三门问题
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三门问题——亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论（Monty Hall problem）
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三门问题（Monty Hall problem），是一个源自博弈论的数学游戏问题，大致出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题的名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。
这个游戏的玩法是：参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率？如果严格按照上述的条件的话，答案是会—换门的话，赢得汽车的机会率是 2/3。
这条问题亦被叫做蒙提霍尔悖论：虽然该问题的答案在逻辑上并不自相矛盾，但十分违反直觉。这问题曾引起一阵热烈的讨论。
问题
以下是蒙提霍尔问题的一个著名的叙述，来自 Craig F. Whitaker 于1990年寄给《展示杂志》（Parade Magazine）玛丽莲·沃斯·莎凡特（Marilyn vos Savant）专栏的信件：
假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三号门。他然后问你：“你想选择二号门吗？”转换你的选择对你来说是一种优势吗？
以上叙述是对 Steve Selvin 于1975年2月寄给 American Statistician 杂志的叙述的改编版本。如上文所述，蒙提霍尔问题是游戏节目环节的一个引申；蒙提·霍尔在节目中的确会开启一扇错误的门，以增加刺激感，但不会容许玩者更改他们的选择。如蒙提·霍尔寄给 Selvin 的信中所写：
如果你上过我的节目的话，你会觉得游戏很快—选定以后就没有交换的机会。 —(letsmakeadeal.com)
Selvin 在随后寄给 American Statistician 的信件中(1975年8月) 首次使用了“蒙提霍尔问题”这个名称。
一个实质上完全相同的问题于1959年以“三囚犯问题”（three prisoners problem）的形式出现在马丁·加德纳的《数学游戏》专栏中。葛登能版本的选择过程叙述得十分明确，避免了《展示杂志》版本里隐含的前提条件。
这条问题的首次出现，可能是在1889年约瑟夫·贝特朗所著的 Calcul des probabilités 一书中。 在这本书中，这条问题被称为“贝特朗箱子悖论”（Bertrand's Box Paradox）。
Mueser 和 Granberg 透过在主持人的行为身上加上明确的限制条件，提出了对这个问题的一种不含糊的陈述：
- 参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有什么。
- 主持人知道每扇门后面有什么。
- 主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门的机会。
- 主持人永远都会挑一扇有山羊的门。
- 如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。
- 如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人随机在另外两扇门中挑一扇有山羊的门。
- 参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门。
解答
显然的，在最初的决定下选中汽车的概率是1／3，因为要在三个门中随机地选择一个。
同样显然的，在最初的选择下选出山羊的概率是2／3。当这种情况发生(即最初选中的是山羊)时，在生产线上的两扇门背后将只有一个是山羊，另一扇后面是汽车。了解情况的主持人别无选择，他只有一个选择，即打开背后是山羊的门。于是，剩下的两扇中未被主持人打开的那扇门背后一定是汽车。因此，改变最初的决定，就一定可以获得汽车。我们已经知道，这种情况发生的概率是2／3，所以如果改变最初的决定，成功的概率能增加一倍，由1／3变成2／3。
上面的论证可简化为：假定你的原始选择是正确的，然后主持人打开一个有山羊的门，此时你改变选择你亏了；假定你的原始选择是错误的，然后主持人打开一个有山羊的门，此时由于主持人只能从剩下的两个门中选择背后有山羊的那个，而他没有打开的一定背后是汽车，此时你改变选择你将一定可获得汽车。想一下，你一开始的选择正确与错误的可能性分别是多少?
原始选择正确的可能性只有1/3, 而错误的是2/3， 而只要原始选择是错误的就可以获得汽车。
如果觉得这种简短的解释力度不够的话，下面我们对这个问题再详细讨论一下。
3个门中，1个门后面有汽车，其他2个门后面有山羊，共有3处等可能的情况。如果坚持选择门1不换，如下表所示，只有第一种情况下可以获得汽车，而第二种与第三种情况下都得到山羊。因此，得到汽车的概率是1／3。
| 门1 | 门2 | 门3 | 坚持选择门1的结果 |
| 汽车 | 山羊 | 山羊 | 得到汽车 |
| 山羊 | 汽车 | 山羊 | 得到山羊 |
| 山羊 | 山羊 | 汽车 | 得到山羊 |
如果获胜者选择门1，当主持人打开门2或门3中有山羊的一扇门后，他在剩下的门中选择一个，就会出现下表所示的结果。
| 门1 | 门2 | 门3 | 获胜者的选择 | 重新选择的结果 |
| 汽车 | 山羊 | 山羊 | 门1换为门2或门3 | 得到山羊 |
| 山羊 | 汽车 | 山羊 | 门1换为门2 | 得到汽车 |
| 山羊 | 山羊 | 汽车 | 门1换为门3 | 得到汽车 |
可以看到，重新选择另一扇门，得到汽车的概率将会变成2／3。因此，重新选择更有利。
如果这种解释仍然不能令你信服，我们可以换角度继续说明一下。比如，现在摆在我们面前的有100扇门，只有其中一扇门后是汽车，而其他的99扇门后都是山羊。好了，你选择其中一扇门。自然，你选取汽车的概率只有1／100。
然后，知道汽车存放处的主持人一口气打开了99扇门中的98扇，其后面都是山羊。此时你可以坚持最初的选择，也可以改变选择。你是否应当改变选择?你是否还认为在你最初选择的门与其他99扇门中唯一没有打开的那扇门背后有汽车的概率是相同的?
