山羊時是兩種可能而選中汽車時只有一種可能，所以總共是三種可能，而不是四種。
這個原理的現實意義就在於，由於主持人的參與，你從只有1/3的概率選中汽車到你有2/3的概率選中汽車。
毫無意義，聽過“一塊錢到哪兒去”的故事沒，跟那個類似的。主持人那麼好心直接告訴他車在哪裡得了，這悖論的本質問題是規則在主持人的干預下改變了，由三選一變成二選一，不同事件怎麼能用同一種模型下的概率來比較。
毫無意義顯然是不對的咯，這個原理告訴我們的其實很簡單，理智和情感的問題，太多人會根據自己所謂的堅持或者偏執而盲目的選擇，這個原理假如建立在多次可重覆事件上，你想每次都能多1/3概率獲勝，何樂不為！
編輯的這個解答其實是荒謬而且可笑的，但是也極具欺騙性。 謬誤出在答案給的那所謂的三種可能上： “參賽者挑山羊一號，主持人挑山羊二號。轉換將贏得汽車。 參賽者挑山羊二號，主持人挑山羊一號。轉換將贏得汽車。 參賽者挑汽車，主持人挑兩頭山羊的任何一頭。轉換將失敗。” 答案把山羊編了號，導致可能貌似有三種了，其實只有如下兩種： 參賽者挑了山羊，主持人挑另一隻山羊。轉換將贏得汽車。 參賽者挑了汽車，主持人挑兩頭山羊的任何一頭。轉換將失敗。 如果沒有主持人的干預，參賽者選中汽車的概率是三分之一；但是因為主持人的干預，並且給了參賽者二次選擇的機會，參賽者其實是在新的條件下開始了一個新的游戲和選擇，新的選擇和主持人干預前已經沒有絲毫聯繫，參賽者獲得汽車的機會是二分之一。 所以如果把整個過程當成一個完整的游戲的話，參賽者獲得汽車的機會就是二分之一，所謂的三分之二，是被游戲前半部分干擾導致精神分裂的結果。哈哈。 游戲的意義在於：要求我們能排除干擾，透過現象看到本質，能從一件事情中跳出來，重新審視新的事態。
因為只有一輛汽車，而有兩隻山羊，所以，參賽者選中山羊時是兩種可能而選中汽車時只有一種可能，所以總共是三種可能，而不是四種。
既然都說山羊一和山羊二、說明山羊一和山羊二是不同的東西，和一隻貓、一隻狗、一輛車的模型有什麼區別？
我是無情神龍！作者論述的答案是正確的！我這裡有巧妙的解釋：因為你第一步選擇了一門，那麼車在另外兩門的里的概率就是2/3.而第二步你打開了另外兩門裡的山羊門，那麼另外兩門裡的另一門是車輛門的概率依然不變，仍然是2/3嘛。
無情神龍！————或者說得極端一些：一共有1萬門，其中只有1車輛門，另外都是山羊門。你第一步選擇了一門，那麼車在另外的9999門裡的概率就是9999/10000.當主持人把另外的9999門中的9998門山羊門都打開，那麼你選擇9999門的最後一門是車輛門的概率還會是1/2嗎？？哈哈哈哈......
