年金現值

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年金現值(Present value of annuity)

什麼是年金現值

　　年金現值是指將在一定時期內按相同時間間隔在每期期末收入或支付的相等金額折算到第一期初的現值之和。

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年金現值的計算

　　年金現值是年金終值的逆計算。

　　計算公式：

　　 $P=A\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$

　　年金現值因數: $\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$ ，是普通年金1元、利率為i、n期的年金現值，記作（P/A，i，n）。

　　推導過程： $P=A(1+i)^{-1}+A(1+i)^{-2}+\cdots+A(1+i)^{-(n-1)}+A(1+i)^{-n}$ ……………………①

　　將①式乘以（1+i），則:

　　 $(1+i)P=A(1+i)^0+A(1+i)^{-1}+\dots+A(1+i)^{-(n-2)}+A(1+i)^{-(n-1)}$ ………………………②

　　②-①，則:

　　 $(1 + i) P - P = A - A (1 + i) - n$

　　 $P (1 + i - 1) = A [1 - (1 + i) - n]$

　　∴ $P=A\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$

　　 $P=A\cdot(P/A,i,n)$

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計算年金現值的舉例

　　普通年金現值是指一定時期內每期期末收付款項複利現值之和。普通年金的計算可用圖1表示。^[1]

　　例1：要得到按6%折現、期數為3、每期為1元的普通年金的現值，可按下列方法計算，如圖2所示：

　　在第一期末收到1元的現值為0.943元，第二期末收到1元的現值為0.890元，第三期末收到到1元的現值為0.840。年金的現值就是各個現值的總和2.673元。

　　年金現值P的計算公式是：

　　 $=\frac{1}{(1+i)^{3}}+\frac{1}{(1+i)^{2}}+\frac{1}{(1+i)}=0.840+0.890+0.943=2.673$ (元) 　　　　　　上式可轉化為:

　　 $\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}=\frac{1-0.83962}{0.06}=2.673$ (元)

　　例2^[1]：租入某設備，每年年末需支付租金1200元，年複利率為10%，5年內應支付租金總額的現值是多少？

　　 $P=1200\times [\frac{1-(1+10%)^{-5}}{10%}]=1200\times (P/A,10%,5)$

　　 $\approx 1200\times 3.7908\approx 4548$ (元)

　　4548元是1200元租金年金按利率為10%五年期的現值。

　　現實上，年金現值與年金是互為逆運算，若已知年金現值時，也可求得年金，計算公式為：

　　 $A=P\cdot[\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}]$

　　式中 $\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}$ 是年金現值繫數的倒數，也稱資本回收繫數，因為這個繫數是計算資本回收額時使用的，而資本回收是指在給定期的年限內等額回收或清償初投入的資本或所欠的債務，資本回收額的計算實際上是已知年金現值求年金的形式。

　　例：某企業以12%的年利率借款10萬元，投資於某個壽命為10年的項目，每年至少要收回多少現金才是有利的？

　　 $A=100000\times\frac{12%}{1-(1+12%)^{-10}}=100000\times 0.177=17700$ (元)

