芝諾悖論

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芝諾悖論（Zeno's Paradoxes）

　　芝諾悖論是古希臘數學家芝諾（Zeno of Elea）提出的一系列關於運動的不可分性的哲學悖論。這些悖論由於被記錄在亞里士多德的《物理學》一書中而為後人所知。芝諾提出這些悖論是為了支持他老師巴門尼德關於“存在”不動、是一的學說。他的悖論在亞里士多德的《物理學》里被概括為以下四個：二分法、阿喀琉斯、飛矢不動、運動場。這些悖論中最著名的兩個是：“阿基裡斯跑不過烏龜”和“飛矢不動”。這些方法現在可以用微積分（無限）的概念解釋。

　　（一）兩分法悖論

　　悖論：物體在到達目的地之前必須先到達全程的一半，這個要求可以無限的進行下去，所以，如果它起動了，它永遠到不了終點，或者，它根本起動不了。

　　例如：一位旅行者步行前往一個特定的地點。他必須先走完一半的距離，然後走剩下距離的一半，然後再走剩下距離的一半，永遠有剩下部分的一半要走。因而這位旅行者永遠走不到目的地！

　　（二）阿基裡斯悖論

　　悖論：若慢跑者在快跑者前一段，則快跑者永遠趕不上慢跑者，因為追趕者必須首先跑到被追者的出發點，而當他到達被追者的出發點，慢跑者又向前了一段，又有新的出發點在等著它，有無限個這樣的出發點。

　　故事：在阿基裡斯和烏龜之間展開一場比賽。烏龜在阿基裡斯前頭1000米開始爬，但阿基裡斯跑得比烏龜快10倍，比賽開始，當阿基裡斯跑了1000米時，烏龜仍然在他前頭100米。而當阿基裡斯又跑了100米到達烏龜前此到達的地方時，烏龜又向前爬了10米。芝諾爭辯說，阿基裡斯將會不斷地逼近烏龜，但他永遠無法趕上它。

　　（三）飛矢不動悖論

　　悖論：任何東西占據一個與自身相等的處所時是靜止的，飛著的箭在任何一個瞬間總是占據與自身相等的處所，所以也是靜止的。

　　解釋：箭在運動過程中的任一瞬間時必在一個確定位置上，即是靜止的，而時間是由無限多個瞬時組成的，因此箭就動不起來了。

　　（四）運動場悖論

　　悖論：兩列物體B、C相對於一列靜止物體A相向運動，B越過A的數目是越過C的一半，所以一半時間等於一倍時間。

　　數學史家F·卡約里（Cajori）說：“芝諾悖論的歷史，大體上也就是連續性、無限大和無限小這些概念的歷史。”但遺憾的是，芝諾的著作沒有能流傳下來，我們是通過批評他的亞里士多德及其註釋者辛普里西奧斯才得以瞭解芝諾悖論的要旨的。

　　直到19世紀中葉，人們對於亞里士多德關於芝諾悖論的引述及批評幾乎是深信不疑的，普遍認為芝諾悖論只不過是一些有趣的謬見。英國數學家B·羅素感慨地說：“在這個變化無常的世界上，沒有什麼比死後的聲譽更變化無常了。”死後得不到應有的評價的最顯眼的犧牲品莫過於埃利亞的芝諾了。他雖然發明瞭4個無限微妙、無限深邃的悖論，後世的大批哲學家們卻宣稱他只不過是一個聰明的騙子，而他的悖論只不過是一些詭辯。

　　柏拉圖在他的《巴門尼德》篇中，記敘了芝諾和巴門尼德在公元前5世紀的中期去雅典的一次訪問。其中說：“巴門尼德年事已高，約65歲，滿頭白髮，但儀錶堂堂。那時芝諾約40歲，身材魁梧而美觀。” 併在書中記述了芝諾的觀點。據說芝諾在為巴門尼德的“存在論”辯護。但是不象他的老師那樣企圖從正面去證明存在是“一”不是“多”，是“靜”不是“動”，他常常用歸謬法從反面去證明：“如果事物是多數的，將要比是‘一’的假設得出更可笑的結果。”他用同樣的方法，巧妙地構想出一些關於運動的論點。他的這些議論，就是所謂“芝諾悖論”。芝諾有一本著作《論自然》。在柏拉圖的《巴門尼德》篇中，當芝諾談到自己的著作時說：“由於青年時的好勝著成此篇，著成後，人即將它竊去，以致我不能決斷，是否應當讓它問世。”