既然都說山羊一和山羊二、說明山羊一和山羊二是不同的東西，和一隻貓、一隻狗、一輛車的模型有什麼區別？
關鍵是數量的不同，而不是種類的是否相同！無情神龍
看了問題和一大片模糊的評論解釋，很是讓我頭暈！為什麼想的那麼複雜，簡單點就是開一扇後也就只有兩種可能了！你還有第三個門可選嗎？腦殘的人才選！概就只有1/2
前面說了一大堆問題都是為了擾亂你的思維，故意引你走偏的，就想他們說的還有一元不見了是一樣的道理，開始的時候選中車的概率是1/3，主持人去掉一個門後，剩下的就是1/2的機會了，換與不換都是同樣的機會，他說三中情況應該是4中情況，參賽者挑中了汽車，主持人開門會是2 種情況。
既然都說山羊一和山羊二、說明山羊一和山羊二是不同的東西，和一隻貓、一隻狗、一輛車的模型有什麼區別？
贊同
編輯的這個解答其實是荒謬而且可笑的，但是也極具欺騙性。 謬誤出在答案給的那所謂的三種可能上： “參賽者挑山羊一號，主持人挑山羊二號。轉換將贏得汽車。 參賽者挑山羊二號，主持人挑山羊一號。轉換將贏得汽車。 參賽者挑汽車，主持人挑兩頭山羊的任何一頭。轉換將失敗。” 答案把山羊編了號，導致可能貌似有三種了，其實只有如下兩種： 參賽者挑了山羊，主持人挑另一隻山羊。轉換將贏得汽車。 參賽者挑了汽車，主持人挑兩頭山羊的任何一頭。轉換將失敗。 如果沒有主持人的干預，參賽者選中汽車的概率是三分之一；但是因為主持人的干預，並且給了參賽者二次選擇的機會，參賽者其實是在新的條件下開始了一個新的游戲和選擇，新的選擇和主持人干預前已經沒有絲毫聯繫，參賽者獲得汽車的機會是二分之一。 所以如果把整個過程當成一個完整的游戲的話，參賽者獲得汽車的機會就是二分之一，所謂的三分之二，是被游戲前半部分干擾導致精神分裂的結果。哈哈。 游戲的意義在於：要求我們能排除干擾，透過現象看到本質，能從一件事情中跳出來，重新審視新的事態。
非常同意你的看法，其實什麼2/3都是假象。其實只有1/2的機會而已。
真不知道你們是怎麼想的，一般的主持人是站在公司一方的，真正當他知道這個人選擇了車這個門才會誤導他去換一個門，所以一般人是不會去換的，但是主持人說的有說服力很可能會誤導成功，這也是種技巧，即使不管什麼狀態下都會去開一個山羊門，那麼主持人會把握他的分寸，用或重或輕的語氣來闡述同一問題，所以很多時候大眾是不會根據主持的給的優勢條件來選的，因為你換了你才是蠢材，堅持即使沒中，也不會辱沒自己
也就是說，看起來開一扇門後，你變換選擇贏得的幾率會縮小，可是汽車還是一輛，主持人還是干擾，優厚待遇的背後是把刀子，你是堅持自主，還是由他帶領，顯然易見。相信理論，還是相信理智抵抗誘惑？
我也覺得概率是50%，後面一個選擇是獨立的，二選一，不管你前面選了哪個，都不影響後面。很明顯的，前面的分析完全是誤導人，簡單問題複雜化，搞的你暈頭轉向才是目的。
我是無情神龍！作者論述的答案是正確的！我這裡有巧妙的解釋：因為你第一步選擇了一門，那麼車在另外兩門的里的概率就是2/3.而第二步你打開了另外兩門裡的山羊門，那麼另外兩門裡的另一門是車輛門的概率依然不變，仍然是2/3嘛。
你的解釋有一個連你自己都沒發現的暗藏的前提假設——你選的門後是山羊
按照你的方法 假設你選的門後是車 那麼另外兩門裡是山羊的概率也是2/3 第二步你打開了另外兩門裡的山羊門 那麼另外兩門裡的另一門是山羊的概率依然不變，仍然是2/3
這不是矛盾了麽 是車的概率是2/3 是山羊的概率也是2/3 加起來就有4/3了
Liebao2004 和 Guderian 和 Zhtaild 是正確的
第一次 你可以閉上眼睛吹著口哨隨便選 主持人會去掉一隻山羊 第二次 你仍然閉上眼睛吹著口哨隨便選 反正都是二選一 不會因為你緊張、激動、努力思考、參考第一次、聽觀眾的就能選對 這個憑運氣
這個游戲的目的不是主持人讓你贏汽車 或者不讓你贏汽車 目的是激發觀眾的神經 增加收視率 賣廣告
第一次 你可以閉上眼睛吹著口哨隨便選 主持人會去掉一隻山羊第二次 你仍然閉上眼睛吹著口哨隨便選 反正都是二選一 不會因為你緊張、激動、努力思考、參考第一次、聽觀眾的就能選對 這個憑運氣
這個游戲的目的不是主持人讓你贏汽車 或者不讓你贏汽車 目的是激發觀眾的神經 增加收視率 賣廣告
我認為以上回覆是本質
這個問題其實挺容易的，自己畫個圖就知道了。比如說X是汽車，O是羊。 X O O 假如你最開始選的是X, 主持人把其中一個有山羊的門打開，然後你換，那你會得到山羊。 假入你最開始選的是O, 主持人把另一個山羊的門打開，然後你換，你會得到一輛汽車。 最後一個可能，選擇另外一個O, 主持人把另一個山羊的門打開，然後你換，你會得到一輛汽車。 所以說，只要你開始沒有選有車的那個門，你就會得到那輛車。所以概率是2/3 另外那些瞎評論的人，先想想再評論...