　　17700元是10萬元年金現值按利率12%十年期的年金，也是用10萬元借款投資十年期項目在利率12%的情況下每年至少要收回的現金金額。

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年金現值繫數表

n	1%	2%	3%	4%	5%	6%	8%	10%	12%	14%	15%	16%	18%	20%	22%	24%	25%	30%	35%	40%	45%	50%
1	0.990	0.980	0.970	0.961	0.952	0.943	0.925	0.909	0.892	0.877	0.869	0.862	0.847	0.833	0.819	0.806	0.799	0.769	0.740	0.714	0.689	0.666
2	1.970	1.941	1.913	1.886	1.859	1.833	1.783	1.735	1.690	1.646	1.625	1.605	1.565	1.527	1.491	1.456	1.44	1.360	1.289	1.224	1.165	1.111
3	2.940	2.883	2.828	2.775	2.723	2.673	2.577	2.486	2.401	2.321	2.283	2.245	2.174	2.106	2.042	1.981	1.952	1.816	1.695	1.588	1.493	1.407
4	3.901	3.807	3.717	3.629	3.545	3.465	3.312	3.169	3.037	2.913	2.854	2.798	2.690	2.588	2.493	2.404	2.361	2.166	1.996	1.849	1.719	1.604
5	4.853	4.713	4.579	4.451	4.329	4.212	3.992	3.790	3.604	3.433	3.352	3.274	3.127	2.990	2.863	2.745	2.689	2.435	2.219	2.035	1.875	1.736
6	5.795	5.601	5.417	5.242	5.075	4.917	4.622	4.355	4.111	3.888	3.784	3.684	3.497	3.325	3.166	3.020	2.951	2.642	2.385	2.167	1.983	1.824
7	6.728	6.471	6.230	6.002	5.786	5.582	5.206	4.868	4.563	4.288	4.160	4.038	3.811	3.604	3.415	3.242	3.161	2.802	2.507	2.262	2.057	1.882
8	7.651	7.325	7.019	6.732	6.463	6.209	5.746	5.334	4.967	4.638	4.487	4.343	4.077	3.837	3.619	3.421	3.328	2.924	2.598	2.330	2.108	1.921
9	8.566	8.162	7.786	7.435	7.107	6.801	6.246	5.759	5.328	4.946	4.771	4.606	4.303	4.030	3.786	3.565	3.463	3.019	2.665	2.378	2.143	1.947
10	9.471	8.982	8.530	8.110	7.721	7.360	6.710	6.144	5.650	5.216	5.018	4.833	4.494	4.192	3.923	3.681	3.570	3.091	2.715	2.413	2.168	1.965
11	10.367	9.786	9.252	8.760	8.306	7.886	7.138	6.495	5.937	5.452	5.233	5.028	4.656	4.327	4.035	3.775	3.656	3.147	2.751	2.438	2.184	1.976
12	11.255	10.575	9.954	9.385	8.863	8.383	7.536	6.813	6.194	5.660	5.420	5.197	4.793	4.439	4.127	3.851	3.725	3.190	2.779	2.455	2.196	1.984
13	12.133	11.348	10.634	9.985	9.393	8.852	7.903	7.103	6.423	5.842	5.583	5.342	4.909	4.532	4.202	3.912	3.780	3.223	2.799	2.468	2.204	1.989
14	13.003	12.106	11.296	10.563	9.898	9.294	8.244	7.366	6.628	6.002	5.724	5.467	5.008	4.610	4.264	3.961	3.824	3.248	2.814	2.477	2.209	1.993
15	13.865	12.849	11.937	11.118	10.379	9.712	8.559	7.606	6.810	6.142	5.847	5.575	5.091	4.675	4.315	4.001	3.859	3.268	2.825	2.483	2.213	1.995
16	14.717	13.577	12.561	11.652	10.837	10.105	8.851	7.823	6.973	6.265	5.954	5.668	5.162	4.729	4.356	4.033	3.887	3.283	2.833	2.488	2.216	1.996
17	15.562	14.291	13.166	12.165	11.274	10.477	9.121	8.021	7.119	6.372	6.047	5.748	5.222	4.774	4.390	4.059	3.909	3.294	2.839	2.491	2.218	1.997
18	16.398	14.992	13.753	12.659	11.689	10.827	9.371	8.201	7.249	6.467	6.127	5.817	5.273	4.812	4.418	4.079	3.927	3.303	2.844	2.494	2.219	1.998
19	17.226	15.678	14.323	13.133	12.085	11.158	9.603	8.364	7.365	6.550	6.198	5.877	5.316	4.843	4.441	4.096	3.942	3.310	2.847	2.495	2.220	1.999
20	18.045	16.351	14.877	13.590	12.462	11.469	9.818	8.513	7.469	6.623	6.259	5.928	5.352	4.869	4.460	4.110	3.953	3.315	2.850	2.497	2.220	1.999
21	18.856	17.011	15.415	14.029	12.821	11.764	10.016	8.648	7.562	6.686	6.312	5.973	5.383	4.891	4.475	4.121	3.963	3.319	2.851	2.497	2.221	1.999
22	19.660	17.658	15.936	14.451	13.163	12.041	10.200	8.771	7.644	6.742	6.358	6.011	5.409	4.909	4.488	4.129	3.970	3.322	2.853	2.498	2.221	1.999
23	20.455	18.292	16.443	14.856	13.488	12.303	10.371	8.883	7.718	6.792	6.398	6.044	5.432	4.924	4.498	4.137	3.976	3.325	2.854	2.498	2.221	1.999
24	21.243	18.913	16.935	15.246	13.798	12.550	10.528	8.984	7.784	6.835	6.433	6.072	5.450	4.937	4.507	4.142	3.981	3.327	2.855	2.499	2.221	1.999
25	22.023	19.523	17.413	15.622	14.093	12.783	10.674	9.077	7.843	6.872	6.464	6.097	5.466	4.947	4.513	4.147	3.984	3.328	2.855	2.499	2.222	1.999
26	22.795	20.121	17.876	15.982	14.375	13.003	10.809	9.160	7.895	6.906	6.490	6.118	5.480	4.956	4.519	4.151	3.987	3.329	2.855	2.499	2.222	1.999
27	23.559	20.706	18.327	16.329	14.643	13.210	10.935	9.237	7.942	6.935	6.513	6.136	5.491	4.963	4.524	4.154	3.990	3.330	2.856	2.499	2.222	1.999
28	24.316	21.281	18.764	16.663	14.898	13.406	11.051	9.306	7.984	6.960	6.533	6.152	5.501	4.969	4.528	4.156	3.992	3.331	2.856	2.499	2.222	1.999
29	25.065	21.844	19.188	16.983	15.141	13.590	11.158	9.369	8.021	6.983	6.550	6.165	5.509	4.974	4.531	4.158	3.993	3.331	2.856	2.499	2.222	1.999
30	25.807	22.396	19.600	17.292	15.372	13.764	11.257	9.426	8.055	7.002	6.565	6.177	5.516	4.978	4.533	4.160	3.995	3.332	2.856	2.499	2.222	1.999
40	32.834	27.355	23.114	19.792	17.159	15.046	11.924	9.779	8.243	7.105	6.641	6.233	5.548	4.996	4.543	4.165	3.999	3.333	2.857	2.499	2.222	1.999
50	39.196	31.423	25.729	21.482	18.255	15.761	12.233	9.914	8.304	7.132	6.660	6.246	5.554	4.999	4.545	4.166	3.999	3.333	2.857	2.499	2.222	1.999