事实是，如果你拒绝改变，你只有在一开始就选择了正确的门的情况下才能获取汽车，这个概率只有1％。在另外99％的情况下，你最初选择的是一个后面是山羊的门，而另外的98扇已经打开，你这时改变最初的选择就可以成功。所以，在99％的概率下，改变选择是正确的。如果你能接受这个例子，为什么你不能接受最初的例子呢?
可见，三门问题是一个理性选择和机遇博弈问题，是关于不完全信息博弈中如何正确理解概率的含义和概率变化的问题。
选择的认知分析[1]
尽管在三门问题上，人们遇到了许多困难，但仍然有少数人凭直觉找出了正确的解决方案。这自然导致两个问题：这些成功地解决难题的少数人使用了哪种推理方法?倘若我们了解这种机制，我们如何才能用合适的方法来表示和说明认知难题，比如如何消除那种改变决定的阻力?
这里至少涉及两个问题。
第一，在这个博弈或者推理的过程中，应当使用作为“频率”的客观概率，还是使用作为信念的主观概率。我们知道，要找出解决三门问题的正确方案，就要进行推理，这种推理的一个特点是它依据频率而不是概率来推理。Gigerenzer和Hoffrage(1995)已经用实验证明了用自然频率描述或然性信息，帮助参与者解决推理问题比用作为信念的主观概率来解决推理问题更为恰当。
例如，他们向参与者出示一个40岁妇女的乳房X光片，并要求参与者估计她患乳腺癌的概率。一种方式是，有关的信息用概率来描述(例如，“一个妇女在40岁时得乳腺癌的概率是0.01”)；另一种方式是，相同的信息用频率来描述(每1000个40岁的妇女中，会有10个患乳腺癌)。Gigerenzer和Hoffrage(1995)主张将单独事件的概率(如，考虑一个妇女的病例)转变成自然频率(如，考虑整个样本中的所有妇女)有助于正确地进行博弈或推理。Aron和Spivey(1998)给不同组的参与者介绍三门问题的概率和频率。在他们的实验中，给定概率表达方式的参与者中只有12％的人给出了正确的回答，而给定频率表达方式的参与者中有29％给出了正确的回答。而且运用概率的运算方法看起来相当烦琐。在他们看来，用频率进行推理的优于用概率进行推理。
不同的概率解释适用于不同的场合或情景。每一种解释都有它自己的适用范围。概率解释应该是多元的，不是一元的。一般说来，频率解释适用于信息相对掌握较多的场合，适用于可以多次重复博弈的场合；(主观)概率解释适用于信息相对掌握较少的场合(在这里局中人博弈靠的只能是信心)，往往适用于单一而非重复博弈的场合。
第二，信息较少效果反而更好。实际上，在认知过程中，信息使用者和信息提供者都面临的一个普遍的问题是：应当使用和提供的最理想的信息量是多少。Goldstein和Gigerenzer(1999)的实验报告表明，有时“知道得越少反而更好”。他们在《启发式再认知》中提供了一个例子，挖掘了有助于人们做出推论的认识潜力。当要求人们根据一些标准判断两个对象哪一个有更高价值的情形时(例如，哪一个更快、更高、更强)，启发式认知可作如下规定：如果两个对象中有一个认识而另一个不认识，则可推出不认识的对象反而有更高的价值。令作者惊讶的一个发现是，德国人能比美国人更好地判断出两个美国城市(例如，圣地亚哥和圣安尼奥)中哪一个城市的人口更多，为什么呢?德国参与者中许多人没听说过圣安尼奥，因而使用了启发式认知方法(例如，他们推断圣地亚哥比圣安尼奥的人口多，因为他们知道前者而不知道后者)。事实上在缺乏知识的情况下，启发式认知方法才可以有效地使用。这项研究显示，在不确定情况下，一种违反直觉的“较不好的效果”的出现，即知识的缺乏实际上有利于推论。
有趣的是，博弈论中有一个斯塔克博格模型，虽然它描述的是所谓的先行者优势，但在其中，却也反映了这种“信息多者反而失败”的现象。我们不妨举个例子来说明这一模型。在宽体客机的国际市场上，波音公司和空中客车公司是两大“巨无霸”。为了市场优势，两家公司都需要决定是否开发一种新型飞机。由于宽体客机制造成本很高，只有当销量较大具有规模效应时，新机型的研发才是有利可图的。由于市场只能容纳一家公司，谁率先制造新飞机谁就独占垄断利润。若两家同时制造新飞机，则两败俱伤。因此，谁抢先行动谁就具有“先行优势”。
由于波音公司得知一个额外的信息：欧盟会给空中客车公司补贴，于是自己行动迟缓，失去了先行者优势。在动态博弈中，先行动者决策时看不到追随者的选择，拥有的信息较少；后行动者知道领先者的实际选择，拥有的信息较多，反而会犹豫不决，错失良机。在这种信息不对称的情况下，信息较多者不一定得益较多。
类似的案例是迟到十年的求婚者。据说古希腊有位博学多才、气质高雅的哲学家，追随他的“粉丝”足足有一个加强排。他本来是婚姻市场上的“绩优股”，但是他这山望着那山高，犹豫不决。等到他决定结婚时，那些他曾经中意的“粉丝”都成了几个孩子的妈妈。所以，关于婚姻对象的信息了解越多，越容易失去先行者优势。最后只能失去良机，追悔奠及。
关于三门问题的讨论还在继续。但是三门问题的提出给了我们重要的启示。
第一，三门问题实际上是一个关于决策和博弈的认知问题。在这个拥有信息相对较多的博弈和推理过程中，用频率进行推理优于用概率进行推理。在重复博弈的场合，采用符合直观的、自然的频率来推理比采用概率来进行推理更为恰当，更适用；
第二，作为一个“认知错觉”或“心理隧道”的最富有表现力的例子，三门问题提醒我们，必须重视归纳逻辑的认知方面的研究。从归纳逻辑的视角研究三门问题认知过程，分析三门问题的困难原因，探讨问题解决的推理过程等，有助于深化归纳逻辑研究。三门问题的认知过程分析给我们的启发是，我们不仅要用现代逻辑的方法来拓展归纳逻辑的研究，而且要借鉴认知科学的研究成果，深入探讨归纳逻辑的认知基础，推动归纳逻辑研究向新的深度和广度拓展。
【1】Bapeswara Rao, V. V. and Rao, M. Bhaskara (1992). "A three-door game show and some of its variants". The Mathematical Scientist 17, no. 2, pp. 89–94