　　公元5世紀的評論家普羅克洛斯(Proclus)在給這段話寫的評註中說，芝諾從“多”和運動的假設出發，一共推出了四十個各不相同的悖論。芝諾的著作久已失傳，亞里士多德的《物理學》和辛普里西奧斯為《物理學》作的註釋是瞭解芝諾悖論的主要依據，此外還有少量零星殘篇可提供佐證。現存的芝諾悖論至少有八個，其中最著名的是關於運動的四個悖論。

　　誠如亞里士多德所說，阿基裡斯追龜說其實可以歸結為二分說。按照二分說，阿基裡斯在到達烏龜的起跑點之前，必須先走過這段距離的1/2，為此，又必須先走過1/4，1/8，等等，即必須在有限的時間內通過無限多個點，因此按芝諾的理由，阿基裡斯根本就動彈不了。

　　芝諾悖論揭示的是事物內部的稠密性和連續性之間的區別，是無限可分和有限長度之間的矛盾，亞里士多德沒有能覺察到這一點，當然實際上沒有能駁倒芝諾。P·湯納利（Tannery）在1885年指出，芝諾悖論所反對的是那種認為空間是點的總和、時間是瞬刻的總和的概念。換句話說，芝諾並不否認運動，但是他想證明在空間作為點的總和的概念下運動是不可能的。

　　芝諾的類似觀點還表現在他的兩個針對“多”的悖論中。其中一個見於失傳的芝諾原著的如下一段殘篇：

　　如果有許多事物，那就必須與實際存在的事物相符，既不多也不少。可是如果有象這樣多的事物，事物（在數目上）就是有限的了。如果有許多事物，存在物（在數目上）就是無窮的。因為在各個事物之間永遠有一些別的事物，而在這些事物之間又有別的事物。這樣一來，存在物就是無窮的了。

　　芝諾認為存在若是 “多”就會導致無窮的論證，也表達在另一個悖論里。它被辛普里西奧斯至少是部分地逐字逐句記述下來。這些記述不象阿基裡斯追龜說和飛箭靜止說那樣經後人或多或少地修改過，雖然表達得沒有那麼清楚，但是卻更接近於芝諾的原話。辛普里西奧斯在他的引言里說，芝諾首先論證既無“大小”又無厚度的東西是不能存在的。“因為如果這樣，它加在某物之上不能使其變大，從某物減去也不能使其變小。但是，如果不能因增加它而使一物增大，也不能因減少它而使一物減小，這就明顯地看出，所增加或所減少的是零。”

　　因此，把任意數目的這些“無”元素加在任何東西上都不會使它增大，反之從任何東西里減去它們也不會使它變小；當然，把這些“無”元素通通加起來，即使其數目有無限多個，其總和還是“無”。上述悖論和關於運動的前三個悖論的共同點，在於假定了空間、時間和物體的無限可分性，實際上還討論了無窮小和連續性。芝諾在這裡其實還援引瞭如下兩個假設：

　　i) 無限多個相等的任意小的正量的總和必然是無窮大；

　　ii) 無限多個沒有大小的量的總和仍然是沒有大小的量。

　　其中假設ii)是芝諾反對把線段(時間、空間)看成是一個無限點集(無限多個沒有大小的量的總和)的主要依據。因此解決芝諾悖論的一個關鍵就是證明假設ii)不成立。A·格蘭巴姆(Grünbaum)於1952年詳盡地討論了這個問題。他把只含有一個點的子區間定義為退化子區間，從而得出下列結論：

　　1)有限區間(a，b)是退化子區間的連續統的並集；

　　2)每個退化子區間的長度是零；

　　3)區間(a，b)的長度是b—a；

　　4)一個區間的長度不是它的基數的函數。

　　因此，芝諾的假設ii)不能成立。事實上，將一個線段（或別的量）按二分法進行無限分割，不可能有最後元素。因為既是無限分割，它就是一個沒有最後一項的永遠不能完成的過程。在取極限的意義上，按結論1)，有限區間(a，b)成為不可數的無限個退化子區間的並集，這時雖然每個退化子區間(或每個點)的長度為0，但整個並集的長度不是0，而是b—a(按結論3))。這樣，作為對芝諾和亞里士多德的回答，時間和距離都是作為無長度元素(點)的無窮集合的線性連續統。換言之，線段是點的無窮集合，而時間是無廣延的瞬刻的無窮集合，它們都是線性連續統。這樣，飛箭靜止說這一悖論，原來指在任一給定的瞬刻是不動的但在由無限多瞬刻組成的連續體上卻是動的，現在轉換成一個新的“悖論”：由無廣延的點組成的無窮集卻有廣延。

　　這是古代文獻中第一個涉及相對運動的問題，在現存的芝諾悖論中，它是唯一的和連續統問題無關的問題。不過也有學者(例如P.湯納利等人)認為它和連續統問題是有著某種聯繫的。