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參考文獻

↑ ^1.0 ^1.1 陳增壽.第二章財務管理的價值觀念《財務管理學》[M].清華大學出版社,2005

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評論(共16條)

提示:評論內容為網友針對條目"年金現值"展開的討論，與本站觀點立場無關。

203.86.40.* 在 2008年7月10日 16:41 發表

P值分母是不是應該為I呢？感謝作者分享，本篇內容很豐富

回複評論

61.149.86.* 在 2009年4月30日 13:16 發表

都搞錯啦

回複評論

Zfj3000 (討論 | 貢獻) 在 2009年5月1日 09:33 發表

61.149.86.* 在 2009年4月30日 13:16 發表

都搞錯啦

謝謝指正，已對內容進行整理，MBA智庫是可以自由編輯的，您也可以直接參与

回複評論

Soon1987 (討論 | 貢獻) 在 2009年5月24日 22:36 發表

例子很豐富。 thx

回複評論

222.218.176.* 在 2009年7月6日 16:52 發表

來到這裡總算明白一點。財務的東西真的很複雜啊！！

回複評論

Butterflyhit (討論 | 貢獻) 在 2009年8月19日 10:35 發表

想問下：企業需要貸款買一個500萬的設備（環保設備），貸款利率是7.74%（在中國人民銀行查得），設備年利潤為95萬元，要求企業投資回收期不超過5年，政府該給予多大比例的設備補貼企業才會投資？是不是先求：A=500*[7.74%/（1-（1+7.74%）-5）]=124.4萬元政府補貼：124.4*5-95*5=147萬元政府補貼比例：147/500=0.294

回複評論

124.207.151.* 在 2010年1月6日 20:50 發表

非常感謝，講述的非常清楚，今天的之前，我對這個概念還是模糊的，雖然已經上過這門課

回複評論

123.145.28.* 在 2010年4月21日 13:33 發表

（P/A，10%，5）繫數應該是3.7908，不是3.7098.感謝作者，您的表述方式讓我明白什麼東西叫年金。

回複評論

131.170.90.* 在 2010年6月16日 09:19 發表

PV=PMT[1-(1+r)^-n/r]

回複評論

87.64.26.* 在 2010年12月3日 07:08 發表

請問：是年金現值理論因數大還是複合值利率因數大？比較這兩個值大小的目的在哪？

回複評論

58.221.202.* 在 2011年9月30日 14:49 發表

好

回複評論

221.213.244.* 在 2011年11月5日 09:13 發表

企業建造一棟辦公樓，為購建該辦公大樓購入工程物資20000元，增值稅為3400元，並投400元，並投入使用，建造過程中領用的生產用原材料實際成本為2000元，領用自產產品，實際成本為1800元，售價為2500元，安裝完畢達到達預定可使用狀態，本企業為一般納稅人，適用增稅率為17%，固定資產入帳價值為多少元？需要解題的詳細過程與答案，

回複評論

14.151.255.* 在 2013年11月21日 02:49 發表

【計算年金現值的舉例】的例二里年金終值繫數應該為3.79，不是3.709，因此p=4548.

回複評論

114.230.213.* 在 2015年4月9日 18:10 發表

年金終值是年金現值的你計算？償債基金值是年金終值得你計算？究竟哪個對？望指正。

回複評論

天天天蓝007 (討論 | 貢獻) 在 2017年8月5日 16:41 發表

感謝，我也明白多了，上課時聽的不明白。

回複評論

1.175.7.* 在 2018年5月10日 00:08 發表

過去老師只教我們看表上的答案，並未教我們數字怎麼來，因此，每次遇到這問題，讓我非常想投降放棄。來到這確實知道年金現值表上如何導出來，真正的感謝

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