【2】Bohl, Alan H.; Liberatore, Matthew J.; and Nydick, Robert L. (1995). "A Tale of Two Goats ... and a Car, or The Importance of Assumptions in Problem Solutions". Journal of Recreational Mathematics 1995, pp. 1–9.
【3】Gardner, Martin (1959). "Mathematical Games" column, Scientific American, October 1959, pp. 180–182.
【4】Mueser, Peter R. and Granberg, Donald (1999), "The Monty Hall Dilemma Revisited: Understanding the Interaction of Problem Definition and Decision Making" (University of Missouri Working Paper 99-06). http://econwpa.wustl.edu:80/eps/exp/papers/9906/9906001.html (retrieved July 5, 2005).
【5】Nahin, Paul J. Duelling idiots and other probability puzzlers. Princeton University Press, Princeton,pp. 192-193.
【6】Selvin, Steve (1975a). "A problem in probability" (letter to the editor). American Statistician 29(1):67 (February 1975).
【7】Selvin, Steve (1975b). "On the Monty Hall problem" (letter to the editor). American Statistician 29(3):134 (August 1975).
【8】Tierney, John (1991). "Behind Monty Hall's Doors: Puzzle, Debate and Answer?", The New York Times July 21, 1991, Sunday, Section 1; Part 1; Page 1; Column 5
【9】vos Savant, Marilyn (1990). "Ask Marilyn" column, Parade Magazine p. 12 (Feb. 17, 1990). [cited in Bohl et al., 1995]
【10】Tijms, Henk (2004), Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life , Cambridge University Press, New York, pp. 213-215.
评论(共78条)
因为只有一辆汽车，而有两只山羊，所以，参赛者选中山羊时是两种可能而选中汽车时只有一种可能，所以总共是三种可能，而不是四种。
这个原理的现实意义就在于，由于主持人的参与，你从只有1/3的概率选中汽车到你有2/3的概率选中汽车。
毫无意义，听过“一块钱到哪儿去”的故事没，跟那个类似的。主持人那么好心直接告诉他车在哪里得了，这悖论的本质问题是规则在主持人的干预下改变了，由三选一变成二选一，不同事件怎么能用同一种模型下的概率来比较。
毫无意义显然是不对的咯，这个原理告诉我们的其实很简单，理智和情感的问题，太多人会根据自己所谓的坚持或者偏执而盲目的选择，这个原理假如建立在多次可重复事件上，你想每次都能多1/3概率获胜，何乐不为！
编辑的这个解答其实是荒谬而且可笑的，但是也极具欺骗性。 谬误出在答案给的那所谓的三种可能上： “参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。 参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。 参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。” 答案把山羊编了号，导致可能貌似有三种了，其实只有如下两种： 参赛者挑了山羊，主持人挑另一只山羊。转换将赢得汽车。 参赛者挑了汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。 如果没有主持人的干预，参赛者选中汽车的概率是三分之一；但是因为主持人的干预，并且给了参赛者二次选择的机会，参赛者其实是在新的条件下开始了一个新的游戏和选择，新的选择和主持人干预前已经没有丝毫联系，参赛者获得汽车的机会是二分之一。 所以如果把整个过程当成一个完整的游戏的话，参赛者获得汽车的机会就是二分之一，所谓的三分之二，是被游戏前半部分干扰导致精神分裂的结果。哈哈。 游戏的意义在于：要求我们能排除干扰，透过现象看到本质，能从一件事情中跳出来，重新审视新的事态。
因为只有一辆汽车，而有两只山羊，所以，参赛者选中山羊时是两种可能而选中汽车时只有一种可能，所以总共是三种可能，而不是四种。
既然都说山羊一和山羊二、说明山羊一和山羊二是不同的东西，和一只猫、一只狗、一辆车的模型有什么区别？
我是无情神龙！作者论述的答案是正确的！我这里有巧妙的解释：因为你第一步选择了一门，那么车在另外两门的里的概率就是2/3.而第二步你打开了另外两门里的山羊门，那么另外两门里的另一门是车辆门的概率依然不变，仍然是2/3嘛。
无情神龙！————或者说得极端一些：一共有1万门，其中只有1车辆门，另外都是山羊门。你第一步选择了一门，那么车在另外的9999门里的概率就是9999/10000.当主持人把另外的9999门中的9998门山羊门都打开，那么你选择9999门的最后一门是车辆门的概率还会是1/2吗？？哈哈哈哈......
