公理化方法

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公理化方法(axiomatic approach)

　　公理化方法是數學中的重要方法，它的主要精神是從儘可能少的幾條公理以及若幹原始概念出發，推導出儘可能多的命題。

　　隨著假設演繹模型法的進一步發展，經濟學日益走向公理化方法。最早出現在二千多年前的歐幾里德幾何學中，當時認為“公理”(如兩點之間可連一直線)是一種不需要證明的自明之理，而其他所謂“定理” (如三對應邊相等的兩個三角形對應角相等)則是需要由公理出發來證明的,18世紀德國哲學家康德認為，歐幾里德幾何的公理是人們生來就有的先驗知識，19世紀末，德國數學家希爾伯特(David Hilbert)在他的幾何基礎研究中系統地提出數學的公理化方法。他認為每一種數學理論都應以“基本概念——公理——定理” 的模式來建立：這裡的公理是作為理論出發點的科學假設，它們要求有完備性(任何定理可由此導出)、獨立性(去掉其中之一有的定理就不能成立)和相容性(公理間是無矛盾的),但公理本身也由人們作各種解釋。20世紀以來，整個數學體系幾乎都巳按希爾伯特的模式得到公理化處理。

　　公理是對諸基本概念(例如基本元素、基本關係等概念)相互關係的規定．這些規定必須是必要的、合理的。詳細說來，公理的選取和設置必須符合三條要求：一是協調性要求．協調性又稱無矛盾性或相容性．這一要求是指在公理系統內，不允許同時能證明某一定理及其否定理．反之，如果能從該公理系統導出命題刀和否命題“非A”(記作)，則A與的並存便稱之為矛盾．因此，無矛盾性要求是對公理系統的一個基本要求．二是獨立性要求．這就是要求公理的數目減少到最低根度，不容許公理集合中出現多餘的公理．因為多餘的公理總可作為定理推證出來，又何必再把它列為公理呢?三是關於公理系統的完備性要求．這就是要確保從公理系統能夠導出所論數學某分支的全部命題．因此，必要的公理不能省略，否則將得不到由它所能推得的結果．一般說來，當一個公理系統滿足上述三條要求時，即可認為是令人滿意的系統了．但針對一個較複雜的公理系統要逐一驗證三條要求，卻並不是輕而易舉的事，甚至至今不能徹底實現．

　　(1)公理系統是一個有序的整體。它並不平等地對待系統中的所有命題，而是將其劃分為兩類：公理(不加證明引入的)及定理(需要證明其為真的)並按縱向由淺入深地建立起多命題間的有機的聯繫。

　　(2)在公理系統中，只要不是公理中的命題都不能不加證明地引用，沒有經過嚴格論證過的命題無資格作為演繹推論的前提，因而就排除了繼續運用歸納法引入演繹前提的渠道，成為純粹的演繹系統。

　　(3)公理系統是形式化的。只著眼於概念、命題間的關係，不考慮其來源、運用和發展。儘管它最先引入了一些原始對象(概念和命題)，但對這些東西的解釋卻被當作系統之外的事，在系統內，只是作為一種“假設”。

　　①實質性公理化方法

　　所謂實質性公理化方法是指在一個公理系統中，基本概念(包括基本對象和基本關係)不是原始概念，而是給基本概念下了定義或確定了它的具體內容，也就是說，一個公理系統研究的對象的範圍、涵義和特征是先於公理而給出的，公理只是表達這類特定對象的基本性質，而且必須是不證自明的。例如，歐幾裡得的《幾何原本》就是一個典型的例子。在公元前3世紀左右，歐幾裡得總結了前人積累起來的大量的幾何知識，對其進行抽象分析，找出了一系列的基本概念和基本性質(公理)，然後按邏輯規律建立成一個公理系統。該系統包含了當時所有的幾何知識，成為一個有機聯繫的系統。在《幾何原本》中，歐幾裡得首先提出了三個基本元素(點、線、面)作為歐氏幾何系統的幾何對象，然後又提出三個基本關係(屬於、介於、合同)作為基本元素所具有的基本關係，這三個基本元素和基本關係構成了歐幾裡得公理系統的基本概念，這些概念都有其具體的幾何意義。在此基礎上，歐幾裡得又提出了反映這些基本概念所特有的最基本的性質，即五個公設和五個公理；最後，由這些公設、公理出發，藉助邏輯演繹規則推出其他性質，即命題。在(幾何原本)里給出了465個命題：(幾何原本)在數學發展史上樹立了一座不朽的豐碑。它的貢獻不在於發現了幾條新命題，更主要的是標誌了數學領域中公理化方法的誕生。