是三種等可能的，你說的四種並不是等可能的3和4的概率分別是是1、2的一半而1和2是相同的
應該是2分之1，因為主持人總是會打開有羊的門，而選擇人無法確定其餘兩扇門那一扇有羊，所以選對的概率應該是2分之一才對
在第二次計算概率的時候 第一次中的事件已經被觀測成為事實了 不應該計入第二次的計算中 所以相當於最終只是在二者之間選一個
評論才是亮點 其實 大家只是把想法說出來 僅此而已 大家都很有想法啊 有爭論才會有結論 有想法才會有創新 不要只看誰的結論錯了 錯了又怎樣 個人覺得 有想法才是可貴的
這問題可以看做是主持人把其中的一個有山羊的門告訴你了，就只剩下二個門，在其中做出選擇，選中的概率是0.5，所以換與不換，是等同的概率0.5。如果是n（n>=3）個門（只有一個門是汽車），你選擇其中一個門，然後主持人把其他的n-2個門是山羊的打開，告訴你換不換，其實是只剩下二個門，在其中做出選擇，選中的概率是0.5，所以換與不換，是等同的概率0.5。
其實應該這麼解釋吧 首先，“主持人去掉一個錯誤答案問你換不換？”這個事實應該理解為“如果我一開始選錯了，那麼換了就一定對，如果一開始我選對了，那麼換了就一定錯” 所以就很簡單了，一開始選錯的概率為2/3，那麼換的話選對的概率就是2/3 那些說1/2的人們，只是針對第二次選擇，整體而言不能這麼看的，勸大家想清楚了再噴
其實應該這麼解釋吧 首先，“主持人去掉一個錯誤答案問你換不換？”這個事實應該理解為“如果我一開始選錯了，那麼換了就一定對，如果一開始我選對了，那麼換了就一定錯” 所以就很簡單了，一開始選錯的概率為2/3，那麼換的話選對的概率就是2/3 那些說1/2的人們，只是針對第二次選擇，整體而言不能這麼看的，勸大家想清楚了再噴
樓上是我發的，我再補充一下“主持人去掉一個錯誤答案”這點在概率上隻影響了一件事，就是“如果選擇換換是否能換對？”，如果沒有去掉錯誤答案，那麼如果我們一開始選錯的話，然後選擇交換的時候就有50：50的概率換對/換錯。因此，如果沒有去掉錯誤答案的話，換不換都是1/3的概率對
原來選擇是1/3的概率，打開了一扇有羊的門也不會改變。如果認為會改變，那麼豈不是就算不打開一扇有羊的門，也已知剩下2門中必有一羊，所以選到汽車概率是1/2了
請大家看清楚問題... 問題是:換另一扇門會否增加參賽者贏得汽車的機會率？ 而不是:那一扇門嬴得汽車的機會率較大?
