貢培茲定律

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貢培茲定律（Gompertz's law）

　　貢培茲定律（Gompertz's law）又稱“死亡率定律”指的是：死亡率隨年齡呈由高到低再高變化，成年人死亡率每8或者10年翻一番，持續到80歲^[1]。

　　最早發現這個規律的是19世紀一位名叫本傑明·貢培茲（Benjamin Gompertz）的英國保險統計師。他發現了一個有趣的規律：嬰兒有較高的死亡率，隨後每年都有下降，直到10~15歲青春期時死亡率達到最低點。

　　青春期之後，死亡率急劇增加，大約每10年翻一番（也就是25歲死亡的可能性是15歲的一倍，35歲是25歲的一倍，呈指數上升）。這個趨勢一直持續到80歲。這個規律就稱作死亡率定律。這個定律同樣適於不同歷史時期的不同國家，也適於其它動物。

　　貢培茲統計分析死亡率數據後發現一個經驗規律：嬰幼兒死亡率一般都比較高，其後有逐年下降趨勢，大約到10到15歲時死亡率達到最低點；但青春期過後死亡率又會上升，上升速率大約每8年或者10年翻一番，持續到80歲。

　　保險業有一個重要品種是人壽保險，以被保險人壽命為保險標的，並以被保險人生存或者死亡為給付條件。當被保險人生命發生保險事故時，由保險人支付保險金。

　　最初人壽保險是為保障由於不可預測死亡所可能造成經濟負擔，後來引進儲蓄成分，對在保險期滿時仍然生存的人，保險公司也會給付約定保險金。

　　拋開人壽保險設計細節，讀友們不難理解，死亡概率是人壽保險產品設計重要變數。

　　早在1661年，英國就出現歷史上最早死亡概率統計表。到1693年，英國天文學家哈雷根據德國布勒斯勞市居民壽命資料，編製出世界第一張完整生命表。

　　生命表也稱壽命表或者死亡表，是根據以往一定時期內各種年齡死亡統計資料編製而成的由每個年齡死亡率所組成的彙總表，是近代人壽保險費計算基礎。

　　1740至50年代，英國人辛普森和多德森兩人發起組織“倫敦公平保險公司”，首次將生命表運用到計算人壽保險費率上。

　　貢培茲1779年出生，雖然身為猶太人就學受到歧視，但他立志成為金融精算師，努力學習數學、經濟學、金融學等相關知識，1819年成為英國皇家學會會員，被譽為關於傷亡和概率問題專家。

　　1824年貢培茲進入一家保險公司工作，為簡化養老金和保險金計算方法，對所在地區人群死亡率進行收集和統計，試圖找到規律。

　　經過研究，1825年貢培茲向英國皇家學會提交論文“人類死亡率函數表達及確定生命危險性新模式”，提出貢培茲定律，並給出公式化表達。這篇論文奠定其在數學和保險業中學術地位，也深刻影響後世人壽保險以及其他諸多領域。

　　貢培茲定律中最核心內容是，人類從成年期開始，死亡率會呈現幾何級數增加趨勢，意即：每8年或者10年，死亡率翻倍。

　　為驗證經驗規律是否存在，貢培茲以英國、法國和瑞典不同歷史時期人群死亡率為研究對象，結果發現，規律吻合度較高。

　　大量研究證實，貢培茲定律與實際人口群體死亡率模式存在一致性，不同地區不同群體模式一致，只不過死亡率曲線起伏程度不同。

　　甚至於，貢培茲定律在動物界也具有普適性。動物學家發現，性成熟時期動物死亡率達到最低點，之後死亡率呈指數上升。物種之間壽命差異，主要表現在老齡化速度有差異。

　　衍生出Gompertz曲線又稱“Gompertz模型”。Gompertz曲線所描述的現象的特點是：初期增長緩慢，以後逐漸加快，當達到一定程度後，增長率又逐漸下降，最後接近一條水平線。該曲線的兩端都有漸近線，其上漸近線為Y=K，下漸近線為Y=0。

　　Gompertz曲線通常用於描述事物的發展由萌芽、成長到飽和的周期過程。現實中有許多現象符合Gompertz曲線，如工業生產的增長、產品的壽命周期、一定時期內的人口增長等，因而該曲線被廣泛應用於現象的趨勢變動研究^[2]。