　　然而，(幾何原本)中的公理系統並非完善，如，定義不完善，有些概念應是不加定義的原始概念；在運用中，往往使用了一些未定義的概念，有些命題的證明過程過分依下直觀，缺少嚴格的推理。這些不足之處，早為古代學者所發現，特別是對第五公設的懷疑，促使許多數學家不斷地去努力完善它。在這些數學家中，尤以德國數學家希爾伯特為傑出代表。在1899年出版的名著(幾何基礎)中，他吸收了前人優秀成果，完善了(幾何原本)的公理系統，發展了幾何學公理方法，使公理化方法發生了一個質的飛躍，產生了全新的形式公理化方法。

　　②形式公理化方法

　　形式公理化方法是指一個系統中基本概念作為不加定義的原始概念，也就是說，在一個公理系統中它所研究的對象的範圍、涵義和特征不是先於公理而確定，而是由公理組予以確定，也稱隱定義。如希爾伯特的(幾何基礎)中的公理系統都是屬於形式化的公理系統。

　　這種公理系統由三部分組成，①基本對象(或原始對象)，如點、線、面；②基本關係(或原始關係)，如結合關係、順序關係、合同關係、連續關係、平行關係；③基本性質(或公理)，如結合公理、順序公理、合同公理、平行公理、連續公理。

　　從錶面上看，上述兩種公理化方法的主要差別在於前者不完備而後者完備，但這不是本質上的差別，其本質差別在於基本概念是定義於公理之前、還是定義於公理之後。(幾何原本)的公理系統中，基本概念定義於公理之前，而且有明顯的幾何意義，其必然使公理束縛於直覺觀念。而形式化的公理化方法是先確定公理組，後確定基本概念，也就是說，誰能滿足公理組所要求的條件，誰就有資格作為該公理系統的研究對象。如希爾伯特的幾何公理系統中的點、線概念被解釋成幾何中的點和線，就可以得到一個初等幾何理論系統；若把它們解釋成代數中的點和線，即數對(x，y)與線性方程A_x + B_y + C = 0，就可以得到一個代數理論系統，這也正是形式公理化方法的最大優點所在。

　　③純形式公理化方法

　　隨著集合淪的建立和數理邏輯的發展，希爾伯特又把公理化方法推向一個新的階段，即純形式化階段。其基本思想就是，採用符號語言把一個數學理論的全部命題變成公式的集合，然後證明這個集合是無矛盾的。

　　(1)這種方法具有分析、總結數學知識的作用．凡取得了公理化結構形式的數學，由於定理與命題均已按照邏輯演繹關係串聯起來，故使用起來也較方便．

　　(2)公理化方法把一門數學的基礎分析得清清楚楚，這就有利於比較各門數學的實質性異同，並能促使和推動新理論的創立．

　　(3)數學公理化方法在科學方法論上有示範作用．這種方法對現代理論力學及各門自然科學理論的表述方法都起到了積極的借鑒作用．例如，20世紀40年代波蘭的巴拿赫(Banach)曾完成了理論力學的公理化；物理學家還把相對論表述為公理化形式，等等．

　　(4)公理化方法形式表現的簡潔性、條理性和結構的和諧性正好符合美學上的要求．

　　運用數學公理化方法，就是要根據本學科提供的豐富材料，通過深入的分析，尋找其間的邏輯關係，從中抽象出少數基本概念和基本命題，將其作為公設、公理和基本概念併在此基礎上運用邏輯規則進行推理、論證，推導出其他一系列的定理、性質，建立起演繹系統。一個公理系統建立得是否合理，是否科學，一定要具備以下三個條件：

　　①相容性

　　—個公理系統中，不能存在兩種截然相反的命題，即正、逆命題不能同時在一公理系統中成立。這也稱協調性或—致性。

　　②獨工性

　　在一個公理系統中，所選定的各個公理，它們之間不能有依存關係，一個公理不能被其它公理所推出，否則這個公理實質上是個定理，在公理系統中就成為多餘的。

　　③完備性

　　在公理系統中，要保證該公理組推出該系統的全部真命題。

　　③完備性在公理系統中，要保證該公理組推出該系統的全部真命題。上述三點是對一個完善的公理系統的基本要求。但是，一個公理系統要逐一驗證滿足這三個條件，並不是那麼簡單的。

　　(1)相容性：亦稱無矛盾性。如果一個公理系統2不存在兩個相互矛盾的命題，則稱2是相容的或無矛盾的。對公理系統相容性的要求是最基本的要求，任何理論體系皆要滿足這要求，否則，就不具有存在的價值。當然，這種相容性僅指在同一個確定的公理系統中。對於兩個不同的公理體系，也可能出現相互矛盾的公理或定理。例如在歐氏幾何中，"三角形內角和是180°"是真命題，但在非歐氏幾何中，卻是假命題，