那一扇門嬴得汽車的機會率較大? 主持人打開了其中一扇山羊的門... 餘下兩扇門... 嬴得汽車的機會率各是二分一...
換另一扇門會否增加參賽者贏得汽車的機會率？ 會... 假如你換門的話... 你原本贏得汽車的話...你只得山羊... 你原本得到山羊的話...你贏得汽車... 但係原本贏得汽車的機會率是三分一... 原來得到山羊的機會率是三分二... 即是你換門後贏得汽車的機會率=你原本只得山羊的機會率=三分一... 你換門後只得山羊的機會率=你原本贏到汽車的機會率=三分二... 所以換另一扇門是會增加參賽者贏得汽車的機會率的...
請大家看清楚問題... 問題是:換另一扇門會否增加參賽者贏得汽車的機會率？ 而不是:那一扇門嬴得汽車的機會率較大?
那一扇門嬴得汽車的機會率較大? 主持人打開了其中一扇山羊的門... 餘下兩扇門... 嬴得汽車的機會率各是二分一...
換另一扇門會否增加參賽者贏得汽車的機會率？ 會... 假如你換門的話... 你原本贏得汽車的話...你只得山羊... 你原本得到山羊的話...你贏得汽車... 但係原本贏得汽車的機會率是三分一... 原來得到山羊的機會率是三分二... 即是你換門後贏得汽車的機會率=你原本只得山羊的機會率=三分一... 你換門後只得山羊的機會率=你原本贏到汽車的機會率=三分二... 所以換另一扇門是會增加參賽者贏得汽車的機會率的...
最後4句打錯字...
更正... 即是你換門後贏得汽車的機會率=你原本只得山羊的機會率=三分「二」... 你換門後只得山羊的機會率=你原本贏到汽車的機會率=三分「一」... 所以換另一扇門是會增加參賽者贏得汽車的機會率的...
始終覺得是1/2的概率。 前面說“參賽者先挑汽車，主持人挑兩頭山羊的任何一頭。轉換將失敗。”這裡不是有兩種可能嗎？主持人選羊1，或選羊2。 結合前面兩種可能，總共有4中可能性！
還有別說這種是一種情況，有些情況下，算概率時，完全相同的東西，也要分為1,2.。。。
覺得是1/2 的朋友，你們都沒有清楚題目問的是什麼。 題目問換門中汽車的概率。 首先要確定樣本空間，這裡的樣本空間就是整個選擇過程中所有的可能性。 有A（羊） B（羊） C（車）三扇門。註意這裡有個前提是主持人知道車是在C門。 參賽者第一次選擇的門有3種可能，這個能理解吧。 可能1： 參賽者選擇A門 主持人打開B門 換門得車 不換門得羊 可能2： 參賽者選擇B門 主持人打開A門 換門得車 不換門得羊 可能3： 參賽者選擇C門 主持人打開A或者B 換門得羊 不換門得車
這裡為什麼把可能3裡面的主持人選擇開A還是B沒有分開當作2個樣本空間，大家自己思考一下。
那麼在這3個樣本空間里，“換門得車”的概率是不是2/3呢？ 註意這裡如果問的是：“在剩下兩個門裡選擇有車的概率”那麼概率就是1/2了。 討論概率問題一定要搞清楚樣本空間。
好了，上面說的可能3裡面的主持人選擇開A還是B沒有分開當作2個樣本空間，因為我們的樣本空間是基於選手的第一次選擇來討論的。不論主持人在可能3裡面選擇開A還是B都不影響選手第一次對C門的選擇。而我們討論的題目是選手換不換門的選擇上的。 所以這個要理解，因為看到有人討論這個問題的時候把可能3分解成了： 可能3：參賽者選擇C門 主持人打開A 換門得羊 不換門得車 可能3：參賽者選擇C門 主持人打開B 換門得羊 不換門得車 這樣是不正確的。