　　如果用105歲死亡率平臺期研究修正貢培茲定律，我們會發現，死亡率隨年齡呈現出類似S型曲線變化：初期變化緩慢，之後逐漸加快，達到一定程度後逐漸變慢，最後接近一條水平線。

　　S型曲線是更加普適模型，也就不難理解，貢培茲定律作為普適數學模型，其所刻畫的貢培茲曲線，不僅用在金融和保險行業，還在經濟、科技、生物、農業以及工程等領域獲得廣泛應用，用來描述與萌芽、成長、飽和相關周期過程，例如產品生命周期預測。

　　經濟與人口死亡率研究^[3]

　　經濟與人口死亡率的模型分析人口死亡率研究一直是人口學家的傳統的研究問題之一，經濟與死亡率關係的研究更是人口死亡率研究中一個普遍關心的“熱點”。尤其在20世紀70年代以來，由於世界人口死亡率的現狀及下降的程度，促使更多的西方人口學者投入到經濟與人口死亡率的研究行列，形成了一個研究經濟條件與人口死亡率下降關係的高潮。然而，有關經濟與人口死亡率關係研究在我國人口學界尚不多見，有關這方面的報道也比較少。利用世界銀行的《1989年世界發展報告》的資料，通過建立數學模型的方法，對經濟和人口死亡率作一初步的分析，得出結論。

　　1.雖然，人們對經濟與人口死亡率下降之間的內在本質的聯繫尚不十分明瞭。但是經濟與人口死亡率下降存在著一定的關係是肯定無疑的，而且這種關係是具有一定的規律性，這種規律可以用數學模型把它表示出來。

　　2.經濟與人口死亡率之間關係不是一種線性關係，而是近似對數的曲線關係。它預示著當經濟水平處於較低時，隨著經濟水平的提高，人口死亡率會出現迅速下降，平均期望壽命迅速上升。當經濟水平達到較高水平，經濟水平對人口死亡率下降的作用迅速減小，平均期望壽命平穩在一定的水平上。然而，這並不意味著經濟與人口死亡率關係的消失，而是經濟對人口死亡率下降作用的規律性表現。假如沒有強大的經濟實力，發達國家的平均期望壽命不會達到這樣高的水平，或者說人口死亡率不可能維持在這樣低的水平。由於人口死亡模式的轉變，發達國家進一步降低人口死亡率的阻力越來越大，花費也越來越大。對任何-一個國家來.說，用於降低人口死亡率的資源終歸是有限的，如何台理地有效地使用這一資源，提高健康投資的產出效益，是發達國家所面臨的一個重要的問題。

　　3.經濟對人口死亡率下降作用，並不排除其他因素如醫療衛生等降低人口死亡率的作用。正是由於其他因素的作用，因而在不同時期，經濟與人口死亡率的關係發生變化，而這種變化包含了其他因素髮生作用的結果，即“時間動力”的作用。經濟落後的國家可以利用現代的醫學科技的成果，達到人口死亡率下降的目的，而並非一定要遵循“經濟的運動軌跡”。然而，我們也應當看到，當發達國家通過向經濟落後的國家提供大量的藥品和其它醫療技術，即通過“技術性輸入”而使經濟落後的國家人口死亡率迅速下降的事實中，也隱含了“經濟的輸入”。

　　中國人口死亡率改善水平比較分析^[4]

　　新中國成立以來，我國的人口死亡率顯著改善，新中國成立初期死亡率高達 20‰，改革開放後，死亡率降至較低水平，死亡率的改善速度在低水平上保持穩定。

　　在 1981 － 2010 年的 30 年間，我國人口分年齡的死亡率改善水平隨年齡和時間呈下降趨勢，其中，嬰兒死亡率的改善速度最為明顯，在近十年裡，女嬰的死亡率改善水平超過了男嬰。在性別差異上，除0 歲組外，女性的死亡率改善水平均高於男性，在 15 ～ 49 歲間兩性死亡率改善的差距最大。在市、鎮、鄉的死亡率改善差異上，市的死亡率改善水平明顯高於鎮和鄉。與全國人口相比，商業保險被保險人口的死亡率改善水平更高，尤其表現在青少年以下的年齡組上。與其他國家相比，我國人口的死亡率改善水平在大部分年齡組明顯高於其他國家，這不但反映了我國人民生活和醫療水平有了實質性提高，也說明我國人口死亡率還有很大的下降空間。