既然都说山羊一和山羊二、说明山羊一和山羊二是不同的东西，和一只猫、一只狗、一辆车的模型有什么区别？
关键是数量的不同，而不是种类的是否相同！无情神龙
看了问题和一大片模糊的评论解释，很是让我头晕！为什么想的那么复杂，简单点就是开一扇后也就只有两种可能了！你还有第三个门可选吗？脑残的人才选！概就只有1/2
前面说了一大堆问题都是为了扰乱你的思维，故意引你走偏的，就想他们说的还有一元不见了是一样的道理，开始的时候选中车的概率是1/3，主持人去掉一个门后，剩下的就是1/2的机会了，换与不换都是同样的机会，他说三中情况应该是4中情况，参赛者挑中了汽车，主持人开门会是2 种情况。
既然都说山羊一和山羊二、说明山羊一和山羊二是不同的东西，和一只猫、一只狗、一辆车的模型有什么区别？
赞同
编辑的这个解答其实是荒谬而且可笑的，但是也极具欺骗性。 谬误出在答案给的那所谓的三种可能上： “参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。 参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。 参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。” 答案把山羊编了号，导致可能貌似有三种了，其实只有如下两种： 参赛者挑了山羊，主持人挑另一只山羊。转换将赢得汽车。 参赛者挑了汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。 如果没有主持人的干预，参赛者选中汽车的概率是三分之一；但是因为主持人的干预，并且给了参赛者二次选择的机会，参赛者其实是在新的条件下开始了一个新的游戏和选择，新的选择和主持人干预前已经没有丝毫联系，参赛者获得汽车的机会是二分之一。 所以如果把整个过程当成一个完整的游戏的话，参赛者获得汽车的机会就是二分之一，所谓的三分之二，是被游戏前半部分干扰导致精神分裂的结果。哈哈。 游戏的意义在于：要求我们能排除干扰，透过现象看到本质，能从一件事情中跳出来，重新审视新的事态。
非常同意你的看法，其实什么2/3都是假象。其实只有1/2的机会而已。
真不知道你们是怎么想的，一般的主持人是站在公司一方的，真正当他知道这个人选择了车这个门才会误导他去换一个门，所以一般人是不会去换的，但是主持人说的有说服力很可能会误导成功，这也是种技巧，即使不管什么状态下都会去开一个山羊门，那么主持人会把握他的分寸，用或重或轻的语气来阐述同一问题，所以很多时候大众是不会根据主持的给的优势条件来选的，因为你换了你才是蠢材，坚持即使没中，也不会辱没自己
也就是说，看起来开一扇门后，你变换选择赢得的几率会缩小，可是汽车还是一辆，主持人还是干扰，优厚待遇的背后是把刀子，你是坚持自主，还是由他带领，显然易见。相信理论，还是相信理智抵抗诱惑？
我也觉得概率是50%，后面一个选择是独立的，二选一，不管你前面选了哪个，都不影响后面。很明显的，前面的分析完全是误导人，简单问题复杂化，搞的你晕头转向才是目的。
我是无情神龙！作者论述的答案是正确的！我这里有巧妙的解释：因为你第一步选择了一门，那么车在另外两门的里的概率就是2/3.而第二步你打开了另外两门里的山羊门，那么另外两门里的另一门是车辆门的概率依然不变，仍然是2/3嘛。
你的解释有一个连你自己都没发现的暗藏的前提假设——你选的门后是山羊
按照你的方法 假设你选的门后是车 那么另外两门里是山羊的概率也是2/3 第二步你打开了另外两门里的山羊门 那么另外两门里的另一门是山羊的概率依然不变，仍然是2/3
这不是矛盾了么 是车的概率是2/3 是山羊的概率也是2/3 加起来就有4/3了
Liebao2004 和 Guderian 和 Zhtaild 是正确的
第一次 你可以闭上眼睛吹着口哨随便选 主持人会去掉一只山羊 第二次 你仍然闭上眼睛吹着口哨随便选 反正都是二选一 不会因为你紧张、激动、努力思考、参考第一次、听观众的就能选对 这个凭运气
这个游戏的目的不是主持人让你赢汽车 或者不让你赢汽车 目的是激发观众的神经 增加收视率 卖广告
第一次 你可以闭上眼睛吹着口哨随便选 主持人会去掉一只山羊第二次 你仍然闭上眼睛吹着口哨随便选 反正都是二选一 不会因为你紧张、激动、努力思考、参考第一次、听观众的就能选对 这个凭运气
这个游戏的目的不是主持人让你赢汽车 或者不让你赢汽车 目的是激发观众的神经 增加收视率 卖广告
我认为以上回复是本质
这个问题其实挺容易的，自己画个图就知道了。比如说X是汽车，O是羊。 X O O 假如你最开始选的是X, 主持人把其中一个有山羊的门打开，然后你换，那你会得到山羊。 假入你最开始选的是O, 主持人把另一个山羊的门打开，然后你换，你会得到一辆汽车。 最后一个可能，选择另外一个O, 主持人把另一个山羊的门打开，然后你换，你会得到一辆汽车。 所以说，只要你开始没有选有车的那个门，你就会得到那辆车。所以概率是2/3 另外那些瞎评论的人，先想想再评论...