這樣解釋大家就能看懂了吧？ 第一次選擇的時候 毋庸置疑 選中車是1/3 選中羊是2/3 轉換門： 選中車 轉換門 那麼得到車的概率就剩0了 選中羊 主持人去掉另一隻羊 那麼轉換門肯定是車 那麼得到車的概率就是2/3乘1 總計1/3乘0 + 2/3乘1=2/3 不轉換門 很顯然的1/3乘1 + 2/3乘0=1/3
1/2 推理： 把門當做一個羊圈的出口，羊圈裡有2只羊1只狼。
主持人開門放走一隻羊。無論哪只羊，主持人只會放走羊。 問參賽者開門放走狼的幾率是多大。 結論：1/2。
衍生， 羊圈裡有999只羊，1只狼。 主持人放走998只羊。 然後問參賽者放走狼的幾率是多少。 還是1/2。
1/3的結論推理： 有三種可能的情況，全部都有相等的可能性(1/3)：
參賽者挑山羊一號，主持人挑山羊二號。轉換將贏得汽車。 參賽者挑山羊二號，主持人挑山羊一號。轉換將贏得汽車。 參賽者挑汽車，主持人挑兩頭山羊的任何一頭。轉換將失敗。
應該是： 參賽者挑"非汽車"(山羊一號)，主持人挑"非汽車"(山羊二號)。轉換將贏得汽車。 參賽者挑"非汽車"(山羊二號)，主持人挑"非汽車"(山羊一號)。轉換將贏得汽車。 參賽者挑汽車，主持人挑非汽車(羊)。轉換將失敗。贏得(羊)。
1和2無意義，其實是一種情況。 還是1/2。
思考重點： 因為是關於得到汽車，所以只有汽車和非汽車2種情況。其他的都是假象。
補充： 羊圈裡2只羊1只狼。 主持人不幹涉的話。 開門放走狼的幾率是1/3。（得汽車）
主持人干涉。放走一隻羊。 羊圈裡還有1只羊1只狼。 開門放走狼的幾率是1/2。（得汽車）
再補充： 糾結在換門。。 羊圈有3個出口。每次同時只能開一個門，且只出一個只。 換門有意義嗎？還是只能出來一隻（羊或狼）。 其實只有1個門，3門是假象。換門更是障眼法。
acfun發不了貼，貼這裡----
2：酒鬼問題 已知某酒鬼有90%的日子都會出去喝酒，喝酒只去固定三家酒吧。今天警察找了其中兩家酒吧都沒有找到酒鬼。 問：酒鬼在第三家酒吧的幾率？ 參考答案：90% or 75%
答案是75%。 推理:因為是百分比，所以假設有10個安檢門，酒鬼必需在通過1個安檢門且只能通過一個。 結合30%，30%,30%,10%,設定以下：（警察即安檢門） 1號，2號，3號為A組安檢門 4號，5號，6號為B組安檢門 7號，8號，9號為C組安檢門 10號 為D組安檢門。 結合題目，A組安檢門和B組安檢門損壞，不能用。 還有7號，8號，9號，10號安檢門可用，問酒鬼通過C組安檢門的概率。 答案：3/4，即75%
覺得是1/2 的朋友，你們都沒有清楚題目問的是什麼。 題目問換門中汽車的概率。 首先要確定樣本空間，這裡的樣本空間就是整個選擇過程中所有的可能性。 有A（羊） B（羊） C（車）三扇門。註意這裡有個前提是主持人知道車是在C門。 參賽者第一次選擇的門有3種可能，這個能理解吧。 可能1： 參賽者選擇A門 主持人打開B門 換門得車 不換門得羊 可能2： 參賽者選擇B門 主持人打開A門 換門得車 不換門得羊 可能3： 參賽者選擇C門 主持人打開A或者B 換門得羊 不換門得車
這裡為什麼把可能3裡面的主持人選擇開A還是B沒有分開當作2個樣本空間，大家自己思考一下。
那麼在這3個樣本空間里，“換門得車”的概率是不是2/3呢？ 註意這裡如果問的是：“在剩下兩個門裡選擇有車的概率”那麼概率就是1/2了。 討論概率問題一定要搞清楚樣本空間。