　　(2)獨立性：指公理系統中的每一條都有存在的必要性，換言之，公理系統任何一條公理都不應該根據這一系統的規則由其它公理推出來。實際上就是要求系統中的公理數目減少到最低限度，不允許有多餘者存在，這一條保證了公理的簡單性。

　　(3)完備性：指確保從公理系統出發能推出所論數學分支的全部命題，而不需憑藉經驗和直觀。它保證了必要的公理不能少。由於可能的定理的個數是沒有限制的，也可用同構的觀點對完備性作更確切的解釋，即：如果已知的公理系統所有模型都是同構的，則該系統稱為完備的(這一性質稱為範疇性)。

　　(1)古希臘數學家歐幾里德的《幾何原本》就是這樣給出了一個古典的公理化體系。在這部世界名著中，歐幾里德由23個定義、5條公設和5條公理，推出眾多的定理。這是科學史上第一個嚴密的理論體系，它對以後西方數學及自然科學的發展具有深遠的影響。

　　(2)牛頓的不朽之作《自然哲學之數學原理》就是根據公理化方法寫成的。它以(牛頓)運動三定律和萬有引力定律為其理論體系的邏輯起點，運用演繹邏輯和數學的形式化方法，推導出了關於力的平行四邊形法則、動量守恆、相對性原理等6條定理，構築了經典力學的理論體系。

　　(3)愛因斯坦(Albert Einstein)創建相對論時，也是採用公理化方法。他以光速不變原理和相對性原理這兩條基本假設作為建構整個狹義相對論理論體系的邏輯起點；以等價性原理(又稱。等效原理”)和廣義協變原理(又稱為廣義相對論中的“相對性原理”)作為邏輯起點，建構出廣義相對論的完整體系。

　　經濟學中的公理化方法從20世紀3O年代起就有了應用，但對經濟學有決定性影響的則是德布魯(G·Debreu)的經典著作:《價值理論：經濟均衡的一種公理化分析》在這一公理化分析中的基本概念是：商品空問、價格體系，消費者和生產者。由此又可導出需求、供給、可達狀態、經濟均衡等概念。然後，再對各個理念作出明確的數學規定，即公理，這包括一些最基本的前提假設。

　　供求雙方的相互作用通過價格機制來間接完成，最終價格使經濟中對立的、變動的力量達到一種力量相當、相對靜止、不再變動的境界，實現了所有市場參與者的最大化和供求相等的狀態，即市場出清了。這是由公理出發證明的一般均衡存在的定理。

　　德布魯以後，公理化方法已滲入到經濟學的各個領域，它的優點首先在於能夠使經濟學中的“公理” 與“定理” 嚴格區分開來。側如，認為完全競爭與認為不完全競爭就是兩條不同的“公理”。它們導出的“定理” 自然有所不同，但應該爭論的是“公理”，而不應是“定理”。“公理”上的分歧是觀念問題 因此，一般均衡存在定理雖然是劃分學派的重要標準，是經濟自由主義與國家干預主義的分界線，但是在經濟學中， 對市場出清定理的分歧．是源於公理上的分歧，集中體現了兩派在基本觀念上的分歧。

　　公理化方法的重要應用之一是利用形式邏輯建立學科理論知識的關係。關於形式邏輯在會計基本理論發展中的作用,利奧·Ａ·施密特教授曾做過有益的探索。他提出, 演繹邏輯是“通過顯示討論中的某一現象是一種公認判定的特定例證或應用,從而形成結論的過程。公認判定在專業上稱為大前提,特征事實的表述則稱為小前提。”而且,他還嘗試著列舉了三個會計方法中的大前提以及如何運用三段論式的演繹方法表述存貨計價的方法。他在研究中將演繹的方法引入會計學,具有一定的學術價值。但其中仍存在一些不足:他僅僅看到在會計師的日常工作中的確存在著一些觀念性的公認的前提,而他們所做出的判定又往往是基於某種前提的暗示,但是對於這種暗示的實質並沒有加以揭示。而且,他沒有具體解釋這些前提在會計基本理論結構中的地位、作用以及理論本身發展所可能遵循的途徑。他的觀點還停留在對會計活動的直觀感受上,而尚未將其與公理學以及數理邏輯的研究成果相結合,上升為一種系統化的理性熟悉,因此也沒能指出會計學演繹方法的本質。