是三种等可能的，你说的四种并不是等可能的3和4的概率分别是是1、2的一半而1和2是相同的
应该是2分之1，因为主持人总是会打开有羊的门，而选择人无法确定其余两扇门那一扇有羊，所以选对的概率应该是2分之一才对
在第二次计算概率的时候 第一次中的事件已经被观测成为事实了 不应该计入第二次的计算中 所以相当于最终只是在二者之间选一个
评论才是亮点 其实 大家只是把想法说出来 仅此而已 大家都很有想法啊 有争论才会有结论 有想法才会有创新 不要只看谁的结论错了 错了又怎样 个人觉得 有想法才是可贵的
这问题可以看做是主持人把其中的一个有山羊的门告诉你了，就只剩下二个门，在其中做出选择，选中的概率是0.5，所以换与不换，是等同的概率0.5。如果是n（n>=3）个门（只有一个门是汽车），你选择其中一个门，然后主持人把其他的n-2个门是山羊的打开，告诉你换不换，其实是只剩下二个门，在其中做出选择，选中的概率是0.5，所以换与不换，是等同的概率0.5。
其实应该这么解释吧 首先，“主持人去掉一个错误答案问你换不换？”这个事实应该理解为“如果我一开始选错了，那么换了就一定对，如果一开始我选对了，那么换了就一定错” 所以就很简单了，一开始选错的概率为2/3，那么换的话选对的概率就是2/3 那些说1/2的人们，只是针对第二次选择，整体而言不能这么看的，劝大家想清楚了再喷
其实应该这么解释吧 首先，“主持人去掉一个错误答案问你换不换？”这个事实应该理解为“如果我一开始选错了，那么换了就一定对，如果一开始我选对了，那么换了就一定错” 所以就很简单了，一开始选错的概率为2/3，那么换的话选对的概率就是2/3 那些说1/2的人们，只是针对第二次选择，整体而言不能这么看的，劝大家想清楚了再喷
楼上是我发的，我再补充一下“主持人去掉一个错误答案”这点在概率上只影响了一件事，就是“如果选择换换是否能换对？”，如果没有去掉错误答案，那么如果我们一开始选错的话，然后选择交换的时候就有50：50的概率换对/换错。因此，如果没有去掉错误答案的话，换不换都是1/3的概率对
原来选择是1/3的概率，打开了一扇有羊的门也不会改变。如果认为会改变，那么岂不是就算不打开一扇有羊的门，也已知剩下2门中必有一羊，所以选到汽车概率是1/2了
請大家看清楚問題... 問題是:換另一扇門會否增加參賽者贏得汽車的機會率？ 而不是:那一扇門嬴得汽車的機會率較大?
那一扇門嬴得汽車的機會率較大? 主持人打開了其中一扇山羊的門... 餘下兩扇門... 嬴得汽車的機會率各是二分一...
換另一扇門會否增加參賽者贏得汽車的機會率？ 會... 假如你換門的話... 你原本贏得汽車的話...你只得山羊... 你原本得到山羊的話...你贏得汽車... 但係原本贏得汽車的機會率是三分一... 原來得到山羊的機會率是三分二... 即是你換門後贏得汽車的機會率=你原本只得山羊的機會率=三分一... 你換門後只得山羊的機會率=你原本贏到汽車的機會率=三分二... 所以換另一扇門是會增加參賽者贏得汽車的機會率的...
請大家看清楚問題... 問題是:換另一扇門會否增加參賽者贏得汽車的機會率？ 而不是:那一扇門嬴得汽車的機會率較大?
那一扇門嬴得汽車的機會率較大? 主持人打開了其中一扇山羊的門... 餘下兩扇門... 嬴得汽車的機會率各是二分一...
換另一扇門會否增加參賽者贏得汽車的機會率？ 會... 假如你換門的話... 你原本贏得汽車的話...你只得山羊... 你原本得到山羊的話...你贏得汽車... 但係原本贏得汽車的機會率是三分一... 原來得到山羊的機會率是三分二... 即是你換門後贏得汽車的機會率=你原本只得山羊的機會率=三分一... 你換門後只得山羊的機會率=你原本贏到汽車的機會率=三分二... 所以換另一扇門是會增加參賽者贏得汽車的機會率的...
最後4句打錯字...
更正... 即是你換門後贏得汽車的機會率=你原本只得山羊的機會率=三分「二」... 你換門後只得山羊的機會率=你原本贏到汽車的機會率=三分「一」... 所以換另一扇門是會增加參賽者贏得汽車的機會率的...