好了，上面說的可能3裡面的主持人選擇開A還是B沒有分開當作2個樣本空間，因為我們的樣本空間是基於選手的第一次選擇來討論的。不論主持人在可能3裡面選擇開A還是B都不影響選手第一次對C門的選擇。而我們討論的題目是選手換不換門的選擇上的。 所以這個要理解，因為看到有人討論這個問題的時候把可能3分解成了： 可能3：參賽者選擇C門 主持人打開A 換門得羊 不換門得車 可能3：參賽者選擇C門 主持人打開B 換門得羊 不換門得車 這樣是不正確的。
我比較同意，可是我想問問讓你去玩這個游戲的話，你會選擇換還是不換，當且僅當換能給你帶來好處時才換。換句話說，讓你去玩這個游戲，在你決定要不要換時，到底是換成功的幾率大還是不換？
因為只有一輛汽車，而有兩隻山羊，所以，參賽者選中山羊時是兩種可能而選中汽車時只有一種可能，所以總共是三種可能，而不是四種。
既然都說山羊一和山羊二、說明山羊一和山羊二是不同的東西，把兩隻山羊換成一隻山羊、一隻狗就明瞭了。
三個門，你隨便選1個門，選對的概率是1/3，選錯的概率是2/3。 這時，如果把你選的那1個門和剩下的2個門轉換，選對的概率變成了2/3，選錯的概率變成了1/3。 這和主持人先打開1個門後，你再交換，沒有什麼區別。 所以轉換後的概率為2/3。
其實所謂的概率最基本條件就是要'隨機', 在第一回合你中車機會率是1/3. 但第2回合主持人不是'隨機'掀開一門,而是把其中一隻山羊掀開,所以換不換門而中車的機率都是1/2機會(和第一個回合沒有關係)~~~~ 但如果主持人在第2個回合是'隨機'地掀開了山羊, 換門而中車的機會的確是2/3呢!!
大家同意嗎?
學寫了，謝謝！
1/2 推理： 把門當做一個羊圈的出口，羊圈裡有2只羊1只狼。
主持人開門放走一隻羊。無論哪只羊，主持人只會放走羊。 問參賽者開門放走狼的幾率是多大。 結論：1/2。
衍生， 羊圈裡有999只羊，1只狼。 主持人放走998只羊。 然後問參賽者放走狼的幾率是多少。 還是1/2。
1/3的結論推理： 有三種可能的情況，全部都有相等的可能性(1/3)：
參賽者挑山羊一號，主持人挑山羊二號。轉換將贏得汽車。 參賽者挑山羊二號，主持人挑山羊一號。轉換將贏得汽車。 參賽者挑汽車，主持人挑兩頭山羊的任何一頭。轉換將失敗。
應該是： 參賽者挑"非汽車"(山羊一號)，主持人挑"非汽車"(山羊二號)。轉換將贏得汽車。 參賽者挑"非汽車"(山羊二號)，主持人挑"非汽車"(山羊一號)。轉換將贏得汽車。 參賽者挑汽車，主持人挑非汽車(羊)。轉換將失敗。贏得(羊)。
1和2無意義，其實是一種情況。 還是1/2。
思考重點： 因為是關於得到汽車，所以只有汽車和非汽車2種情況。其他的都是假象。
很簡單啊 首先是三選一 概率就是三分之一 這個事毋庸置疑的 而汽車在剩下的兩個裡面就是三分之二。換了之後就等於選擇剩下的兩個 概率就是相當於開始的時候選擇了兩個
我是這樣理解的,當player做第一次選擇的時候,他選到汽車的機會是1/3.當主持人打開一扇羊的門之後,選到汽車的概率變成1/2.很明顯1/2比1/3更容易得到汽車
恩，雖然我看不懂，但如果是二分之一話，那麼這個游戲就是公平的了，既然這個游戲是公平的，那麼贏獎的人豈不是多到爆了，節目老闆有那麼多錢買汽車嗎？
轉換一下,更容易理解: 現在有甲乙2個參賽者,甲選1個門,他中車的機會是1/3,乙選剩下2個門,他中車的機會是2/3,這個你完全同意吧?現在萬能的主持人幫乙去掉一個沒有車的門,他中車的機會還是2/3吧,那甲是不是應該和乙換?
覺得是1/2 的朋友，你們都沒有清楚題目問的是什麼。 題目問換門中汽車的概率。 首先要確定樣本空間，這裡的樣本空間就是整個選擇過程中所有的可能性。 有A（羊） B（羊） C（車）三扇門。註意這裡有個前提是主持人知道車是在C門。 參賽者第一次選擇的門有3種可能，這個能理解吧。 可能1： 參賽者選擇A門 主持人打開B門 換門得車 不換門得羊 可能2： 參賽者選擇B門 主持人打開A門 換門得車 不換門得羊 可能3： 參賽者選擇C門 主持人打開A或者B 換門得羊 不換門得車
這裡為什麼把可能3裡面的主持人選擇開A還是B沒有分開當作2個樣本空間，大家自己思考一下。
那麼在這3個樣本空間里，“換門得車”的概率是不是2/3呢？ 註意這裡如果問的是：“在剩下兩個門裡選擇有車的概率”那麼概率就是1/2了。 討論概率問題一定要搞清楚樣本空間。
好了，上面說的可能3裡面的主持人選擇開A還是B沒有分開當作2個樣本空間，因為我們的樣本空間是基於選手的第一次選擇來討論的。不論主持人在可能3裡面選擇開A還是B都不影響選手第一次對C門的選擇。而我們討論的題目是選手換不換門的選擇上的。 所以這個要理解，因為看到有人討論這個問題的時候把可能3分解成了： 可能3：參賽者選擇C門 主持人打開A 換門得羊 不換門得車 可能3：參賽者選擇C門 主持人打開B 換門得羊 不換門得車 這樣是不正確的。
膜拜！！
這個思路好，堅信1/2的朋友忽略了第一步的條件，實際是個條件概率問題，第二步在做選擇時候由於受到了第一步的影響，已經不是1/2和1/2的概率了
這個思路好，堅信1/2的朋友忽略了第一步的條件，實際是個條件概率問題，第二步在做選擇時候由於受到了第一步的影響，已經不是1/2和1/2的概率了
不對，我說錯了，不是條件概率，就是普通概率問題
現在我給你們這個MBA智庫的編輯24小時改錯的機會，相信不要等我來戳破你們就改了，因為你這是MBA的智庫，不可以發表不嚴肅的游戲節目里的錯誤結論，游戲節目只是個游戲，而這裡卻是“智庫”，請不要誤導大眾，謝謝！
上題只是想給個反證的例子。本人暫時還不想一語道破天機，對！是天機！正因為是天機，本人將以三門問題為原型創立產生幾個新名詞。呵呵，等著瞧！
轉換一下,更容易理解: 現在有甲乙2個參賽者,甲選1個門,他中車的機會是1/3,乙選剩下2個門,他中車的機會是2/3,這個你完全同意吧?現在萬能的主持人幫乙去掉一個沒有車的門,他中車的機會還是2/3吧,那甲是不是應該和乙換?