始终觉得是1/2的概率。 前面说“参赛者先挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。”这里不是有两种可能吗？主持人选羊1，或选羊2。 结合前面两种可能，总共有4中可能性！
还有别说这种是一种情况，有些情况下，算概率时，完全相同的东西，也要分为1,2.。。。
觉得是1/2 的朋友，你们都没有清楚题目问的是什么。 题目问换门中汽车的概率。 首先要确定样本空间，这里的样本空间就是整个选择过程中所有的可能性。 有A（羊） B（羊） C（车）三扇门。注意这里有个前提是主持人知道车是在C门。 参赛者第一次选择的门有3种可能，这个能理解吧。 可能1： 参赛者选择A门 主持人打开B门 换门得车 不换门得羊 可能2： 参赛者选择B门 主持人打开A门 换门得车 不换门得羊 可能3： 参赛者选择C门 主持人打开A或者B 换门得羊 不换门得车
这里为什么把可能3里面的主持人选择开A还是B没有分开当作2个样本空间，大家自己思考一下。
那么在这3个样本空间里，“换门得车”的概率是不是2/3呢？ 注意这里如果问的是：“在剩下两个门里选择有车的概率”那么概率就是1/2了。 讨论概率问题一定要搞清楚样本空间。
好了，上面说的可能3里面的主持人选择开A还是B没有分开当作2个样本空间，因为我们的样本空间是基于选手的第一次选择来讨论的。不论主持人在可能3里面选择开A还是B都不影响选手第一次对C门的选择。而我们讨论的题目是选手换不换门的选择上的。 所以这个要理解，因为看到有人讨论这个问题的时候把可能3分解成了： 可能3：参赛者选择C门 主持人打开A 换门得羊 不换门得车 可能3：参赛者选择C门 主持人打开B 换门得羊 不换门得车 这样是不正确的。
这样解释大家就能看懂了吧？ 第一次选择的时候 毋庸置疑 选中车是1/3 选中羊是2/3 转换门： 选中车 转换门 那么得到车的概率就剩0了 选中羊 主持人去掉另一只羊 那么转换门肯定是车 那么得到车的概率就是2/3乘1 总计1/3乘0 + 2/3乘1=2/3 不转换门 很显然的1/3乘1 + 2/3乘0=1/3
1/2 推理： 把门当做一个羊圈的出口，羊圈里有2只羊1只狼。
主持人开门放走一只羊。无论哪只羊，主持人只会放走羊。 问参赛者开门放走狼的几率是多大。 结论：1/2。
衍生， 羊圈里有999只羊，1只狼。 主持人放走998只羊。 然后问参赛者放走狼的几率是多少。 还是1/2。
1/3的结论推理： 有三种可能的情况，全部都有相等的可能性(1/3)：
参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。 参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。 参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。
应该是： 参赛者挑"非汽车"(山羊一号)，主持人挑"非汽车"(山羊二号)。转换将赢得汽车。 参赛者挑"非汽车"(山羊二号)，主持人挑"非汽车"(山羊一号)。转换将赢得汽车。 参赛者挑汽车，主持人挑非汽车(羊)。转换将失败。赢得(羊)。
1和2无意义，其实是一种情况。 还是1/2。
思考重点： 因为是关于得到汽车，所以只有汽车和非汽车2种情况。其他的都是假象。
补充： 羊圈里2只羊1只狼。 主持人不干涉的话。 开门放走狼的几率是1/3。（得汽车）
主持人干涉。放走一只羊。 羊圈里还有1只羊1只狼。 开门放走狼的几率是1/2。（得汽车）
再补充： 纠结在换门。。 羊圈有3个出口。每次同时只能开一个门，且只出一个只。 换门有意义吗？还是只能出来一只（羊或狼）。 其实只有1个门，3门是假象。换门更是障眼法。
acfun发不了贴，贴这里----
2：酒鬼问题 已知某酒鬼有90%的日子都会出去喝酒，喝酒只去固定三家酒吧。今天警察找了其中两家酒吧都没有找到酒鬼。 问：酒鬼在第三家酒吧的几率？ 参考答案：90% or 75%
答案是75%。 推理:因为是百分比，所以假设有10个安检门，酒鬼必需在通过1个安检门且只能通过一个。 结合30%，30%,30%,10%,设定以下：（警察即安检门） 1号，2号，3号为A组安检门 4号，5号，6号为B组安检门 7号，8号，9号为C组安检门 10号 为D组安检门。 结合题目，A组安检门和B组安检门损坏，不能用。 还有7号，8号，9号，10号安检门可用，问酒鬼通过C组安检门的概率。 答案：3/4，即75%
觉得是1/2 的朋友，你们都没有清楚题目问的是什么。 题目问换门中汽车的概率。 首先要确定样本空间，这里的样本空间就是整个选择过程中所有的可能性。 有A（羊） B（羊） C（车）三扇门。注意这里有个前提是主持人知道车是在C门。 参赛者第一次选择的门有3种可能，这个能理解吧。 可能1： 参赛者选择A门 主持人打开B门 换门得车 不换门得羊 可能2： 参赛者选择B门 主持人打开A门 换门得车 不换门得羊 可能3： 参赛者选择C门 主持人打开A或者B 换门得羊 不换门得车
这里为什么把可能3里面的主持人选择开A还是B没有分开当作2个样本空间，大家自己思考一下。
那么在这3个样本空间里，“换门得车”的概率是不是2/3呢？ 注意这里如果问的是：“在剩下两个门里选择有车的概率”那么概率就是1/2了。 讨论概率问题一定要搞清楚样本空间。
好了，上面说的可能3里面的主持人选择开A还是B没有分开当作2个样本空间，因为我们的样本空间是基于选手的第一次选择来讨论的。不论主持人在可能3里面选择开A还是B都不影响选手第一次对C门的选择。而我们讨论的题目是选手换不换门的选择上的。 所以这个要理解，因为看到有人讨论这个问题的时候把可能3分解成了： 可能3：参赛者选择C门 主持人打开A 换门得羊 不换门得车 可能3：参赛者选择C门 主持人打开B 换门得羊 不换门得车 这样是不正确的。
我比较同意，可是我想问问让你去玩这个游戏的话，你会选择换还是不换，当且仅当换能给你带来好处时才换。换句话说，让你去玩这个游戏，在你决定要不要换时，到底是换成功的几率大还是不换？
因为只有一辆汽车，而有两只山羊，所以，参赛者选中山羊时是两种可能而选中汽车时只有一种可能，所以总共是三种可能，而不是四种。
既然都说山羊一和山羊二、说明山羊一和山羊二是不同的东西，把两只山羊换成一只山羊、一只狗就明了了。
三个门，你随便选1个门，选对的概率是1/3，选错的概率是2/3。 这时，如果把你选的那1个门和剩下的2个门转换，选对的概率变成了2/3，选错的概率变成了1/3。 这和主持人先打开1个门后，你再交换，没有什么区别。 所以转换后的概率为2/3。
其實所謂的概率最基本條件就是要'隨機', 在第一回合你中車機會率是1/3. 但第2回合主持人不是'隨機'掀開一門,而是把其中一隻山羊掀開,所以換不換門而中車的機率都是1/2機會(和第一個回合沒有關係)~~~~ 但如果主持人在第2個回合是'隨機'地掀開了山羊, 換門而中車的機會的確是2/3呢!!
大家同意嗎?
学写了，谢谢！
1/2 推理： 把门当做一个羊圈的出口，羊圈里有2只羊1只狼。
主持人开门放走一只羊。无论哪只羊，主持人只会放走羊。 问参赛者开门放走狼的几率是多大。 结论：1/2。
衍生， 羊圈里有999只羊，1只狼。 主持人放走998只羊。 然后问参赛者放走狼的几率是多少。 还是1/2。
1/3的结论推理： 有三种可能的情况，全部都有相等的可能性(1/3)：
参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。 参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。 参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。
应该是： 参赛者挑"非汽车"(山羊一号)，主持人挑"非汽车"(山羊二号)。转换将赢得汽车。 参赛者挑"非汽车"(山羊二号)，主持人挑"非汽车"(山羊一号)。转换将赢得汽车。 参赛者挑汽车，主持人挑非汽车(羊)。转换将失败。赢得(羊)。
1和2无意义，其实是一种情况。 还是1/2。
思考重点： 因为是关于得到汽车，所以只有汽车和非汽车2种情况。其他的都是假象。
很简单啊 首先是三选一 概率就是三分之一 这个事毋庸置疑的 而汽车在剩下的两个里面就是三分之二。换了之后就等于选择剩下的两个 概率就是相当于开始的时候选择了两个
我是这样理解的,当player做第一次选择的时候,他选到汽车的机会是1/3.当主持人打开一扇羊的门之后,选到汽车的概率变成1/2.很明显1/2比1/3更容易得到汽车
恩，虽然我看不懂，但如果是二分之一话，那么这个游戏就是公平的了，既然这个游戏是公平的，那么赢奖的人岂不是多到爆了，节目老板有那么多钱买汽车吗？
轉換一下,更容易理解: 現在有甲乙2個參賽者,甲選1個門,他中車的機會是1/3,乙選剩下2個門,他中車的機會是2/3,這個你完全同意吧?現在萬能的主持人幫乙去掉一個沒有車的門,他中車的機會還是2/3吧,那甲是不是應該和乙換?
觉得是1/2 的朋友，你们都没有清楚题目问的是什么。 题目问换门中汽车的概率。 首先要确定样本空间，这里的样本空间就是整个选择过程中所有的可能性。 有A（羊） B（羊） C（车）三扇门。注意这里有个前提是主持人知道车是在C门。 参赛者第一次选择的门有3种可能，这个能理解吧。 可能1： 参赛者选择A门 主持人打开B门 换门得车 不换门得羊 可能2： 参赛者选择B门 主持人打开A门 换门得车 不换门得羊 可能3： 参赛者选择C门 主持人打开A或者B 换门得羊 不换门得车
这里为什么把可能3里面的主持人选择开A还是B没有分开当作2个样本空间，大家自己思考一下。
那么在这3个样本空间里，“换门得车”的概率是不是2/3呢？ 注意这里如果问的是：“在剩下两个门里选择有车的概率”那么概率就是1/2了。 讨论概率问题一定要搞清楚样本空间。
好了，上面说的可能3里面的主持人选择开A还是B没有分开当作2个样本空间，因为我们的样本空间是基于选手的第一次选择来讨论的。不论主持人在可能3里面选择开A还是B都不影响选手第一次对C门的选择。而我们讨论的题目是选手换不换门的选择上的。 所以这个要理解，因为看到有人讨论这个问题的时候把可能3分解成了： 可能3：参赛者选择C门 主持人打开A 换门得羊 不换门得车 可能3：参赛者选择C门 主持人打开B 换门得羊 不换门得车 这样是不正确的。
膜拜！！
这个思路好，坚信1/2的朋友忽略了第一步的条件，实际是个条件概率问题，第二步在做选择时候由于受到了第一步的影响，已经不是1/2和1/2的概率了
这个思路好，坚信1/2的朋友忽略了第一步的条件，实际是个条件概率问题，第二步在做选择时候由于受到了第一步的影响，已经不是1/2和1/2的概率了
不对，我说错了，不是条件概率，就是普通概率问题
现在我给你们这个MBA智库的编辑24小时改错的机会，相信不要等我来戳破你们就改了，因为你这是MBA的智库，不可以发表不严肃的游戏节目里的错误结论，游戏节目只是个游戏，而这里却是“智库”，请不要误导大众，谢谢！
上题只是想给个反证的例子。本人暂时还不想一语道破天机，对！是天机！正因为是天机，本人将以三门问题为原型创立产生几个新名词。呵呵，等着瞧！
轉換一下,更容易理解: 現在有甲乙2個參賽者,甲選1個門,他中車的機會是1/3,乙選剩下2個門,他中車的機會是2/3,這個你完全同意吧?現在萬能的主持人幫乙去掉一個沒有車的門,他中車的機會還是2/3吧,那甲是不是應該和乙換?