不太懂耶，因為主持人幫乙去掉一個沒有車的門，同樣也幫甲去掉一個沒有車的門，所以不只提高乙中車的機會，連帶也提高甲中車的機會不是嗎？至於1/2還是2/3，實證之下應該就有明確的結果！
始終覺得是1/2的概率。 前面說“參賽者先挑汽車，主持人挑兩頭山羊的任何一頭。轉換將失敗。”這裡不是有兩種可能嗎？主持人選羊1，或選羊2。 結合前面兩種可能，總共有4中可能性！
還有別說這種是一種情況，有些情況下，算概率時，完全相同的東西，也要分為1,2.。。。
你說錯了， 先從一開始看， 都知道1/3幾率選到車，2/3幾率選到羊（1/3選羊一，1/3選羊二），選到車後， 在此基礎上，我重申一遍，在一開始1/3選到車的基礎上， 主持人可能排除羊一或羊二，也就是1/6排除羊一，交換後沒車，1/6排除羊二，交換後沒車。 另外的2/3一開始選到羊的情況，只要交換必得車。
看了問題和一大片模糊的評論解釋，很是讓我頭暈！為什麼想的那麼複雜，簡單點就是開一扇後也就只有兩種可能了！你還有第三個門可選嗎？腦殘的人才選！概就只有1/2
這個問題必須考慮"連續性" 為何最後會只有兩個門可以選 原因是因為你已經選了一個門 如果你沒有選門，最後自然不會只有兩個門 所以單獨考慮第二次選擇的話，機率才是各一半
必須考慮"你已經選了一個門的前提下，最後剩兩個門"
非常認同你的想法!!!! 必須考慮"連續性"的問題，就單獨第二次選擇來說才是機率各半
你用心理學的角度來看非常棒 你很容易猜錯，主持人又一定猜錯(因為她一定開羊門) 那麼你就避開你和主持人的選擇就好囉
這個問題的核心，是更換選擇是否是有利的。說不管怎樣選擇都是1/2的朋友，其實側面證明瞭更換選擇的有利性，因為如果不存在更換，那整個系統就是簡單的三選一。有了主持人的存在，使得系統從簡單的三選一，步進到了最終的二選一。如何使得主持人有存在的意義呢，是改變當初的選擇，整個系統上主持人的設定才具有實際意義，那麼改變選擇就是必須的。所以在這樣一個系統之下，就使得只要開始選錯就能夠在最終選對，即從1/3的概率變成了互補的2/3的概率，這就是主持人設定帶來的影響，即二次選擇對提高選對概率是有利的。
你可以這麼理解。不過重點是，這4種可能而不是每種可能都是 25%. 第1種可能. 1/3概率 第2種可能. 1/3概率 第3、4種可能： 1/3概率
哈哈哈，評論很有趣。（據說當時在美國也有不小的轟動） 我用簡單的方式給想不通的朋友
1.這個遊戲有兩次選擇的機會 2.第一次選擇擊中車的概率是1/3，擊中羊的概率是2/3 3.主持人必定會打開另外一隻羊 4.於是更換自己原先的選擇，最終擊中車的概率就是2/3，也就是第一次就擊中羊的“反概率”（也就是那些原先是2/3的倒霉鬼，他們從羊換成了車） 5.最終更換原先選擇並擊中羊的概率是1/3（也就是那些原先是1/3的幸運兒，他們從車換成了羊）
哈哈哈，評論很有趣。（據說當時在美國也有不小的轟動） 我用簡單的方式給想不通的朋友
1.這個游戲有兩次選擇的機會 2.第一次選擇 擊中車的概率是1/3，擊中羊的概率是2/3 3.主持人必定會打開另外一隻羊 4.於是更換自己原先的選擇，最終擊中車的概率就是2/3 ，也就是第一次就擊中羊的"反概率"（也就是那些原先是2/3的倒霉鬼，他們從羊換成了車） 5.最終更換原先選擇並擊中羊的概率是1/3 （也就是那些原先是1/3的幸運兒，他們從車換成了羊）
設A是車，BC是羊，主持人知道情況，列舉，1A除B轉C失敗，1A除C轉B失敗，1B除C轉A成功，1C除B轉A成功，1B除C不轉B失敗，1C除B不轉C失敗。這樣思考有問題嗎，各項概率又是怎樣的呢？
是三種等可能的，你說的四種並不是等可能的3和4的概率分別是是1、2的一半而1和2是相同的