不太懂耶，因為主持人幫乙去掉一個沒有車的門，同樣也幫甲去掉一個沒有車的門，所以不只提高乙中車的機會，連帶也提高甲中車的機會不是嗎？至於1/2還是2/3，實證之下應該就有明確的結果！
始终觉得是1/2的概率。 前面说“参赛者先挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。”这里不是有两种可能吗？主持人选羊1，或选羊2。 结合前面两种可能，总共有4中可能性！
还有别说这种是一种情况，有些情况下，算概率时，完全相同的东西，也要分为1,2.。。。
你说错了， 先从一开始看， 都知道1/3几率选到车，2/3几率选到羊（1/3选羊一，1/3选羊二），选到车后， 在此基础上，我重申一遍，在一开始1/3选到车的基础上， 主持人可能排除羊一或羊二，也就是1/6排除羊一，交换后没车，1/6排除羊二，交换后没车。 另外的2/3一开始选到羊的情况，只要交换必得车。
看了问题和一大片模糊的评论解释，很是让我头晕！为什么想的那么复杂，简单点就是开一扇后也就只有两种可能了！你还有第三个门可选吗？脑残的人才选！概就只有1/2
這個問題必須考慮"連續性" 為何最後會只有兩個門可以選 原因是因為你已經選了一個門 如果你沒有選門，最後自然不會只有兩個門 所以單獨考慮第二次選擇的話，機率才是各一半
必須考慮"你已經選了一個門的前提下，最後剩兩個門"
非常認同你的想法!!!! 必須考慮"連續性"的問題，就單獨第二次選擇來說才是機率各半
你用心理學的角度來看非常棒 你很容易猜錯，主持人又一定猜錯(因為她一定開羊門) 那麼你就避開你和主持人的選擇就好囉
这个问题的核心，是更换选择是否是有利的。说不管怎样选择都是1/2的朋友，其实侧面证明了更换选择的有利性，因为如果不存在更换，那整个系统就是简单的三选一。有了主持人的存在，使得系统从简单的三选一，步进到了最终的二选一。如何使得主持人有存在的意义呢，是改变当初的选择，整个系统上主持人的设定才具有实际意义，那么改变选择就是必须的。所以在这样一个系统之下，就使得只要开始选错就能够在最终选对，即从1/3的概率变成了互补的2/3的概率，这就是主持人设定带来的影响，即二次选择对提高选对概率是有利的。
你可以这么理解。不过重点是，这4种可能而不是每种可能都是 25%. 第1种可能. 1/3概率 第2种可能. 1/3概率 第3、4种可能： 1/3概率
哈哈哈，評論很有趣。（據說當時在美國也有不小的轟動） 我用簡單的方式給想不通的朋友
1.這個遊戲有兩次選擇的機會 2.第一次選擇擊中車的概率是1/3，擊中羊的概率是2/3 3.主持人必定會打開另外一隻羊 4.於是更換自己原先的選擇，最終擊中車的概率就是2/3，也就是第一次就擊中羊的“反概率”（也就是那些原先是2/3的倒霉鬼，他們從羊換成了車） 5.最終更換原先選擇並擊中羊的概率是1/3（也就是那些原先是1/3的幸運兒，他們從車換成了羊）
哈哈哈，评论很有趣。（据说当时在美国也有不小的轰动） 我用简单的方式给想不通的朋友
1.这个游戏有两次选择的机会 2.第一次选择 击中车的概率是1/3，击中羊的概率是2/3 3.主持人必定会打开另外一只羊 4.于是更换自己原先的选择，最终击中车的概率就是2/3 ，也就是第一次就击中羊的"反概率"（也就是那些原先是2/3的倒霉鬼，他们从羊换成了车） 5.最终更换原先选择并击中羊的概率是1/3 （也就是那些原先是1/3的幸运儿，他们从车换成了羊）
设A是车，BC是羊，主持人知道情况，列举，1A除B转C失败，1A除C转B失败，1B除C转A成功，1C除B转A成功，1B除C不转B失败，1C除B不转C失败。这样思考有问题吗，各项概率又是怎样的呢？
是三种等可能的，你说的四种并不是等可能的3和4的概率分别是是1、2的一半而1和2是相同的